2019-2020年高中數(shù)學第3章概率3.3幾何概型名師導航學案蘇教版必修3.doc

2019-2020年高中數(shù)學第3章概率3.3幾何概型名師導航學案蘇教版必修3三點剖析 一、幾何概型的定義 在古典概型中，利用等可能性的概念，成功地計算了某一類問題的概率；不過，古典概型要求可能結(jié)果的總數(shù)必須有限.這不能不說是一個很大的限制，人們當然要竭力突破這個限制，以擴大自己的研究范圍.因此歷史上有不少人企圖把這種做法推廣到有無限多個結(jié)果而又有某種等可能性的場合.這類問題一般可以通過幾何方法來求解. 對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點.這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型.對于這一定義也可以作以下理解：設(shè)在空間上有一區(qū)域D，又區(qū)域d包含在區(qū)域D內(nèi)（如圖7-3所示），而區(qū)域D與d都是可以度量的（可求面積、長度、體積等），現(xiàn)隨機地向D內(nèi)投擲一點M，假設(shè)點M必落在D中，且點M可能落在區(qū)域D的任何部分,那么落在區(qū)域d內(nèi)的概率只與d的度量（長度、面積、體積等）成正比，而與d的位置和形狀無關(guān).具有這種性質(zhì)的隨機試驗（擲點），稱為幾何概型.圖7-3 二、幾何概型的概率計算 1幾何概型的概率計算公式 一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地抽取一點，記“該點落在其內(nèi)部的一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率 P(A)= 這里要求D的測度不為0，其中“測度”的意義依D確定，當D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應的“測度”分別是長度、面積和體積等. 2幾何概型的概率的取值范圍 同古典概型概率的取值范圍一樣,幾何概型的概率的取值范圍也是0P(A)1這是因為區(qū)域d包含在區(qū)域D內(nèi)，則區(qū)域d的“測度”不大于區(qū)域D的“測度”.當區(qū)域d的“測度”為0時，事件A是不可能事件，此時P(A)=0；當區(qū)域d的“測度”與區(qū)域D的“測度”相等時，事件A是必然事件，此時P(A)=1 3求古典概型概率的步驟： （1）求區(qū)域D的“測度”； （2）求區(qū)域d的“測度”； （3）代入計算公式.問題探究 問題1:利用幾何概型求概率應注意哪些問題？ 探究：應該注意到: （1）幾何型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率類型； （2）幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的題目； （3）公式為P(A)= ； （4）計算幾何概率要先計算基本事件總體與事件A包含的基本事件對應的長度（角度、面積、體積）.問題2:如圖7-4所示,設(shè)M為線段AB的中點，在AB上任取一點C，則AC、CB、AM三個線段能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，則構(gòu)成三角形的概率是多少？圖7-4 探究：由于C點是線段AB上的任意點，所以這三條線段有可能構(gòu)成三角形.又由于點C落在AB上的哪個位置都是隨機的、等可能的，故此問題屬于幾何概型.把“能構(gòu)成三角形”記為事件A由于構(gòu)成三角形的條件是兩邊之和大于第三邊且兩邊之差小于第三邊，而點C在線段AB上，則AC+CB=AB>AM，所以要AC、CB、AM三個線段能構(gòu)成三角形只需|AC-BC|<AM即可.如圖75所示，分別取AM和MB的中點D、E，則當點C落在線段DE上時能滿足條件|AC-BC|<AM，由于D、E分別為AM和MB的中點，所以DE= AB所以，在AB上任取一點C，AC、CB、AM三個線段能構(gòu)成三角形的概率為.圖7-5 問題3: 兩人相約8點到9點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就可離去，這兩人能會面的概率是多少呢？探究：本題中兩人在8點到9點之間任意一個時刻會面是等可能的，所以本題的概率模型是一個幾何概型.本題解題的關(guān)鍵是找出兩人能會面的條件，并根據(jù)條件將兩人能會面的區(qū)域的面積求出.以x、y分別表示兩人到達的時刻，則兩人能會面的條件為|x-y|20.這是一個幾何概率問題，可能的結(jié)果全體是邊長為60的正方形里的點，能會面的點的區(qū)域用陰影標出（如圖7-6所示）.正方形的面積可視為區(qū)域D，陰影部分的面積可視為區(qū)域d,所求概率為.圖7-6精題精講例1公共汽車每隔15分鐘來一輛，假定乘客在接連兩輛車之間的任何時刻隨機地到達停車站，試求乘客候車不超過5分鐘的概率.思路解析因為公共汽車每隔15分鐘來一輛，乘客在015分鐘之間任何一個時刻到達車站是等可能的，所以乘客在哪個時間段到達車站的概率只與該時間段的長度有關(guān)，而與該時間段的位置無關(guān).這符合幾何概型的條件. 答案：設(shè)A=候車的時間不超過5分鐘，我們所關(guān)心的事件A恰好是乘客到達車站的時刻,位于1015時間段內(nèi)，因而由幾何概型的概率公式得,即“乘客候車不超過5分鐘”的概率是.綠色通道分清“古典概型”與“幾何概型”的區(qū)別和聯(lián)系.古典概型和幾何概型中的基本事件的發(fā)生都是等可能的，所不同的是古典概型中基本事件的個數(shù)是有限多個，而幾何概型中的基本事件的個數(shù)是無窮多個.例2假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：307：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：008：00之間，問你父親在離開家之前能得到報紙（稱為事件A）的概率是多少？思路解析利用幾何概型正概率公式求解.圖7-7 答案：如圖7-7所示,正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的橫坐標表示送報人到達的時間，縱坐標表示父親離開家去工作的時間.假設(shè)隨機試驗落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件，根據(jù)題意，只要點落到陰影部分，就表示父親在離開家前得到報紙，即事件A發(fā)生，所以=87.5%.例3已知關(guān)于x的方程ax2ax+a3=0. （1）若方程有兩實根，求a的范圍； （2）在（1）的前提下，任取一實數(shù)a，方程有兩正根的概率是多少?思路解析先利用判別式和韋達定理分別求出方程有兩個根、兩個正根時a的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式求解. 答案：（1）方程有兩實根的條件是a0，a24a（a3）0，即0<a4 （2）方程有正根的條件是a0，a24a（a3）0， >0，即3<a4. 設(shè)數(shù)軸上與數(shù)0、3、4對應的點分別是A、B、C，由于實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，可以認為幾何區(qū)域是線段AC，“方程有正實根”的幾何區(qū)域為線段BC .故所求概率為.綠色通道把“幾何區(qū)域”推廣到“區(qū)間”，這點是容易理解的，因為一個數(shù)的集合的區(qū)間與數(shù)軸上的線段是一一對應的，幾何測度就是區(qū)間的長度.