2019-2020年高中數(shù)學(xué)第3章概率3.3幾何概型名師導(dǎo)航學(xué)案蘇教版必修3.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第3章概率3.3幾何概型名師導(dǎo)航學(xué)案蘇教版必修3三點(diǎn)剖析 一、幾何概型的定義 在古典概型中,利用等可能性的概念,成功地計(jì)算了某一類問題的概率;不過,古典概型要求可能結(jié)果的總數(shù)必須有限.這不能不說是一個很大的限制,人們當(dāng)然要竭力突破這個限制,以擴(kuò)大自己的研究范圍.因此歷史上有不少人企圖把這種做法推廣到有無限多個結(jié)果而又有某種等可能性的場合.這類問題一般可以通過幾何方法來求解. 對于一個隨機(jī)試驗(yàn),我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣;而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點(diǎn).這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn),稱為幾何概型.對于這一定義也可以作以下理解:設(shè)在空間上有一區(qū)域D,又區(qū)域d包含在區(qū)域D內(nèi)(如圖7-3所示),而區(qū)域D與d都是可以度量的(可求面積、長度、體積等),現(xiàn)隨機(jī)地向D內(nèi)投擲一點(diǎn)M,假設(shè)點(diǎn)M必落在D中,且點(diǎn)M可能落在區(qū)域D的任何部分,那么落在區(qū)域d內(nèi)的概率只與d的度量(長度、面積、體積等)成正比,而與d的位置和形狀無關(guān).具有這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)(擲點(diǎn)),稱為幾何概型.圖7-3 二、幾何概型的概率計(jì)算 1幾何概型的概率計(jì)算公式 一般地,在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地抽取一點(diǎn),記“該點(diǎn)落在其內(nèi)部的一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生的概率 P(A)= 這里要求D的測度不為0,其中“測度”的意義依D確定,當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí),相應(yīng)的“測度”分別是長度、面積和體積等. 2幾何概型的概率的取值范圍 同古典概型概率的取值范圍一樣,幾何概型的概率的取值范圍也是0P(A)1這是因?yàn)閰^(qū)域d包含在區(qū)域D內(nèi),則區(qū)域d的“測度”不大于區(qū)域D的“測度”.當(dāng)區(qū)域d的“測度”為0時(shí),事件A是不可能事件,此時(shí)P(A)=0;當(dāng)區(qū)域d的“測度”與區(qū)域D的“測度”相等時(shí),事件A是必然事件,此時(shí)P(A)=1 3求古典概型概率的步驟: (1)求區(qū)域D的“測度”; (2)求區(qū)域d的“測度”; (3)代入計(jì)算公式.問題探究 問題1:利用幾何概型求概率應(yīng)注意哪些問題? 探究:應(yīng)該注意到: (1)幾何型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率類型; (2)幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的題目; (3)公式為P(A)= ; (4)計(jì)算幾何概率要先計(jì)算基本事件總體與事件A包含的基本事件對應(yīng)的長度(角度、面積、體積).問題2:如圖7-4所示,設(shè)M為線段AB的中點(diǎn),在AB上任取一點(diǎn)C,則AC、CB、AM三個線段能否構(gòu)成三角形?若能構(gòu)成三角形,則構(gòu)成三角形的概率是多少?圖7-4 探究:由于C點(diǎn)是線段AB上的任意點(diǎn),所以這三條線段有可能構(gòu)成三角形.又由于點(diǎn)C落在AB上的哪個位置都是隨機(jī)的、等可能的,故此問題屬于幾何概型.把“能構(gòu)成三角形”記為事件A由于構(gòu)成三角形的條件是兩邊之和大于第三邊且兩邊之差小于第三邊,而點(diǎn)C在線段AB上,則AC+CB=ABAM,所以要AC、CB、AM三個線段能構(gòu)成三角形只需|AC-BC|AM即可.如圖75所示,分別取AM和MB的中點(diǎn)D、E,則當(dāng)點(diǎn)C落在線段DE上時(shí)能滿足條件|AC-BC|AM,由于D、E分別為AM和MB的中點(diǎn),所以DE= AB所以,在AB上任取一點(diǎn)C,AC、CB、AM三個線段能構(gòu)成三角形的概率為.圖7-5 問題3: 兩人相約8點(diǎn)到9點(diǎn)在某地會面,先到者等候另一人20分鐘,過時(shí)就可離去,這兩人能會面的概率是多少呢?探究:本題中兩人在8點(diǎn)到9點(diǎn)之間任意一個時(shí)刻會面是等可能的,所以本題的概率模型是一個幾何概型.本題解題的關(guān)鍵是找出兩人能會面的條件,并根據(jù)條件將兩人能會面的區(qū)域的面積求出.以x、y分別表示兩人到達(dá)的時(shí)刻,則兩人能會面的條件為|x-y|20.這是一個幾何概率問題,可能的結(jié)果全體是邊長為60的正方形里的點(diǎn),能會面的點(diǎn)的區(qū)域用陰影標(biāo)出(如圖7-6所示).正方形的面積可視為區(qū)域D,陰影部分的面積可視為區(qū)域d,所求概率為.圖7-6精題精講例1公共汽車每隔15分鐘來一輛,假定乘客在接連兩輛車之間的任何時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)停車站,試求乘客候車不超過5分鐘的概率.思路解析因?yàn)楣财嚸扛?5分鐘來一輛,乘客在015分鐘之間任何一個時(shí)刻到達(dá)車站是等可能的,所以乘客在哪個時(shí)間段到達(dá)車站的概率只與該時(shí)間段的長度有關(guān),而與該時(shí)間段的位置無關(guān).這符合幾何概型的條件. 答案:設(shè)A=候車的時(shí)間不超過5分鐘,我們所關(guān)心的事件A恰好是乘客到達(dá)車站的時(shí)刻,位于1015時(shí)間段內(nèi),因而由幾何概型的概率公式得,即“乘客候車不超過5分鐘”的概率是.綠色通道分清“古典概型”與“幾何概型”的區(qū)別和聯(lián)系.古典概型和幾何概型中的基本事件的發(fā)生都是等可能的,所不同的是古典概型中基本事件的個數(shù)是有限多個,而幾何概型中的基本事件的個數(shù)是無窮多個.例2假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上6:307:30之間把報(bào)紙送到你家,你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7:008:00之間,問你父親在離開家之前能得到報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少?思路解析利用幾何概型正概率公式求解.圖7-7 答案:如圖7-7所示,正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間,縱坐標(biāo)表示父親離開家去工作的時(shí)間.假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,所以符合幾何概型的條件,根據(jù)題意,只要點(diǎn)落到陰影部分,就表示父親在離開家前得到報(bào)紙,即事件A發(fā)生,所以=87.5%.例3已知關(guān)于x的方程ax2ax+a3=0. (1)若方程有兩實(shí)根,求a的范圍; (2)在(1)的前提下,任取一實(shí)數(shù)a,方程有兩正根的概率是多少?思路解析先利用判別式和韋達(dá)定理分別求出方程有兩個根、兩個正根時(shí)a的范圍,再根據(jù)幾何概型的概率公式求解. 答案:(1)方程有兩實(shí)根的條件是a0,a24a(a3)0,即00,即3a4. 設(shè)數(shù)軸上與數(shù)0、3、4對應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B、C,由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的,可以認(rèn)為幾何區(qū)域是線段AC,“方程有正實(shí)根”的幾何區(qū)域?yàn)榫€段BC .故所求概率為.綠色通道把“幾何區(qū)域”推廣到“區(qū)間”,這點(diǎn)是容易理解的,因?yàn)橐粋€數(shù)的集合的區(qū)間與數(shù)軸上的線段是一一對應(yīng)的,幾何測度就是區(qū)間的長度.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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