2019-2020年高中數學《函數模型及其應用》教案7 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中數學函數模型及其應用教案7 新人教A版必修1一課標要求：1利用計算工具，比較指數函數、對數函數以及冪函數增長差異；結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義；2收集一些社會生活中普遍使用的函數模型（指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等）的實例，了解函數模型的廣泛應用。二命題走向函數應用問題是高考的熱點，高考對應用題的考察即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢。高考中重視對環(huán)境保護及數學課外的的綜合性應用題等的考察。出于“立意”和創(chuàng)設情景的需要，函數試題設置問題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數思想的考察，加大函數應用題、探索題、開放題和信息題的考察力度，從而使高考考題顯得新穎、生動和靈活。預測xx年的高考，將再現其獨特的考察作用，而函數類應用題，是考察的重點，因而要認真準備應用題型、探索型和綜合題型，加大訓練力度，重視關于函數的數學建模問題，學會用數學和方法尋求規(guī)律找出解題策略。（1）題型多以大題出現，以實際問題為背景，通過解決數學問題的過程，解釋問題；（2）題目涉及的函數多以基本初等函數為載體，通過它們的性質（單調性、極值和最值等）來解釋生活現象，主要涉計經濟、環(huán)保、能源、健康等社會現象。三要點精講1解決實際問題的解題過程（1）對實際問題進行抽象概括：研究實際問題中量與量之間的關系，確定變量之間的主、被動關系，并用x、y分別表示問題中的變量；（2）建立函數模型：將變量y表示為x的函數，在中學數學內，我們建立的函數模型一般都是函數的解析式；（3）求解函數模型：根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特點正確選擇函數知識求得函數模型的解，并還原為實際問題的解.這些步驟用框圖表示：實際問題函數模型實際問題的解函數模型的解抽象概括還原說明運用函數性質2解決函數應用問題應著重培養(yǎng)下面一些能力：（1）閱讀理解、整理數據的能力：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數據之間的關系，數據的單位等等；（2）建立函數模型的能力：關鍵是正確選擇自變量將問題的目標表示為這個變量的函數，建立函數的模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關系列出函數式，注意不要忘記考察函數的定義域；（3）求解函數模型的能力：主要是研究函數的單調性，求函數的值域、最大（?。┲担嬎愫瘮档奶厥庵档?，注意發(fā)揮函數圖象的作用。四典例解析題型1：正比例、反比例和一次函數型例1某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進行了連續(xù)5年的觀測，并將每年年底的觀測結果記錄如下表。根據此表所給的信息進行預測：（1）如果不采取任何措施，那么到xx年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f公頃；（2）如果從xx年底后采取植樹造林等措施，每年改造0.6萬公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃？觀測時間1996年底1997年底xx年底xx年底xx年底該地區(qū)沙漠比原有面積增加數（萬公頃）0.xx0.40000.60010.79991.0001解析：（1）由表觀察知，沙漠面積增加數y與年份數x之間的關系圖象近似地為一次函數y=kx+b的圖象。將x=1，y=0.2與x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，所以y=0.2x（xN）。因為原有沙漠面積為95萬公頃，則到xx年底沙漠面積大約為95+0.515=98（萬公頃）。（2）設從1996年算起，第x年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬公頃，由題意得95+0.2x0.6(x5)=90，解得x=20（年）。故到xx年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃。點評：初中我們學習過的正比例、反比例和一元一次函數的定義和基本性質，我們要牢固掌握。特別是題目中出現的“成正比例”、“成反比例”等條件要應用好。例2（xx安徽理21）（已知函數在R上有定義，對任何實數和任何實數，都有（）證明；（）證明 其中和均為常數；證明（）令，則，。（）令，則。假設時，則，而，即成立。令，假設時，則，而，即成立。成立。點評：該題應用了正比例函數的數字特征，從而使問題得到簡化。而不是一味的向函數求值方面靠攏。題型2：二次函數型例3一輛中型客車的營運總利潤y（單位：萬元）與營運年數x（xN）的變化關系如表所示，則客車的運輸年數為（）時該客車的年平均利潤最大。（A）4 （B）5 （C）6 （D）7x年468（萬元）7117解析：表中已給出了二次函數模型，由表中數據知，二次函數的圖象上存在三點（4，7），（6，11），（8，7），則。解得a=1，b=12，c=-25，即。而取“=”的條件為，即x=5，故選（B）。點評：一元二次函數是高中數學函數中最重要的一個模型，解決此類問題要充分利用二次函數的結論和性質，解決好實際問題。例4行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，要繼續(xù)向前滑行一段距離后才會停下，這段距離叫剎車距離。為測定某種型號汽車的剎車性能，對這種型號的汽車在國道公路上進行測試，測試所得數據如下表。在一次由這種型號的汽車發(fā)生的交通事故中，測得剎車距離為15.13m，問汽車在剎車時的速度是多少？剎車時車速v/km/h153040506080剎車距離s/m1.237.3012.218.4025.8044.40解析：所求問題就變?yōu)楦鶕媳頂祿?，建立描述v與s之間關系的數學模型的問題。此模型不能由表格中的數據直接看出，因此，以剎車時車速v為橫軸，以剎車距離s為縱軸建立直角坐標系。根據表中的數據作散點圖，可看出應選擇二次函數作擬合函數。假設變量v與s之間有如下關系式：，因為車速為0時，剎車距離也為0，所以二次曲線的圖象應通過原點（0，0）。再在散點圖中任意選取兩點A（30，7.30），B（80，44.40）代入，解出a、b、c于是。（代入其他數據有偏差是許可的）將s=15.13代入得，解得v45.07。所以，汽車在剎車時的速度是45.07km/h。例5（xx北京春，理、文21）某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數為： =12，所以這時租出了88輛車.（2）設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：f（x）=（100）（x150）50，整理得：f（x）=+162x21000=（x4050）2+307050.所以，當x=4050時，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050.即當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.點評：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準確建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題并加以解決。題型3：分段函數型例6某集團公司在xx年斥巨資分三期興建垃圾資源化處理工廠，如下表：一期xx年投入1億元興建垃圾堆肥廠年處理有機肥十多萬噸年綜合收益2千萬元二期xx年投入4億元興建垃圾焚燒發(fā)電一廠年發(fā)電量1.3億kw/h年綜合收益4千萬元三期xx年投入2億元興建垃圾焚燒發(fā)電二廠年發(fā)電量1.3億kw/h年綜合收益4千萬元如果每期的投次從第二年開始見效，且不考慮存貸款利息，設xx年以后的x年的總收益為f(x)（單位：千萬元），試求f（x）的表達式，并預測到哪一年能收回全部投資款。解析：由表中的數據知，本題需用分段函數進行處理。由表中的數據易得，f(x)=。顯然，當n4時，不能收回投資款。當n5時，由f(n)=10n-24>70，得n>9.4，取n=10。所以到xx年可以收回全部投資款。點評：分段函數是根據實際問題分類討論函數的解析式，從而尋求在不同情況下實際問題的處理結果。例7（xx全國，21）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖210中（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖210中（2）的拋物線表示.圖210（1）寫出圖中（1）表示的市場售價與時間的函數關系式Pf（t）；寫出圖中（2）表示的種植成本與時間的函數關系式Qg（t）；（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大?（注：市場售價和種植成本的單位：元102 ，g，時間單位：天）解：（1）由圖（1）可得市場售價與時間的函數關系為f（t）由圖（2）可得種植成本與時間的函數關系為g（t）（t150）2100，0t300（2）設t時刻的純收益為h（t），則由題意得h（t）f（t）g（t），即h（t）當0t200時，配方整理得h（t）（t50）2100，所以，當t50時，h（t）取得區(qū)間0，200上的最大值100；當200t300時，配方整理得h（t）（t350）2100，所以，當t300時，h（t）取得區(qū)間（200，300上的最大值87.5.綜上，由100875可知，h（t）在區(qū)間0，300上可以取得最大值100，此時t50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大.點評：本題主要考查由函數圖象建立函數關系式和求函數最大值的問題.考查運用所學知識解決實際問題的能力.題型4：三角函數型例8某港口水的深度y(m)是時間t（0t24，單位：h）的函數，記作y=f(t)。下面是某日水深的數據：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0經長期觀察，y=f(t)的曲線可以近似地看成函數y=Asint+b的圖象。（1）試根據以上數據求出函數y=f(t)的近似表達式；（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5m或5m以上時認為是安全的（船舶?？繒r，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5m，如果該船希望在同一天內安全進出港，請問，它最多能在港內停留多少時間（忽進出港所需的時間）？解析：題中直接給出了具體的數學模型，因此可直接采用表中的數據進行解答。（1）由表中數據易得，周期T=12，b=10，所以。（2）由題意，該船進出港時，水深應不小于5+6.5=11.5（m），所以，化為，應有，解得12k+1t12k+5 （kZ）。在同一天內取k=0或1，所以1t5或13t17，所以該船最早能在凌晨1時進港，最晚在下午17時出港，在港口內最多停留16個小時。點評：三角型函數解決實際問題要以三角函數的性質為先，通過其單調性、周期性等性質解決實際問題。特別是與物理知識中的電壓、電流、簡諧振動等知識結合到到一塊來出題，為此我們要對這些物理模型做到深入了解。題型5：不等式型例9（xx湖南理20）對1個單位質量的含污物體進行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: 為, 要求清洗完后的清潔度為. 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質量變?yōu)? 設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質量的水第二次清洗后的清潔度是, 其中是該物體初次清洗后的清潔度.。()分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少; ()若采用方案乙, 當為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數值時對最少總用水量多少的影響.解析：()設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設有=0.99,解得x=19.由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3.因為當,故方案乙的用水量較少.（II）設初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得，（*）于是+當為定值時,當且僅當時等號成立.此時將代入（*）式得故時總用水量最少,此時第一次與第二次用水量分別為, 最少總用水量是.當,故T()是增函數，這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.點評：該題建立了函數解析式后，通過基本不等式“”解釋了函數的最值情況，而解決了實際問題。該問題也可以用二次函數的單調性判斷。例10（xx上海，文、理21）用水清洗一堆蔬菜上殘留的農藥對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農藥量的，用水越多洗掉的農藥量也越多，但總還有農藥殘留在蔬菜上設用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農藥量與本次清洗前殘留的農藥量之比為函數f（x）.（1）試規(guī)定f（0）的值，并解釋其實際意義；（2）試根據假定寫出函數f（x）應該滿足的條件和具有的性質；（3）設f（x）=，現有a（a0）單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農藥量比較少?說明理由解：（1）f（0）=1表示沒有用水洗時，蔬菜上的農藥量將保持原樣（2）函數f（x）應該滿足的條件和具有的性質是：f（0）=1，f（1）=，在0，）上f（x）單調遞減，且0f（x）1（3）設僅清洗一次，殘留的農藥量為f1，清洗兩次后，殘留的農藥量為f2，則f1f2于是，當a2時，f1f2；當a=2時，f1f2；當0a2時，f1f2因此，當a2時，清洗兩次后殘留的農藥量較少；當a=2時，兩種清洗方法具有相同的效果；當0a2時，一次清洗殘留的農藥量較少點評：本題主要考查運用所學數學知識和方法解決實際問題的能力。以及函數概念、性質和不等式證明的基本方法。題型6：指數、對數型函數例11有一個湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。現假設下雨和蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合。用，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克數（我們稱其湖水污染質量分數），表示湖水污染初始質量分數。（1）當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染初始質量分數；（2）分析時，湖水的污染程度如何。解析： （1）設，因為為常數，即，則；（2）設，=因為，。污染越來越嚴重。點評：通過研究指數函數的性質解釋實際問題。我們要掌握底數兩種基本情況下函數的性質特別是單調性和值域的差別，它能幫我們解釋具體問題。譬如向題目中出現的“污染越來越嚴重”還是“污染越來越輕”例12現有某種細胞100個，其中有占總數的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成2個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經過多少小時，細胞總數可以超過個？（參考數據：）.解析：現有細胞100個，先考慮經過1、2、3、4個小時后的細胞總數， 1小時后，細胞總數為；2小時后，細胞總數為；3小時后，細胞總數為；4小時后，細胞總數為；可見，細胞總數與時間（小時）之間的函數關系為： ，由，得，兩邊取以10為底的對數，得， ，. 答：經過46小時，細胞總數超過個。點評：對于指數函數、對數函數要熟練應用近似計算的知識，來對事件進行合理的解析。五思維總結1將實際問題轉化為函數模型，比較常數函數、一次函數、指數函數、對數函數模型的增長差異，結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義。2怎樣選擇數學模型分析解決實際問題數學應用問題形式多樣，解法靈活。在應用題的各種題型中，有這樣一類題型：信息由表格數據的形式給出，要求對數據進行合理的轉化處理，建立數學模型，解答有關的實際問題。解答此類題型主要有如下三種方法：（1）直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數學模型，或題中直接給出了需要用的數學模型，則可直接代入表中的數據，問題即可獲解；（2）列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問題，則可根據表格中的數據先列式，然后進行比較；（3）描點觀察法：若根據題設條件不能直接確定需要用哪種數學模型，則可根據表中的數據在直角坐標系中進行描點，作出散點圖，然后觀察這些點的位置變化情況，確定所需要用的數學模型，問題即可順利解決。下面舉例進行說明。