3.3 垂徑定理

北 師 大 版 九 年 級 下 冊 第 三 章 圓 3.3 垂 徑 定 理 某 公 園 中 央 地 上 有 一 個 大 理 石 球 ， 小 明 想 測量 球 的 半 徑 ， 于 是 找 了 兩 塊 厚 10cm的 磚 塞 在 球 的兩 側(cè) （ 如 圖 所 示 ） ， 他 量 了 下 兩 磚 之 間 的 距 離 剛好 是 60cm， 你 也 能 算 出 這 個 大 石 球 的 半 徑 嗎 ？課 前 引 入 如 圖 ， AB是 O 的 一 條 弦 ， 作 直 徑 CD,使 CD AB,垂 足 為 M.（ 2） 你 能 發(fā) 現(xiàn) 圖 中 有 哪 些 等 量 關(guān) 系 ? 說 一 說 你 的 理 由 . 做 一 做 O（ 1） 右 圖 是 軸 對 稱 圖 形 嗎 ?如 果 是 , 其 對 稱 軸 是 什 么 ? A BCDM線 段 : AM=BM弧 : AC=BC, AD=BD OA BCDM垂 徑 定 理 的 證 明 AC =BC ， AD =BD. 已 知 ： 如 圖 , AB是 O 的 一 條 弦 ， CD是 O 的 一 條 直 徑 ,并 且 CD AB,垂 足 為 M.求 證 ： AM=BM，垂 徑 定 理 ： 直 徑 CD AB, AM=BM, AC =BC, AD=BD. 垂 直 于 弦 的 直 徑 平 分 弦 ,并 且 平 分 弦 所 的 兩 條 弧 .幾 何 語 言 ： AE=EB嗎 ？（ 1） （ 2） （ 3）注 意 ： 直 徑 ， 垂 直 于 弦 ， 缺 一 不 可 ！ 如 圖 1， 當(dāng) 直 徑 CD平 分 弦 AB時 ， CD與 AB垂 直 嗎 ？ 嗎 ？ 如 果 弦 AB也 是 直 徑 ， 上 述結(jié) 論 是 否 成 立 ？ A BDM OC圖 探 究推 論 :平 分 弦 (不 是 直 徑 )的 直 徑垂 直 于 弦 ,并 且 平 分 弦 所 對 的 兩 條 弧 . AC =BC, AD =BD幾 何 語 言 ： CD AB， CD是 直 徑 ， AM=BM, AC =BC, AD =BD.如 圖 ， 當(dāng) 直 徑 平 分 弦 時 ， 與 垂 直 嗎 ？嗎 ？ 如 果 弦 也 是 直 徑 ， 上 述結(jié) 論 是 否 成 立 ？ n 你 可 以 寫 出 相 應(yīng) 的 命 題 嗎 ？進 一 步 理 解 “ 垂 徑 定 理 及 其 逆 定 理 ”如 圖 ,在 下 列 五 個 條 件 中 :只 要 具 備 其 中 兩 個 條 件 ,就 可 推 出 其 余 三 個 結(jié) 論 . OA BCDM CD是 直 徑 , AM=BM, CD AB, AC=BC, AD=BD. 判 斷 ： 垂 直 于 弦 的 直 線 平 分 這 條 弦 ,并 且 平 分 弦 所 對 的 兩 條弧 . （ ） 平 分 弦 所 對 的 一 條 弧 的 直 徑 一 定 平 分 這 條 弦 所 對 的 另一 條 弧 . （ ） 經(jīng) 過 弦 的 中 點 的 直 徑 一 定 垂 直 于 弦 . （ ） 弦 的 垂 直 平 分 線 一 定 平 分 這 條 弦 所 對 的 弧 . （ ）錯對對對 例 1 如 圖 ， 一 條 公 路 的 轉(zhuǎn) 彎 處 是 一 段 圓 弧 (即 圖 中 弧 CD,點 o是 弧 CD所 在 圓 的 圓 心 ),其 中 CD=600m,E為 弧 CD上 一點 ,且 oE CD， 垂 足 為 F,EF=90m.求 這 段 彎 路 的 半 徑 .解 :連 接 oC. OC DEF.)90(, mROFRm 則設(shè) 彎 路 的 半 徑 為,CDOE ).(3006002121 mCDCF R OCF在 t 中 ， 2 2 2OC CF OF 22 2300 90 .R R .545, R得解 這 個 方 程 .545m這 段 彎 路 的 半 徑 約 為 1 00多 年 前 ,我 國 隋 朝 建 造 的 趙 州 石 拱 橋 (如 圖 )是圓 弧 形 ,它 的 跨 度 (即 弧 所 對 的 弦 長 )為 37.4 m,拱 高 (弧的 中 點 到 弦 的 距 離 )為 7.2m,求 橋 拱 所 在 圓 的 半 徑 (精 確到 0.1m). O A B CR D 37.47.2隨 堂 練 習(xí) 1、 如 果 圓 的 兩 條 弦 互 相 平 行 ,那 么 這 兩 條 弦 所 夾 的 弧 相 等 嗎 ? 這 兩 條 弦 在 圓 中 位 置 有 兩 種 情 況 : OA BC D（ 1） 兩 條 弦 在 圓 心 的 同 側(cè) OA BC D（ 2） 兩 條 弦 在 圓 心 的 兩 側(cè)垂 徑 定 理 的 推 論 圓 的 兩 條 平 行 弦 所 夾 的 弧 相 等 .隨 堂 練 習(xí) 2. 如 圖 (3)， 若 O的 半 徑 為 5， 弦 AB=6， M是 AB上任 意 一 點 ， 則 線 段 OM的 長 可 能 是 ( ) A 2.5 B 3.5 C 4.5 D 5.5 （ 3） （ 4）3. 高 速 公 路 的 隧 道 和 橋 梁 最 多 圖 (4)是 一 個 隧 道的 橫 截 面 ， 若 它 的 形 狀 是 以 O為 圓 心 的 圓 的 一部 分 ， 路 面 =10米 ， 凈 高 =7米 ， 則 此 圓的 半 徑 = ( ) A 5 B 7 C DODA BC AB CD375 377CD 4.某 蔬 菜 基 地 的 圓 弧 形 蔬 菜 大 棚 的 剖 面 如 圖 所 示 ，已 知 AB 16m， 半 徑 OA 10m， 則 中 間 柱 CD的 高度 為 m 45. 如 圖 ， AB是 O的 直 徑 ， AB=16cm, P為 OB的 中點 ， , 求 CD的 長 . 30APC 家 庭 ： 學(xué) 練 優(yōu) 對 應(yīng) 練 習(xí) 作 業(yè)正 本 ： 習(xí) 題 3.3第 1題 及 補 充 題 如 圖 ， 已 知 圓 O的 直 徑 AB垂 直 于 弦 CD于 點 E，連 接 CO并 延 長 交 AD于 點 F， 且 CF AD。（ 1） 請 證 明 ： E是 OB的 中 點 ； （ 2） 若 AE=8， 求 CD的 長 。 提 示 ： 連 接 AC