高中數(shù)學(xué)《變化率與導(dǎo)數(shù)綜合》學(xué)案1北師大版選修2-2

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1、 變化率與導(dǎo)數(shù)變化率問(wèn)題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解函數(shù)的增量的概念 2.理解函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限的具體意義 學(xué)習(xí)重點(diǎn) 函數(shù)的增量 瞬時(shí)速度、切線的斜率、邊際成本 學(xué)習(xí)難點(diǎn) 極限思想 教學(xué)過(guò)程 一、導(dǎo)入新課 1. 瞬時(shí)速度 問(wèn)題 1：一個(gè)小球自由下落，它在下落 3 秒時(shí)的速度是多少？ 析：大家知道，自由落體的運(yùn)動(dòng)公式是 s 1 gt 2 （其中 g 是重力加速度） . 2

2、 當(dāng)時(shí)間增量 t 很小時(shí)，從 3 秒到（ 3＋ t ）秒這段時(shí)間內(nèi)，小球下落的快慢變化不大. 因此，可以用這段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落 3 秒時(shí)的速度 . 從 3 秒到（ 3＋ t ）秒這段時(shí)間內(nèi)位移的增量： s s(3 t ) s(3) 4.9(3 t) 2 4.9 32 29.4 t 4.9( t ) 2 從而， v s 29.4 4.9 t . t s 越接近 29.4 s 無(wú)限趨 從上式可

3、以看出， t 越小， 米/秒；當(dāng) t 無(wú)限趨近于 0 時(shí)， t s 的極限是 29.4. t 近于 29.4 米 / 秒. 此時(shí)我們說(shuō)，當(dāng) t 趨向于 0 時(shí)， t 當(dāng) t 趨向于 0 時(shí)，平均速度 s 的極限就是小球下降 3 秒時(shí)的速度，也叫做 t 瞬時(shí)速度 . 一般地，設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 s＝ s（ t），則物體在 t 到（ t＋ t ）這段時(shí)間內(nèi)的平均速 度為 s s(t t ) s(t )

4、. 如果 t 無(wú)限趨近于 0 時(shí)， s 無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù) a，就說(shuō)當(dāng) t t t t 趨向于 0 時(shí)， s 的極限為 a，這時(shí) a 就是物體在時(shí)刻 t 的瞬時(shí)速度 . t 2. 切線的斜率 問(wèn)題 2：P（ 1,1）是曲線 y x 2 上的一點(diǎn)， Q 是曲線上點(diǎn) P 附近的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) Q 沿曲線逐 漸向點(diǎn) P 趨近時(shí)割線 PQ 的斜率的變化情況 . 析：設(shè)點(diǎn) Q 的橫坐標(biāo)為 1＋ x ，則點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)為（ 1＋ x ） 2，點(diǎn) Q 對(duì)于點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)

5、 用心 愛(ài)心 專心 1 的增量（即函數(shù)的增量） y (1 x) 2 1 2 x ( x) 2 ， 所以，割線 PQ 的斜率 kPQ y 2 x ( x)2 2 x . x x 由此可知，當(dāng)點(diǎn) Q 沿曲線逐漸向點(diǎn) P 接近時(shí)， x 變得越來(lái)越小， k PQ 越來(lái)越接近 2； 當(dāng)點(diǎn) Q 無(wú)限接近

6、于點(diǎn) P 時(shí)，即 x 無(wú)限趨近于 0 時(shí)， k PQ 無(wú)限趨近于 2. 這表明，割線 PQ 無(wú)限趨近于過(guò)點(diǎn) P 且斜率為 2 的直線 . 我們把這條直線叫做曲線在點(diǎn) P 處的切線 . 由點(diǎn)斜 式，這條切線的方程為： y 2 x 1. 一般地，已知函數(shù) y f ( x) 的圖象是曲線 C，P（ x0 , y0 ）， Q（ x0 x, y0 y ）是 曲線 C 上的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) Q 沿曲線逐漸向點(diǎn) P 接近時(shí)，割線 PQ 繞著點(diǎn) P 轉(zhuǎn)動(dòng) . 當(dāng)點(diǎn) Q

7、沿著 曲線無(wú)限接近點(diǎn) P，即 x 趨向于 0 時(shí)，如果割線 PQ 無(wú)限趨近于一個(gè)極限位置 PT，那么直 線 PT 叫做曲線在點(diǎn) P 處的切線 . 此時(shí)，割線 PQ 的斜率 kPQ y PT 的 無(wú)限趨近于切線 x 斜率 k，也就是說(shuō)，當(dāng) x 趨向于 0 時(shí)，割線 PQ 的斜率 kPQ y 的極限為 k.

8、 x 3. 邊際成本 問(wèn)題 3：設(shè)成本為 C，產(chǎn)量為 q，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為 C ( ) 3 q 2 10 ，我們來(lái)研究 q 當(dāng) q ＝ 50 時(shí) ， 產(chǎn) 量 變 化 q 對(duì) 成 本 的 影 響 . 在 本 問(wèn) 題

9、中 ， 成 本 的 增 量 為 ： C C (50 q) C (50) 3(50 q) 2 10 (3 50 2 10) 300 q 3( q) 2 . 產(chǎn)量變化 q 對(duì)成本的影響可用： C 300 3 q 來(lái)刻劃， q 越小， C 越接近 300；當(dāng) q q q 無(wú)限趨近于 0 時(shí)， C 無(wú)限趨近于 300，我們就說(shuō)當(dāng) q 趨向于 0 時(shí)， C 的極限是 300. q

10、 q 我們把 C 的極限 300 叫做當(dāng) q＝ 50 時(shí) C (q) 3q 2 10 的邊際成本 . q 一般地，設(shè) C 是成本， q 是產(chǎn)量，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為 C＝ C（ q），當(dāng)產(chǎn)量為 q0 時(shí)，產(chǎn)量變化 q 對(duì)成本的影響可用增量比 C C (q0 q) C (q0 ) 如果 q 無(wú)限 q q 刻劃 .

11、 用心 愛(ài)心 專心 2 C 趨近于 0 時(shí)， 無(wú)限趨近于常數(shù) A ，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱 A 為邊際成本 . 它表明當(dāng)產(chǎn)量為 q0 時(shí)， q 增加單位產(chǎn)量需付出成本 A （這是實(shí)際付出成本的一個(gè)近似值） . 二、小結(jié) 瞬時(shí)速度是平均速度 s 當(dāng) t 趨近于 0 時(shí)的極限；切線是割線的極限位置，切線的斜 t 率是割線斜率 y 當(dāng) x 趨近于 0 時(shí)的極限；邊際成本是平均成本 C 當(dāng) q 趨近于 0 時(shí)的 x q 極限 . 三、

12、練習(xí)與作業(yè)： 1. 某物體的運(yùn)動(dòng)方程為 s(t ) 5t 2 （位移單位： m，時(shí)間單位： s）求它在 t＝ 2s 時(shí)的速度 . 2. 判斷曲線 y 2x 2 在點(diǎn) P（ 1,2）處是否有切線，如果有，求出切線的方程 . 3. 已知成本 C 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關(guān)系式為 C 2q 2 5，求當(dāng)產(chǎn)量 q＝80 時(shí)的邊際成本 . 4. 一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離 h（單位： m）與時(shí)間 t（單位： s）之 間的函數(shù)關(guān)系為 h t 2 ，求 t＝ 4s 時(shí)此球在垂直方向的瞬時(shí)速度 . 5. 判斷曲線 y 1 x 2 在（ 1， 1 ）處是否有切線，如果有，求出切線的方程. 2 2 6. 已知成本 C 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關(guān)系為 C 4q 2 7 ，求當(dāng)產(chǎn)量 q＝ 30 時(shí)的邊際成本 . 用心 愛(ài)心 專心 3