《函數單調性》的教學案例剖析

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1、 《函數單調性》教學案例 1. 【案例背景】 “函數的單調性 ”是新課標人教版《數學 1》第一章第三節(jié)的教學內容。 “課標 ” 規(guī)定兩個課時,所選案例為第一課時。 函數的單調性是函數的一條基本性質,從知識結構上看,函數的單調性既是函數概念的延續(xù)和拓展,又是后續(xù)研究基本初等函數、三角函數等內容的基礎。在這之前,學生已經學過函數的定義,函數的表示,學習過一次函數,二次函數,反比 例函數等,函數單調性是學生研究函數整體性質的開始, 之后還有奇偶性周期性等,所以本節(jié)內容承前啟后,不僅要用到以前學過的函數知識,還要由這些知識出發(fā)獲 得函數自身的更深人的認識

2、,并由這些認識解決有關的函數問題,這一節(jié)學好了,學生獲得的知識就會對后面幾節(jié)的知識產生正遷移作用。 2. 【教學內容分析】 首先,從單調性知識本身來講 .學生對于函數單調性的學習共分為三個階段, 第一階段是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有 一個初步的感性認識;第二階段是在高一進一步學習函數單調性的嚴格定義,從數和形兩個方面理解單調性的概念;第三階段則是在高三利用導數為工具研究函數的 單調性 .高一單調性的學習,既是初中學習的延續(xù)和深化, 又為高三的學習奠定基礎.其次,從函數角度來講 . 函數的單調性是學生學習函數概念后學習的第一個函數

3、性質,也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念 .函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣,都是研究自變量變化時,函數值的變化規(guī)律;學生對于這些概念的認識,都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段,即都從圖象觀察,以函數解析式為依據,經歷用符號語言刻畫圖形語言,用定量分析解釋定性結果的過程因此,函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據 .  . 最后,從學科角度來講 .函數的單調性是學習不等式、極限、 導數等其它數學知識的重要基礎,是解決數學問題的常用工具,也是培養(yǎng)學生邏輯推理能力和滲透數

4、形結合思想的重要素材 . 3. 【學情分析】 高一的學生正處于經驗邏輯思維發(fā)展階段,具備了一定的邏輯思維但要想 使學生“以一系列的行動隊一系列的條件作出反應”卻需要很大的努力的。函數單 調性的本質是利用定量的方法來研究函數圖象的性質,如何將圖形特征用嚴謹的數 學語言來刻畫是本節(jié)課的難點之一.另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數證 明,如何進行嚴格的推理論證并完成規(guī)范的書面表達. 因此首先要重視學生的親身體驗:將新知識與學生的已有知識建立了聯(lián) 系.如:學生對一次函數、二次函數和反比例函數的認識。運用新知識嘗試解決新 問題

5、.其次重視學生發(fā)現(xiàn)的過程.充分展現(xiàn)學生將函數圖象(形)的特征轉化為函 數值(數)的特征的思維過程。充分展現(xiàn)在正、反兩個方面探討活動中,學生認知 結構升華、發(fā)現(xiàn)的過程. 最后重視學生的動手實踐過程.通過對定義的解讀、鞏 固,讓學生動手去實踐運用定義. 4. 【教學過程】 一、創(chuàng)設情境,引入課題 課前布置任務: (1) 由于某種原因,  2008 年北京奧運會開幕式時間由原定的  7 月  25 日推遲到 8 月 8 日,請查閱資料說明做出這個決定的主要原因  . (2) 通過查閱歷史

6、資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況 . 課上通過交流,可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因,北京的天氣到 8 月 中旬,平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降,比較適宜大型國際體 育賽事 . 下圖是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小時內氣溫隨時間變化的曲線圖 . 引導學生識圖,捕捉信息,啟發(fā)學生思考. 問題 1:請同學們觀察圖,指出該天的氣溫在如何變化?(學生獨立思考)【設計意圖】 通過生活實例,讓學生對圖象的上升和下降有一個初步的感性認 識,讓

7、學生感受到函數的單調性和我們的生活密切相關,進而激發(fā)學生的興趣,引發(fā)學生進一步學習的好奇心。 生 1(主動回答): 0~4 時,溫度下降, 4~14 時溫度上升, 14~ 24 時溫度 下降。 問題 2:還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎?預案:水位高低、燃油價格、股票價格等. 歸納:用函數觀點看,其實就是隨著自變量的變化,函數值是變大還是變?。? 〖設計意圖〗 由生活情境引入新課,激發(fā)興趣. 二.借助圖象,直觀感知 問題 3:觀畫出 y=x 和 y x2 的函數圖象,回答下面兩個問題: ⑴分別指出上面兩個函數的圖象在哪個區(qū)間是上升

8、的,在哪個區(qū)間是下降的? 【設計意圖】順應學生的認知規(guī)律。 (小組合作探求) 生 1:一次函數 y=x 其定義域上是上升的,二次函數 y x2 是先下降后上 升。 師:這樣回答準確嗎? 生 2:一次函數 y=x 在區(qū)間(-∞,+∞) 上是 “上升 ”的;二次函數 y=x2 在區(qū)間( -∞, 0)上是 “下降 ”的,( 0,-∞)上是 “上升”的。 ⑵同學們能用數學語言把這兩個函數圖象 “上升 ”或 “下降 ”的特征描述出來嗎? 【設計意圖】 有感性上升到理性。(給學生適當的思考時間) 這時學生們思維較為混亂,無從下手。教師及時通過 "

9、幾何畫板 "展示 y=x 圖象 上 A 點的運動情況,讓學生觀察 x, y 值的變化。 師(及時提問):同學們能用數學語言把 y=x 圖象 "上升 "的特征描述出來嗎? 生 3:該函數隨著 x 的值增大, y 的值相應的增大。師(面向全體學生):大家同意生 4 的回答嗎? 生 4:老師,我有補充,應該說:該函數在區(qū)間( -∞,+∞)上隨著 x 的值增大, y 的值相應的增大。 師:生 5 補充的很好,明確提出了函數變量在對應區(qū)間上的變化情況,那么函 數 y x2 呢? 生 5:函數 y x2 在區(qū)間( -∞,0)上隨著 x 的值增

10、大, y 的值相應的減?。辉? 區(qū)間( 0, +∞)上是隨著 x 的值增大, y 的值相應的增大。 師:在數學上,我們把 y 隨著 x 的增大而增大,稱為增函數;把 y 隨著 x 的增 大而減小,稱為減函數。 三.探究規(guī)律,理性認識 問題 4:如何從解析式的角度說明 f ( x) x 2 在 [ 0, ) 為增函數? 生 6:因為 1<2, f (1) f (2) ,所以 f ( x) x 2 在 [ 0, ) 為增函數.

11、 生 7 :因為 1 2 3 4 5 f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) 所以 f ( x) 2 在 , x [ 0, ) 為增函數. 生 8:不對,以上只在兩個或有限個特殊值之間進行比較,不能代替所有值。師:很好,所有的都拿出來比較,能做到嗎?一一列舉行嗎?(意圖:通過這 一問題,讓學生聯(lián)想到用字母符號來表示任意的數值) 生:拿兩個就行了。 師:原來不都是每次拿兩個來進行比較的嗎?為什么不行? 生(終于明白):任意兩個。 師:找任意兩個?怎樣能做到這

12、一點。 生:用字母表示數字。 師:更清晰一點說呢? 生:用 x1 , x2 表示兩個變量,用 f ( x1 ), f ( x2 ) 表示對應的函數值。 師:好,請大家回想一下上述過程,試用  x1, x2 、  f ( x1 ), f (x2 ) 來刻畫增函數的 定義。 學生嘗試用符號表達單調增函數的定義,師生共同修正: 任取  x1, x2  [ 0,  ), 且 x1  x2 ,因為  x1  2  x2 

13、 2  ( x1  x2 )( x1  x2 )  0 ,即  x1  2  x2  2 , 所以  f (x) x2 在 [ 0, ) 為增函數. 對于學生錯誤的回答, 引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析 ,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉,從而引導學生在給定的區(qū)間內任意取兩個自變量 x1 , x2 . 〖設計意圖〗 把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度 , 完成對概念的 第二次認識.事實上也給出了證明單調性的方法,為證明單調性做好鋪墊 .

14、 四.抽象思維,形成概念 問題 5:你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎 ? 師生共同探究,得出增函數嚴格的定義,然后學生類比得出減函數的定義. 板書定義: 函數的單調性:設函數 f(x) 的定義域為 I. 如果對于屬于定義域 I 內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x1,x2, 當 x1f(x2), 則稱函數 y=f(x) 在這個區(qū)間上是減函數。 如果函數 y=f(x) 在某個區(qū)間上是增函數或減函數,則稱函數 y=

15、f(x) 在這一區(qū)間上 具有嚴格的單調性,這一區(qū)間叫做函數 y=f(x) 的單調區(qū)間。 師:你能否舉出一個具體函數的例子,使它在區(qū)間 ( , ) 上對任意 x1 x2 ,總有 f (x1)  f (x2 ) 生:  f ( x)  x 師:你能否舉出一些具體的例子,使它在區(qū)間 (0 ) 上,對任意的 x1 x2 ,總有 f (x1)  f ( x2  ) 生:  f ( x)  1  , f (

16、x)  x2 x 【設計意圖】 打通抽象與具體之間的聯(lián)系。單調性是對定義域內某個區(qū)間而言 的,離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調性;對于某個具體函數的單調區(qū)間,可 以是整個定義域 (如一次函數 ),可以是定義域內某個區(qū)間 (如二次函數 ),也可以根本不單調 (如常函數 ),因此單調性是函數的局部性質。 問題 6:依據上述定義,試判斷函數 f ( x) x 在( 0,+∞)上是增函數還是 x 1 減函數,并給予證明。(小組合作交流) 【設計意圖】 讓學生體會符號化,形式化的必要性。 生 9:老師,該函數的圖象是什

17、么? 師:這位同學問得非常好,那么在不知圖象的前提下,我們能得知該函數是增還是減嗎?(讓學生大膽的去猜想) 生 10:可以用定義法證明函數 f ( x) x 在( 0,+∞)上是增函數。 x 1 師:那么具體怎么證明呢?帶著這個問題讓我們先來看例 1. 例 1. 證明函數 f ( x) 1 在 (0, ) 上是增函數. x 1.分析解決問題 針對學生可能出現(xiàn)的問題,組織學生討論、交流. 證明:任取 x1, x2 (0, ), 且x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) 1 1 x1

18、 x2 x2 x1 x1x2 x1 x2 , ∴ x1 x2 0, x1 x2 0 ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 即 f (x1 ) f ( x2 ), ∴函數 f ( x) x 2 在 ( 2, ) 上是增函數. x 2.歸納解題步驟  設元 求差 變形 斷號 定論 引導學生歸納證明函數單調性的步

19、驟:設元、作差、變形、斷號、定論. 問題 7:能用定義法證明 f (x) 1 在 ( ,0) 上是增函數么? x 問題 8:能證明 f ( x) 1 在 ( ,0) (0, ) 上是增函數么? x 〖設計意圖 〗函數在定義域內的兩個區(qū)間 A, B 上都是增(或減)函數,一般不能認為函數在 A B 上是增(或減)函數. 五、鞏固概念,適當延展 練習  1:試判斷函數  f ( x)  x 

20、 在( 0,+∞)上是 x 1 增函數還是減函數,并給予證明。 (最后教師用 “幾何畫板 ”作出 f (x)  x  的圖象) x 1 練習 2:證明函數 f ( x) x 在 [ 0, ) 上是增函數. 問題 8:要證明函數 f (x) 在區(qū)間 (a, b) 上是增函數, 除 了 按 以 上 步 驟 來 證 , 如 果 可 以 證 得 對 任 意 的 x1 , x2 (a, b) , x1 x2 ,都有 f (x2 ) f (x1 ) 0 可以嗎 ?

21、 x2 x1 引導學生分析這種敘述與定義的等價性. 讓學生嘗試用這種等價形式證明函數 f (x) x 在 [ 0, ) 上是增函數. 〖設計意圖 〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟.等價形式進一 步發(fā)展可以得到導數法,為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆. (2) 鞏固概念 練習 3:判斷題: 1) 已知 f (x) 1 ,因為 f ( 1) f ( 2), 所以函數 f ( x)是增函數 . x 2)函數 f ( x) 2 , 對任意 x>0滿足 f ( x)

22、f (0), 則函數 f (x) 在 , 上為增函數 . x [0 ) ) 因為函數 f ( x) 1 ,0)和 (0, ) 上都是減函數,所以 1 在 3 在區(qū)間 ( f ( x) x x ( ,0) (0, ) 上是減函數 . 〖設計意圖 〗讓學生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調性的定義,通過對判斷題的辨析,加深學生對定義的理解,完成對概念的 第三次認識 . 六、歸納小結,提高認識 學生交流在本節(jié)課學習中的體

23、會、收獲,交流學習過程中的體驗和感受,師生 合作共同完成小結. 1.小結 (1) 概念探究過程:直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性. (2) 證明方法和步驟:設元、作差、變形、斷號、定論. (3) 數學思想方法和思維方法:數形結合,等價轉化,類比等. 2. 課后探究: 研究函數 y x 1 (x 0) 的單調性,并結合描點法畫出函數的草圖. x 5. 【課堂教學實錄】 教學 教學活動 問題呈現(xiàn) 環(huán)節(jié) 一、創(chuàng)設情 境,引入課 題  課前布置任務:

24、 (1) 由于某種原因, 2008 年北京奧運會開幕式時間由原定的 7 月 25 日推遲到 8 月 8 日,請查閱資料說明做出這個決定的主要原因 . (2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況 . 課上通過交流,可以了解到開幕式推遲主要是天氣 的原因,北京的天氣到 8 月中旬,平均氣溫、平均降雨 量和平均降雨天數等均開始下降, 比較適宜大型國際體 育賽事 . 下圖是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小時內氣溫隨 時間變化的曲線圖 .

25、 引導學生識圖,捕捉信息,啟發(fā)學生思考. 生 1(主動回答): 0~4 時,溫度下降, 4~ 14 時溫度上升, 14~ 24 時溫度下降。 歸納:用函數觀點看,其實就是隨著自變量的變化, 函數值是變大還是變小.  問題 1:請同學們觀察圖,指出該天的氣溫在如何變化?(學生獨立思考)

26、 問題 2:還能舉出生活 中其他的數據變化情況 嗎? 預案:水位高低、 燃油價格、股票價格等. 問題 3:觀畫出 y=x 和 生 1:一次函數 y=x 其定義域上是上升的, 二次函 y x2 的函數圖象,回 數 y x2 是先下降后上升。 師:這樣回答準確嗎? 生 2:一次函數 y=x 在區(qū)間( -∞,+∞)上是“上升 ” 的;二次函數 y=x2 在區(qū)間(-∞,0)上是 “下降 ”的,( 0,-∞)上是 “上升 ”的。 這時學生們思維較為混亂, 無從下手。教師及時通 過 "幾何畫板 "

27、展示 y=x 圖象上任意 A 點的運動情況,讓學生觀察 x, y 值的變化。 師(及時提問):同學們能用數學語言把 y=x 圖象"上升 "的特征描述出來嗎? 生 3:該函數隨著 x 的值增大, y 的值相應的增大。師(面向全體學生):大家同意生 4 的回答嗎? 生 4:老師,我有補充,應該說:該函數在區(qū)間(-∞,+∞)上隨著 x 的值增大, y 的值相應的增大。 師:生 5 補充的很好,明確提出了函數變量在對  答下面兩個問題: ⑴ 分別指出上面兩個函數的圖象在哪個區(qū)間是上升的,在哪個區(qū)間是下降的? ⑵ 同學們能用數學語言 把這兩個函數圖象“上升

28、”或“下降 ”的特征描述出來嗎? 二 借 助 圖象,直觀感知  應區(qū)間上的變化情況,那么函數 y x2 呢? 生 5:函數 y x2 在區(qū)間( -∞, 0)上隨著 x 的值 增大, y 的值相應的減??;在區(qū)間( 0, +∞)上是隨著 x 的值增大, y 的值相應的增大。 師:在數學上,我們把 y 隨著 x 的增大而增大, 稱為增函數;把 y 隨著 x 的增大而減小,稱為減函數。 生 6 :因為 1<2, f (1) f (2) ,所 以 f ( x)

29、 x 2 在 [ 0, ) 為增函數. 生 7:因為 1 2 3 4 5 , f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) 所 以 f (x) x 2 在 [0, ) 為增函數. 問題 4:如何從解 生 8:不對,以上只在兩個或有限個特殊值之間進 析 式 的 角 度 說 明 行比較,不能代替所有值。 f ( x) x 2 在 [0, ) 為 師:很好,所有的都拿出來比較,能做到嗎?一一 增函數?

30、 三.探究規(guī) 律,理性認 識  列舉行嗎?(意圖:通過這一問題,讓學生聯(lián)想到用字母符號來表示任意的數值) 生:拿兩個就行了。 師:原來不都是每次拿兩個來進行比較的嗎?為什么不行? 生(終于明白):任意兩個。 師:找任意兩個?怎樣能做到這一點。 生:用字母表示數字。 師:更清晰

31、一點說呢? 生:用 x1, x2 表示兩個變量, 用 f ( x1 ), f ( x2 ) 表示對應 的函數值。 師:好,請大家回想一下上述過程,試用 x1 , x2 、 f ( x1 ), f ( x2 ) 來刻畫增函數的定義。 學生嘗試用符號表達單調增函數的定義 師生共同修正: 任 取 x1 , x2 [ 0, ), 且 x1 x2 , 因 為 x12 x2 2 ( x1 x2 )( x1 x2 ) 0 , 即 x1 2 x2 2 , 所 以 f ( x) x 2 在 [0, )

32、為增函數. 對于學生錯誤的回答,引導學生分別用圖形語言和 文字語言進行辨析 ,使學生認識到問題的根源在于自變 量不可能被窮舉,從而引導學生在給定的區(qū)間內任意取 兩個自變量 x1 , x2 . 師生共同探究,得出增函數嚴格的定義, 然后學生類比 得出減函數的定義. 板書定義: y y f ( x1 ) f ( x ) f ( x2 ) f ( x1 ) 2 O x1 xx2 x x O 1 2 x  (一)、函數的單調性概

33、 念 設函數的定義域為 A, 區(qū)間 I , 如果對于任意的 x1 、 x2∈I ,當 x1

34、遞減的) ,則稱 f(x) 是嚴格單調函數。 函數在某個區(qū)間上遞增或遞減的性質統(tǒng)稱為函數的單調 性。 師:你能否舉出一個具體函數的例子,使它在區(qū)間 ( , ) 上對任意 x1 x2 ,總有 f (x1 ) f (x2 ) 生: f (x) x 師:你能否舉出一些具體的例子,使它在區(qū)間 (0 ) 上,對任意的 x1 x2 ,總有 f ( x1 ) f ( x2 ) 生: f (x) 1 , f (x)x2 x 

35、 問題 5:你能用準確的 數學符號語言表述出增 函數的定義嗎 ? 生 9:老師,該函數的圖象是什么? 師:這位同學問得非常好,那么在不知圖象的前提下,我們能得知該函數是增還是減嗎? (讓學生大膽的去猜想) 生 10 :可以用定義法證明函數 f (x) x 在( 0,+∞) x 1 上是增函數。 師:那么具體怎么證明呢?帶著這個問題讓我們先來看 例 1. 例 1. 證明函數 f ( x) 1 在 (0, )上是增函數. x 1.分析解決

36、問題 針對學生可能出現(xiàn)的問題,組織學生討論、交流. 四.抽象思 維,形成概 念  證明:任取 x1 , x2 (0, ), 且x1 x2 , 設元 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 1 求差 x1 x2 x2 x1 變形 x1x2 x1 x2 , ∴ x1 x2 0, x1 x2 0 ∴ f ( x1 )

37、f (x2 ) 0, 即 f (x1 ) f ( x2 ), 斷號 ∴函數 f ( x) x 2 在 ( 2, ) 上是增函數 . 定論 x 2.歸納解題步驟 引導學生歸納證明函數單調性的步驟: 設元、作差、變形、斷號、定論. 結論:函數在定義域內的兩個區(qū)間 A, B 上都是增(或減) 函數,一般不能認為函數在 A B 上是增(或減)函數. 問題 6:依據上述定義, 試判斷函數 f (x) x x

38、1 在( 0, +∞)上是增函 x 數還是減函數,并給予 在( 0,+∞)上是增函 證明。(小組合作交流) 練習 1:試判斷函數 f (x) x 1 數還是減函數,并給予證明。(最后教師用 “幾何畫板 ” 作出 f ( x) x 的圖象) x 1 練習 2:證明函數 f ( x) x 在 [0, ) 上是增函數. 引導學生分析這種敘述與定義的等價性. 讓學生嘗 試用這種等價形式證明函數  f ( x) 

39、 x 在 [ 0,  ) 上是增 函數. 練習 3:判斷題: 1) 已知函數 f (x) 1 ,因為 f ( 1) f (2) ,所以函數 f(x) 是增函數 x 2) 已知函數 f ( x) x2 ,對任意 x 0 ,都有 f (x) f (0) , 因此 f(x) 是 (0, ) 上增函數。 3) 已知 f (x) 1 在

40、( ,0) 和 (0, ) 上都是減函數,則 x 在 ( ,0) (0, ) 上也是減函數。 小結 : 1、函數單調性的概念,增(減)函數的概念,注意關 鍵詞 2.判斷函數單調性的方法: ( 1)圖像法(從“形”的角度) (2)定義法(從“數”的角度) 問題 7:能用定義法證 3、函數單調性的證明步驟: 明 f (x) 1 在 ( ,0) 上 x 取值——作差——變形

41、——判斷符號——下結論。 是增函數么? 1 4、數學思想方法:數形結合思想。 問題 8:能證明 f ( x) x 在 ( ,0) (0, ) 上是 課后探究: 研究函數 y x 1 ( x 0) 的單調性,并結合描點法 增函數么? x 畫出函數的草圖. 問題 9:要證明函 數 f (x) 在區(qū)間 ( a, b) 上 是增函數,除了按以上

42、 步驟來證,如果可以證 得 對 任 意 的 x1 , x2 ( a,b) , x1 x2 , 都 有 f (x2 ) f (x1 ) 0 x2 x1 可以嗎 ? 五、鞏固概 念,適當延 展 六、歸納小 結,提高認

43、 識 6. 【教學路線圖】 根據課堂活動的情況,本課的教學路線圖如下: 創(chuàng)設情境,引入課題 借助圖像,直觀感之 探究規(guī)律,理性認識 抽象思維,形成概念 鞏固概念,適當延展  通過生活實例,初步引導學生觀察 函數圖像上升下降趨勢。 通過具體函數,從感性認識初步上 升到理性認識。

44、 探究具體函數單調性的定義,能用 數學符號表示。 探究一般函數單調性的定義,能用 數學符號表示。 運用定義,證明一般函數的單調性 對于本節(jié)課進行總結,強調突出注 歸納小結,提高認識 意點。 7. 【教學過程的整體分析】 本節(jié)課通過問題激發(fā)學生求知欲,使學生主動參與數學實踐活動,在教師的有 效指導下解決問題。應當說在知識的學習、能力的培養(yǎng)二個方面收獲都比較大,基本上達到了預期的教學目的。 在整個教學過程當中收獲了以下幾點心得: 1、概念教學就是對知識發(fā)生

45、過程的了解,數學概念是一系列常識不斷精細化的結果,之所以要進一步形式化,完全是數學精確性、嚴密性的要求。本案例通過“直觀 ”到 “抽象 ”的跨越,使學生意識到自己能力上的缺陷, 從而引發(fā)認知上的不平衡,產生學習的動力。 2、概念形成困難的原因在于新舊知識結構上的矛盾(如語言形式上的差異太 大,學生認知水平、抽象水平與新內容的要求落差大等),所以解決的策略應是要 培植知識的生長點,搭建恰當的腳手架。為此,我循序漸進、螺旋式地設計了問題 組和運用了信息技術, 是學生從 “形 ”到“數”有了清新的認識。 學生的知識得到不斷重 組和內化,從而使學生形成了完整的知識體系和良

46、好的認知結構,也優(yōu)化了課堂的 教學結構。 3、以學為本,因學論教,圍繞學生的學習需求設計和推進學習過程。在學習過程中,把學習的權利還給學生,把思考的時間留給學生,把發(fā)現(xiàn)的過程給學生,把概括總結的機會給學生,使學生說出自己的思路、講述研究的過程、表達形成的 見解、闡述最終的成果。實際的教學效果是學生自主創(chuàng)新力有所提高參與積極性高,但“角色 ”轉換不太到位,不能放開手腳自主擔當。 4、在教學過程中,注重了小組合作這一有效地實現(xiàn)調動、研討、交流、合作的學習形式,突出了個體和集體力量的和諧統(tǒng)一,在挖掘學生學習的潛能、促進學生的個性發(fā)展以及綜合素質的提高上,有所效

47、果,使教學成為課程創(chuàng)生與開發(fā)的過程,這是新課程理念所倡導的。 5、在教學中相信學生也是非常重要的,教師要敢于放手,學生才能有效地自主學習,相信學生的能力,相信學生的工作,教師要做的就是在適當的時候給予學生合適的指導和幫助,但在討論問題時,場面有些混亂,學生不能高效學習,對課本依賴性強,教師的引導不到位。 學生的潛能太大了,需要我們提供和搭建一個讓他們盡情發(fā)展的平臺。新課程改革就是要通過我們的努力工作,通過我們的不斷實施,為他們創(chuàng)造這樣的一個最有利于他們發(fā)展的機會,給他們以時間和空間,幫助他們成才,幫助他們成功。 8. 【教學過程的局部分析】 1.情境問題的處理:

48、本著 “以新課程標準為依據,教師為主導,學生為主體,注重過程,探究合作” 的原則進行設計與教學,因此創(chuàng)設情境的關鍵是有利于學生發(fā)現(xiàn)問題從而揭示數學本質,本節(jié)課創(chuàng)設的情境既體現(xiàn)了單調性的本質,又與學生熟悉的生活經驗和知識經驗相聯(lián)系,基本上達到了預期的教學目的。 2.例題教學: 本課例題教學的兩個目的:一是讓學生進一步了解單調性內涵,二是讓學生感知單調性證明的要點與方法。本課講解的例題證明過程注重數形結合,先讓學生觀察圖像,形成感性認識;再給出形式化證明,突出了證明單調性常用方法,從形和數兩方面加強對單調性理解,調動了學生的學習積極性。通過小組合作、交流學習的形式使學生體驗了知識

49、形成的過程。但是仍以教師講授為主,學生自主探究能力仍然得不到提升。 3.數學語言的教學: 本節(jié)課中教師所運用的語言十分值得我們學習,在學生回答問題后教師的各種評價和鼓勵的話都十分的友好和善。在提出問題后,這位教師并沒有直接的進行評價,而是一步一步的分析或者請其他同學補充回答。教師在概念給出后對于細節(jié)的把握很是到位,對于可以斟酌的內容,則使用了商量的語氣和話語。是學生不至于被教師的一句話帶入只聽從權威的錯誤情況, 給予學生充分的考慮和理解以及提出質疑的空間,這些都是我們在教學過程中要注意的地方。 《函數的單調性》教學設計說明 一、教學內

50、容的分析 函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質, 是函數 學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念,為進一步學習函數其它性質提供了方法依據. 對 于函數單調性,學生的認知困難主要在兩個方面: ( 1)要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象 的上升與下降,這種由形到數的翻譯,從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的; ( 2) 單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容,而學生在代數方面的推理論證 能力是比較薄弱的.根據以上的分析和教學大綱的要求,確定了本節(jié)課的重點和難點. 二、教 學目標的確定 根據本課教材的特點、

51、 教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平, 從三 個不同的方面確定了教學目標,重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識;強調判斷、 證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透;突出語言表達能力、推理論證能力的 培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成. 三、教學方法和教學手段的選擇 本節(jié)課是函數單調性的起始課, 采用教師啟發(fā)講授,學生探究學習的教學方法,通過創(chuàng)設情境,引導探究,師生交流,最終形 成概念,獲得方法.本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、 生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的理解和認識. 四、教學 過程的設計 為達到本節(jié)課的教學目標, 突出重點,突破難點,教學上采取了以下的措施: ( 1) 在探索概念階段 , 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程,完成 對單調性定義的三次認識 ,使得學生對概念的認識不斷深入. ( 2)在應用概念階段 , 通過對證 明過程的分析,幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟. ( 3)考慮到我校學生數 學基礎較好、思維較為活躍的特點,對判斷方法進行適當的延展,加深對定義的理解,同時也為用導數研究單調性埋下伏筆.

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