2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點專題5-1 平面向量的概念及其線性運算

專題5.1 平面向量的概念及其線性運算【考情分析】1.了解向量的實際背景；2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；3.理解向量的幾何表示；4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.【重點知識梳理】知識點一 向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量記作0，其方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0知識點二 向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則 平行四邊形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算|a|a|，當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab知識點三 共線向量定理向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使得ba.,向量概念的4點注意(1)注意0與0的區(qū)別，0是一個實數(shù)，0是一個向量，且|0|0.(2)單位向量有無數(shù)個，它們的模相等，但方向不一定相同(3)零向量和單位向量是兩個特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向不確定，因此在解題時要注意它們的特殊性比如：命題“若ab，bc，則ac”是假命題，因為當(dāng)b為零向量時，a，c可為任意向量，兩者不一定平行(4)任一組平行向量都可以平移到同一直線上【特別提醒】向量線性運算的3點提醒(1)兩個向量的和仍然是一個向量(2)利用三角形法則時，兩向量要首尾相連，利用平行四邊形法則時，兩向量要有相同的起點(3)當(dāng)兩個向量共線時，三角形法則仍然適用，而平行四邊形法則不適用【拓展提升】共線向量定理的深解讀定理中限定了a0，這是因為如果a0，則a0，(1)當(dāng)b0時，定理中的不存在；(2)當(dāng)b0時，定理中的不唯一因此限定a0的目的是保證實數(shù)的存在性和唯一性 知識點四 必備結(jié)論1一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即.特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量2.在ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點G(如圖所示)，易知G為ABC的重心，則有如下結(jié)論：(1) 0；(2) ()；(3) ()()3若 (，為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是1.4對于任意兩個向量a，b，都有：|a|b|ab|a|b|；|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)當(dāng)a，b不共線時：的幾何意義是三角形中的任意一邊的長小于其他兩邊長的和且大于其他兩邊長的差的絕對值；的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長與兩對角線的長之間的關(guān)系【典型題分析】高頻考點一 平面向量的有關(guān)概念【例1】（2020江蘇啟東中學(xué)模擬）給出下列命題：兩個具有公共終點的向量一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。蝗鬭0(為實數(shù))，則必為零；已知，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中正確命題的個數(shù)為()A1B2C3D4【答案】A【解析】錯誤兩向量共線要看其方向而不是起點與終點正確因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大小錯誤當(dāng)a0時，無論為何值，a.錯誤當(dāng)0時，ab，此時，a與b可以是任意向量【歸納總結(jié)】向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線【變式探究】（2020湖南長沙二中模擬）對于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若ab0，則ab，所以ab.若ab，則ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件高頻考點二 向量的線性運算【例2】 (2018全國卷)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則()A. B.C. D【答案】A【解析】作出示意圖如圖所示()().【方法技巧】向量線性運算的解題策略(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解【變式探究】2017全國卷設(shè)非零向量a，b滿足|ab|ab|，則()Aab B|a|b|Cab D|a|b|【答案】A【解析】解法一：|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故選A.解法二：利用向量加法的平行四邊形法則在ABCD中，設(shè)a，b，由|ab|ab|知|，從而四邊形ABCD為矩形，即ABAD，故ab.故選A.高頻考點三 根據(jù)向量線性運算求參數(shù)【例3】(2020山東棗莊模擬)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點，若(R)，則()A2 B3 C2 D3【答案】D【解析】由可知()，又，解得3，故選D.【方法技巧】解決此類問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較求參數(shù)的值.【變式探究】(2020河北廊坊模擬) 在ABC中，點M，N滿足2，.若xy，則x ；y .【答案】【解析】()xy，x，y。高頻考點四 共線向量定理的應(yīng)用【例4】（2020河南商丘模擬）已知O為ABC內(nèi)一點，且()，t，若B，O，D三點共線，則t()A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)E是BC邊的中點，則()，由題意得，所以()，又因為B，O，D三點共線，所以1，解得t，故選B.【方法技巧】利用共線向量定理解題的方法(1)abab(b0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)注意待定系數(shù)法和方程思想的運用(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線即A，B，C三點共線，共線(3)若a與b不共線且ab，則0.(4) (，為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則1.【變式探究】(2020廣東惠州質(zhì)檢) 已知向量e10，R，ae1e2，b2e1，若向量a與向量b共線，則()A0 Be20Ce1e2 De1e2或0【答案】D【解析】因為向量e10，R，ae1e2，b2e1，又因為向量a和b共線，存在實數(shù)k，使得akb，所以e1e22ke1，所以e2(2k1)e1，所以e1e2或0。