2019-2020年高考數學第二輪復習 統計與概率教學案.doc

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2019-2020年高考數學第二輪復習 統計與概率教學案 考綱指要： “統計”是在初中“統計初步”基礎上的深化和擴展，本講主要會用樣本的頻率分布估計總體的分布，并會用樣本的特征來估計總體的分布。熱點問題是頻率分布直方圖和用樣本的數字特征估計總體的數字特征。統計案例主要包括回歸分析的基本思想及其初步應用和獨立性檢驗的基本思想和初步應用。 對概率考察的重點為互斥事件、古典概型的概率事件的計算為主，了解隨機數的意義，能運用模擬方法（包括計算器產生隨機數來進行模擬）估計概率，初步體會幾何概型的意義。 考點掃描： 1．三種常用抽樣方法：(1)簡單隨機抽樣；（2）系統抽樣；（3）分層抽樣。 2．用樣本的數字特征估計總體的數字特征： （1）眾數、中位數；（2）平均數與方差。 3．頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖。 4．線性回歸：回歸直線方程。 5．統計案例：相關系數、卡方檢驗， 6．隨機變量：隨機變量的概念，離散性隨機變量的分布列，相互獨立事件、獨立重復試驗公式，隨機變量的均值和方差，幾種特殊的分布列：（1）兩點分布；（2）超幾何分布； （3）二項分布；正態(tài)分布。 7隨機事件的概念、概率；事件間的關系：（1）互斥事件；（2）對立事件；（3）包含； 事件間的運算：（1）并事件（和事件）（2）交事件（積事件） 8古典概型：古典概型的兩大特點；古典概型的概率計算公式。 9幾何概型：幾何概型的概念；幾何概型的概率公式；幾種常見的幾何概型。 考題先知： 例1．為了科學地比較考試的成績，有些選拔性考試常常會將考試分數轉化為標準分，轉化關系式為：（其中x是某位學生的考試分數，是該次考試的平均分，s是該次 考試的標準差，Z稱為這位學生的標準分）.轉化成標準分后可能出現小數和負值，因此， 又常常再將Z分數作線性變換轉化成其他分數. 例如某次學業(yè)選拔考試采用的是T分數，線性變換公式是：T=40Z+60. 已知在這次考試中某位考生的考試分數是85，這次考試的平均分是70，標準差是25，則該考生的T分數為 . 分析：正確理解題意，計算所求分數。 解：。 點評：本題如改編為：已知在這次考試中某位考生的考試分數是85，這次考試的平均分是70，標準差是25，而該考生的T分數為84，求T分數的線性變換公式。 例2．隨機拋擲一個骰子，求所得點數的數學期望。 1 2 3 4 5 6 P 解：拋骰子所得點數的概率分布為 ∴ 變式1 設n把外形完全相同的鑰匙，其中只有1把能打開大門，用它們去試開門上的鎖，若抽取鑰匙是相對獨立且等可能，每把鑰匙開后都不放回，試求開鎖次數的數學期望與方差。 分析： 求時，由題意知前次沒有打開，恰好第次打開，取發(fā)現規(guī)律后，再推廣到一般。的可能取值為 1 2 … k … n P … … ∴的分布列為 ∴ 由公式可算得方差 變式2 有一幢樓房共19層，現若選擇其中某一層作為會議室，開會時每層去1 人，則會議室設在第幾層時，可使每人所走過的路程最短（每層樓高度相同）？ 分析： 大部分的讀者拿到該題首先想到利用等差數列的前項和公式建立路程與之間的關系，然后求最值，這是一種常規(guī)的思路。如果我們換一個角度思考：會議室設在哪一層是隨機的，而設在任一層樓的概率都為，這樣，與上面兩個問題完全相同，所以我們“希望”會議室所在的樓層即為隨機變量的數學期望。由題意得會議室所在的樓層的分布列如下： 1 2 … 19 P … ∴ 于是，會議室設在第10層為所求。 為什么就是我們所求解問題的最小值呢？請看命題： 對于任何實數c，若 則。（是樣本方差，為樣本平均數，即） 證明： ∴當時取得最小值。 而數學期望就是概率意義上的平均數，所以，利用離散隨機變量的分布列的數學期望可解決上述問題的最值問題。 若把19改為，則可進一步引申出更為一般的結論：當為奇數時，會議室應設在層；當為偶數時，會議可設在或層中的任何一層均滿足題設要求。 變式3 數軸上有個定點，其中對應的坐標分別為為數軸上動點，坐標為，求函數的最小值。 分析： 該題的常用解決法是利用數形結合分類討論。但我們也這樣思考：動點P在x軸上運動時，落在哪個位置是隨機的，盡管問題是個連續(xù)型隨機變量，但所求函數的最值仍可用上述方法求得。 P點停在處，的概率分布為 1 2 … n P … ∴ ∴當為奇數，在點時，的值最??；當為偶數，中任一點時，的值最小。 復習智略： 例3．甲有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球的箱子，乙也有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝．這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由。 解析: 由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有＝36(種)不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則 ，所以甲獲勝的概率小于乙甲獲勝的概率，這個游戲規(guī)則不公平； 變化一:如果甲方偷偷的在自己的箱子里再放了若干個同色球，仍規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝，則他勝的概率能達到嗎？ 解析:不妨設甲在自己的箱子中又放了x個紅球，則他取勝的概率為，同理甲在自己的箱子中又放了x個白球或黃球時，也不能達到，所以他獲勝的概率仍不能達到，這個游戲規(guī)則不公平； 變化二: 如果甲方偷偷的在自己的箱子里再放了若干個任意球，仍規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝，則他勝的概率能達到嗎？ 解析:不妨設甲在自己的箱子中又放了x個紅球，、y個白球、z個黃球，則他取勝的概率為， 因為， 所以他獲勝的概率仍不能達到，這個游戲規(guī)則不公平； 變化三: 甲有一個放有a個紅球、b個白球、c個黃球的箱子，乙也有一個放有a個紅球、b個白球、c個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝．這個游戲規(guī)則公平嗎？ 解析: 由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有 ＝(a+b+c)2 (種)不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則， 不妨設 （１）當時，則 所以甲獲勝的概率不能達到，這個游戲規(guī)則不公平； （2）當時，設，則， ， 若，則，所以甲獲勝的概率恰為，這個游戲規(guī)則是公平的； 若，則，這個游戲規(guī)則也不公平； 若，則，這個游戲規(guī)則也不公平； 變化四: 甲有一個放有a個紅球、b個白球、c個黃球的箱子，乙有一個放有x個紅球、y個白球、z個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝．這個游戲規(guī)則公平嗎？ 解析:由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色分別有和 (種)不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則， 當時, 這個游戲規(guī)則是公平的,否則,是不公平的. 變化五:在原問題中,如果甲可調整自己箱子中的球的顏色，但必須確保總球數仍為6個，由由甲能否達到游戲規(guī)則公平的目的? 解析：設甲將自己箱子中的球調整為x個紅球、y個白球、z個黃球,且x+y+z=6， y x O C(6,0) 則， 令，則x、y滿足約束條件，作出如圖可行域，由可知當x=6、y=0時，u有最大值12，此時P（A）有最大值,所以甲能達到游戲規(guī)則公平的目的。 檢測評估： 1．對滿足A B的非空集合A、B有下列四個命題 ①若任取，則是必然事件；②若，則是不可能事件； ③若任取，則是隨機事件；④若，則是必然事件． 其中正確命題的個數 （ ） A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 2． 在網絡游戲《變形》中，主人公每過一關都以的概率變形（即從“大象”變?yōu)椤袄鲜蟆被驈摹袄鲜蟆弊優(yōu)椤按笙蟆保?，若將主人公過n關不變形的概率計為Pn，則 A．P5>P4 B．P8P16 3. 已知隨機變量，若，則分別是 A. 6和2.4 B. 2和2.4 C. 2和5.6 D. 6和5.6 4.某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150 個、120個、180個、150個銷售點。公司為 了調查產品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調查為 ①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調查其收入和售后服務等情況，記 這項調查為②。則完成①、②這兩項調查宜采用的抽樣方法依次是 （ ） A．分層抽樣法，系統抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法 C．系統抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法 5.xx年春季，我國部分地區(qū)SARS流行，黨和政府采取果斷措施，防治結合，很快使病情得到控制，下表是某同學記載的5月1日至5月12日每天北京市SARS病患者治愈者數據，及根據這些數據繪制出的散點圖: 日期 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 人數 100 109 115 118 121 134 日期 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 人數 141 152 168 175 186 203 下列說法： ①根據此散點圖，可以判斷日期與人數具有線性相關關系； ②若日期與人數具有線性相關關系，則相關系數r與臨界值r0.05應滿足|r|> r0.05； ③根據此散點圖，可以判斷日期與人數具有一次函數關系，其中正確的個數為 ( ) A、0個 B、1個 C、2個 D、3個 6．已知約束條件 的可行域為D, 將一枚骰子連投兩次，設第一次得到的點數 為x，第二次得到的點數為y，則點(x, y)落在可行域D內的概率為______________. 7.已知A箱內有1個紅球和5個白球，B箱內有3個白球，現隨意從A箱中取出3個球放入B箱，充分攪勻后再從中隨意取出3個球放人4箱，共有_________種不同的取法，又紅球由A箱移人到B箱，再返回到A箱的概率等于___________. 8．兩個相互獨立事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率是 9．設一部機器在一天內發(fā)生故障的概率為0 2，機器發(fā)生故障時全天停止工作 若一周5個工作日里均無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤0萬元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。則一周內期望利潤是 。 10.若隨機事件A在1次試驗中發(fā)生的概率為P（），用隨機變量表示A在1次試驗中發(fā)生的次數，則方差的最大值是 ，的最大值是 。 11.有一種密碼，明文是由三個字符組成，密碼是由明文對應的五個數字組成，編碼規(guī)則如下表：明文由表中每一排取一個字符組成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，對應的密碼由明文對應的數字按相同的次序排成一組成. 第一排 明文字符 A B C D 密碼字符 11 12 13 14 第二排 明文字符 E F G H 密碼字符 21 22 23 24 第三排 明文字符 M N P Q 密碼字符 1 2 3 4 設隨機變量ξ表示密碼中不同數字的個數. （Ⅰ）求P（ξ=2） （Ⅱ）求隨機變量ξ的分布列和它的數學期望. 12．有一個翻硬幣游戲，開始時硬幣正面朝上，然后擲骰子根據下列①、②、③的規(guī)則翻動硬幣：① 骰子出現1點時，不翻動硬幣；② 出現2，3，4，5點時，翻動一下硬幣，使另一面朝上；③ 出現6點時，如果硬幣正面朝上，則不翻動硬幣；否則，翻動硬幣，使正面朝上. 按以上規(guī)則，在骰子擲了n次后，硬幣仍然正面朝上的概率記為Pn. （Ⅰ）求證：，點（Pn ，Pn+1）恒在過定點（，），斜率為的直線上； （Ⅱ）求數列{Pn}的通項公式Pn； （Ⅲ）用記號表示數列{}從第n項到第m項之和，那么對于任意給定的正整數k，求數列，，…，，… 的前n項和Tn. 點撥與全解： 1.解：因有空集與非空集兩種情形，所以，命題①錯誤，故選B。 2.解:由題（， 即（，以n＋1代n，得， 所以（． 而，所以（）． 所以所以偶數項比它相鄰項大，所以答案為C． 3．根據正態(tài)分布知：選B 4.選B。 5．因說法①②正確，所以選C。 6．在可行域D中坐標為正整數的點有（1，1），（1，2），所以所求概率為。 7.從A箱中取出3個球有=20種取法，再從B箱中取出3個球有=20種取法，故共有2020=400種不同的取法. 紅球由A箱中取出的概率為，再從B箱中取回紅球的概率為.則紅球由A箱移入到B箱，再返回到A箱的概率等于P(AB)=P(A)p(B)==0.25. 8．解：由條件得，解之得： 。 9 解 以X表示一周5天內機器發(fā)生故障的天數，則X－B(5，0.2)，于是X有概率分布P(X=k)=C0.2k0.85－k,k=0,1,2,3,4,5 以Y表示一周內所獲利潤，則 Y=g(X)= Y的概率分布為 P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328 P(Y=5)=P(X=1)=C0.20.84=0.410 P(Y=0)=P(X=2)=C0.220.83=0.205 P(Y=－2)=P(X≥3)=1－P(X=0)－P(X=1)－P(X=2)=0.057 故一周內的期望利潤為 EY=100.328+50.410+00.205－20.057=5.216(萬元) 10.解：，的最大值是； ，的最大值是。 11．解：（Ⅰ）密碼中不同數字的個數為2的事件為密碼中只有兩個數字，注意到密碼的第 1，2列分別總是1，2，即只能取表格第1，2列中的數字作為密碼. （Ⅱ）由題意可知，ξ的取值為2，3，4三種情形. 若ξ= 3，注意表格的第一排總含有數字1，第二排總含有數字2則密碼中只可能取數字1，2，3或1，2，4. 若 （或用求得）. 的分布列為： ξ 2 3 4 p 12．解：（Ⅰ）設把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為Pn+1，此時有兩種情況： ① 第n次硬幣正面朝上，其概率為Pn，且第n+1次骰子出現1點或6點，硬幣不動，其概率為；因此，此種情況下產生硬幣正面朝上的概率為. ② 第n次硬幣反面朝上，其概率為1-Pn，且第n+1次骰子出現2，3，4，5點或6點，其概率為； 因此，此種情況下產生硬幣正面朝上的概率為. ∴，變形得 . ∴點（Pn ，Pn+1）恒在過定點（，），斜率為的直線上. （Ⅱ），，又由（Ⅰ）知：， ∴{}是首項為，公比為的等比數列， ∴，故所求通項公式為. （Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{}是首項為，公比為的等比數列，又 ∵（）是常數， ∴，，…，，…，也成等比數列， 且 從而 . 解法二：++…+ .