2019-2020年高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第9講 函數(shù)模型及其應用.doc

2019-2020年高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第9講 函數(shù)模型及其應用最新考綱1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用知 識 梳 理幾類函數(shù)模型及其增長差異(1)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)型f(x)b(k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)對數(shù)函數(shù)型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)冪函數(shù)型f(x)axnb(a，b為常數(shù)，a0)(2)指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質比較函數(shù)性質Yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，) 上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當xx0時，有l(wèi)ogaxxnax診 斷 自 測1判斷正誤(在括號內打“”或“”)精彩PPT展示(1)函數(shù)y2x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大()(2)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)yabxc(a0，b0，b1)增長速度越來越快的形象比喻()(3)冪函數(shù)增長比直線增長更快()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當x(4，)時，恒有h(x)f(x)g(x)()2小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖象是()解析小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學校越來越近，排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，排除B.故選C.答案C3(xx深圳模擬)用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為()A3B4 C6D12解析設隔墻的長為x(0x6)，矩形面積為y，則yx2x(6x)2(x3)218，當x3時，y最大答案A4某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為yekt(其中k為常數(shù)，t表示時間，單位：小時，y表示病毒個數(shù))，則k_，經(jīng)過5小時，1 個病毒能繁殖為_個解析當t0.5時，y2，2ek，k2ln 2，ye2tln 2，當t5時，ye10ln 22101 024.答案2ln 21 0245(人教A必修1P104例5改編)某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元，銷售單價與日均銷售量的關系如表所示：銷售單價/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部為獲得最大利潤，定價應為_元解析設在進價基礎上增加x元后，日均銷售利潤為y元，日均銷售量為48040(x1)52040x(桶)，則y(52040x)x20040x2520x200,0x13.當x6.5時，y有最大值所以只需將銷售單價定為11.5元，就可獲得最大的利潤答案11.5考點一二次函數(shù)模型【例1】 A，B兩城相距100 km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10 km.已知供電費用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度(1)求x的取值范圍；(2)把月供電總費用y表示成x的函數(shù)；(3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用y最少？解(1)x的取值范圍為10x90.(2)y5x2(100x)2(10x90)(3)因為y5x2(100x)2x2500x25 0002，所以當x時，ymin.故核電站建在距A城km處，能使供電總費用y最少規(guī)律方法在建立二次函數(shù)模型解決實際問題中的最優(yōu)問題時，一定要注意自變量的取值范圍，需根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的位置關系討論求解【訓練1】 (xx武漢高三檢測)某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y14.1x0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A10.5萬元B11萬元C43萬元D43.025萬元解析設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛，所以可得利潤y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x)20.132.因為x0,16且xN，所以當x10或11時，總利潤取得最大值43萬元答案C考點二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型【例2】 (xx青島模擬)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率是(參考數(shù)據(jù)lg 20.301 0,100.007 51.017)()A1.5%B1.6%C1.7%D1.8%解析設每年人口平均增長率為x，則(1x)402，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40 lg(1x)lg 2，所以lg(1x)0.007 5，所以100.007 51x，得1x1.017，所以x1.7%.答案C規(guī)律方法在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示通常可以表示為yN(1p)x(其中N為基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式解題時，往往用到對數(shù)運算，要注意與已知表格中給定的值對應求解【訓練2】 某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為()A略有盈利B略有虧損C沒有盈利也沒有虧損D無法判斷盈虧情況解析設該股民購這支股票的價格為a元，則經(jīng)歷n次漲停后的價格為a(110%)na1.1n元，經(jīng)歷n次跌停后的價格為a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故該股民這支股票略有虧損答案B考點三分段函數(shù)模型【例3】 某旅游景點預計xx年1月份起前x個月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位：萬人)與x的關系近似地滿足p(x)x(x1)(392x)(xN*，且x12)已知第x個月的人均消費額q(x)(單位：元)與x的近似關系是q(x)(1)寫出xx年第x個月的旅游人數(shù)f(x)(單位：人)與x的函數(shù)關系式；(2)試問xx年第幾個月旅游消費總額最大？最大月旅游消費總額為多少元？解(1)當x1時，f(1)p(1)37，當2x12，且xN*時，f(x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)(x1)x(412x)3x240x，驗證x1也滿足此式，所以f(x)3x240x(xN*，且1x12)(2)第x個月旅游消費總額為g(x)即g(x)當1x6，且xN*時，g(x)18x2370x1 400，令g(x)0，解得x5或x(舍去)當1x5時，g(x)0，當5x6時，g(x)0，當x5時，g(x)maxg(5)3 125(萬元)當7x12，且xN*時，g(x)480x6 400是減函數(shù)，當x7時，g(x)maxg(7)3 040(萬元)綜上，xx年5月份的旅游消費總額最大，最大旅游消費總額為3 125萬元.規(guī)律方法(1)很多實際問題中，變量間的關系不能用一個關系式給出，這時就需要構建分段函數(shù)模型，如出租車的票價與路程的函數(shù)就是分段函數(shù)(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導數(shù)法、函數(shù)的單調性等方法在求分段函數(shù)的最值時，應先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值【訓練3】 某建材商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過800元，不享受任何折扣，如果顧客購物總金額超過800元，則超過800元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，按下表折扣分別累計計算.可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%某人在此商場購物總金額為x元，可以獲得的折扣金額為y元，則y關于x的解析式為y若y30元，則他購物實際所付金額為_元解析若x1 300元，則y5%(1 300800)25(元)30(元)，因此x1 300.由10%(x1 300)2530，得x1 350(元)答案1 350思想方法解函數(shù)應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；(3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；(4)還原：將數(shù)學結論還原為實際問題的意義以上過程用框圖表示如下：易錯防范1解應用題思路的關鍵是審題，不僅要明白、理解問題講的是什么，還要特別注意一些關鍵的字眼(如“幾年后”與“第幾年后”)，學生常常由于讀題不謹慎而漏讀和錯讀，導致題目不會做或函數(shù)解析式寫錯，故建議復習時務必養(yǎng)成良好的審題習慣2在解應用題建模后一定要注意定義域，建模的關鍵是注意尋找量與量之間的相互依賴關系3解決完數(shù)學模型后，注意轉化為實際問題寫出總結答案.基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527A一次函數(shù)模型B冪函數(shù)模型C指數(shù)函數(shù)模型D對數(shù)函數(shù)模型解析根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型答案A2(xx合肥調研)某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關系圖象正確的是()解析前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A，C圖象符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，故選A.答案A3(xx北京東城期末)某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為()A10B11 C13D21解析設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為x，設備年平均費用為y，則x年后的設備維護費用為242xx(x1)，所以x年的平均費用為yx1.5，由基本不等式得yx1.52 1.521.5，當且僅當x，即x10時取等號，所以選A.答案A4(xx孝感模擬)物價上漲是當前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案據(jù)預測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內完成預測的運輸任務Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是()解析由運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高得，曲線上的點的切線斜率應逐漸增大，故函數(shù)的圖象應一直是下凹的，故選B.答案B5.某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元一個月的本地網(wǎng)內打出電話時間t(分鐘)與打出電話費s(元)的函數(shù)關系如圖，當打出電話150分鐘時，這兩種方式電話費相差()A10元B20元 C30元D元解析設A種方式對應的函數(shù)解析式為sk1t20，B種方式對應的函數(shù)解析式為sk2t，當t100時，100k120100k2，k2k1，t150時，150k2150k1201502010.答案A二、填空題6.(xx江西六校聯(lián)考)A、B兩只船分別從在東西方向上相距145 km的甲乙兩地開出A從甲地自東向西行駛B從乙地自北向南行駛，A的速度是40 kmh，B的速度是 16 kmh，經(jīng)過_小時，AB間的距離最短解析設經(jīng)過x h，A，B相距為y km，則y(0x)，求得函數(shù)的最小值時x的值為.答案7(xx長春模擬)一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min 后剩余的細沙量為 yaebt(cm3)，經(jīng)過 8 min后發(fā)現(xiàn)容器內還有一半的沙子，則再經(jīng)過_min，容器中的沙子只有開始時的八分之一解析當t0時，ya，當t8時，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過16 min.答案168.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為_m.解析設內接矩形另一邊長為y，則由相似三角形性質可得，解得y40x，所以面積Sx(40x)x240x(x20)2400(0x40)，當x20時，Smax400.答案20三、解答題9(xx鄭州模擬)某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關系式可以近似地表示為y48x8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸(1)求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？解(1)每噸平均成本為(萬元)則482 4832，當且僅當，即x200時取等號年產(chǎn)量為200噸時，每噸平均成本最低為32萬元(2)設年獲得總利潤為R(x)萬元則R(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680(0x210)R(x)在0,210上是增函數(shù)，x210時，R(x)有最大值為(210220)21 6801 660.年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤1 660萬元10.在扶貧活動中，為了盡快脫貧(無債務)致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支3 600元后，逐步償還轉讓費(不計息)在甲提供的資料中：這種消費品的進價為每件14元；該店月銷量Q(百件)與銷售價格P(元)的關系如圖所示；每月需各種開支2 000元(1)當商品的價格為每件多少元時，月利潤扣除職工最低生活費的余額最大？并求最大余額；(2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？解設該店月利潤余額為L元，則由題設得LQ(P14)1003 6002 000，由銷量圖易得Q代入式得L(1)當14P20時，Lmax450元，此時P19.5元；當20P26時，Lmax元，此時P元故當P19.5元時，月利潤余額最大，為450元(2)設可在n年后脫貧，依題意有12n45050 00058 0000，解得n20.即最早可望在20年后脫貧能力提升題組(建議用時：25分鐘)11為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種為加密密鑰密碼系統(tǒng)(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)現(xiàn)在加密密鑰為ykx3，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是()A.B C2D解析由題目可知加密密鑰ykx3是一個冪函數(shù)型，由已知可得，當x4時，y2，即2k43，解得k.故yx3，顯然令y，則x3，即x3，解得x.答案A12.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應為()Ax15，y12Bx12，y15Cx14，y10Dx10，y14解析由三角形相似得.得x(24y)，Sxy(y12)2180，當y12時，S有最大值，此時x15.答案A13一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(xN*)件當x 20時，年銷售總收入為(33xx2)萬元；當x20時，年銷售總收入為260萬元記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關系式為_，該工廠的年產(chǎn)量為_件時，所得年利潤最大(年利潤年銷售總收入年總投資)解析當0x20時，y(33xx2)x100x232x100；當x20時，y260100x160x.故y(xN*)當0x20時，yx232x100(x16)2156，x16時，ymax156.而當x20時，160x140，故x16時取得最大年利潤答案y(xN*)1614已知某物體的溫度(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律：m2t21t(t0，并且m0)(1)如果m2，求經(jīng)過多少時間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍解(1)若m2，則22t21t2，當5時，2t，令2tx1，則x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此時t1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即2恒成立亦m2t2恒成立，亦即m2恒成立令x，則0x1，m2(xx2)，由于xx2，m.因此，當物體的溫度總不低于2攝氏度時，m的取值范圍是.