2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理1等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母_d_表示2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是ana1(n1)d.3等差中項(xiàng)如果A，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)4等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列5等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn或Snna1d.6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn(A、B為常數(shù))7等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，a1>0，d<0，則Sn存在最_大_值；若a1<0，d>0，則Sn存在最_小_值【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)()(5)數(shù)列an滿足an1ann，則數(shù)列an是等差數(shù)列()(6)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是anpnq(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列an一定是等差數(shù)列()1設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a111，a4a66，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n_.答案6解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a1a9a4a66，且a111，a95，從而d2.Sn11nn(n1)n212n，當(dāng)n6時(shí)，Sn取最小值2設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a12a83a4，則_.答案解析由已知得a12a114d3a19d，a1d，又，將a1d代入化簡(jiǎn)得.3在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11_.答案88解析S1188.4設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a3a4a512，則a1a2a7_.答案28解析a3a4a53a412，a44，a1a2a77a428.5(xx北京)若等差數(shù)列an滿足a7a8a9>0，a7a10<0，則當(dāng)n_時(shí)，an的前n項(xiàng)和最大答案8解析因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，且a7a8a93a80，所以a80.又a7a10a8a90，所以a90.故當(dāng)n8時(shí)，其前n項(xiàng)和最大.題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例1(1)在數(shù)列an中，若a12，且對(duì)任意的nN*有2an112an，則數(shù)列an前10項(xiàng)的和為_(2)已知在等差數(shù)列an中，a27，a415，則前10項(xiàng)和S10_.答案(1)(2)210解析(1)由2an112an得an1an，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，所以S1010(2).(2)因?yàn)閍27，a415，所以d4，a13，故S101031094210.思維升華(1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程的思想(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則S5_.(2)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足1，則數(shù)列an的公差是_答案(1)5(2)2解析(1)an為等差數(shù)列，a1a52a3，a1a3a53a33，得a31，S55a35.(2)Sn，又1，得1，即a3a22，數(shù)列an的公差為2.題型二等差數(shù)列的判定與證明例2已知數(shù)列an中，a1，an2(n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn(nN*)(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由(1)證明因?yàn)閍n2(n2，nN*)，bn(nN*)，所以bn1bn1.又b1.所以數(shù)列bn是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知bnn，則an11.設(shè)f(x)1，則f(x)在區(qū)間(，)和(，)上為減函數(shù)所以當(dāng)n3時(shí)，an取得最小值1，當(dāng)n4時(shí)，an取得最大值3.引申探究例2中，若條件變?yōu)閍1，nan1(n1)ann(n1)，探求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解由已知可得1，即1，又a1，是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，(n1)1n，ann2n.思維升華等差數(shù)列的四個(gè)判定方法(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an1an等于同一個(gè)常數(shù)(2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an1anan2后，可遞推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根據(jù)定義得出數(shù)列an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：得出anpnq后，得an1anp對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：得出SnAn2Bn后，根據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列(1)若an是公差為1的等差數(shù)列，則a2n12a2n是_公差為3的等差數(shù)列 公差為4的等差數(shù)列公差為6的等差數(shù)列 公差為9的等差數(shù)列(2)在數(shù)列an中，若a11，a2，(nN*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)為_答案(1)(2)an解析(1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226，a2n12a2n是公差為6的等差數(shù)列(2)由已知式可得，知是首項(xiàng)為1，公差為211的等差數(shù)列，所以n，即an.題型三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1等差數(shù)列的性質(zhì)例3(1)(xx廣東)在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a8_.(2)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1010，S2030，則S30_.答案(1)10(2)60解析(1)因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.(2)S10，S20S10，S30S20成等差數(shù)列，且S1010，S2030，S20S1020，S30301021030，S3060.命題點(diǎn)2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例4在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值解a120，S10S15，1020d1520d，d.方法一由an20(n1)n.得a130.即當(dāng)n12時(shí)，an0，當(dāng)n14時(shí)，an0.當(dāng)n12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S12S131220130.方法二Sn20nn2n2.nN*，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.方法三由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.引申探究例4中，若條件“a120”改為a120，其他條件不變，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最小值，并求出最小值解由S10S15，得a11a12a13a14a150，a130.又a120，a12<0，a14>0，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn取得最小值，最小值S12S13130.思維升華(1)等差數(shù)列的性質(zhì)：項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，aman(mn)dd(mn)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則aS2nn(a1a2n)n(anan1)；bS2n1(2n1)an.(2)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法：函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Snan2bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解鄰項(xiàng)變號(hào)法：a當(dāng)a10，d0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值Sm；b當(dāng)a10，d0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值Sm.(1)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5a74，a6a82，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值是_(2)設(shè)數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，若S65a110d，則Sn取最大值時(shí)，n的值為_(3)已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a120，公差d2，則前n項(xiàng)和Sn的最大值為_答案(1)6(2)5或6(3)110解析(1)依題意得2a64,2a72，a620，a710；又?jǐn)?shù)列an是等差數(shù)列，因此在該數(shù)列中，前6項(xiàng)均為正數(shù)，自第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，于是當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n6.(2)由題意得S66a115d5a110d，所以a60，故當(dāng)n5或6時(shí)，Sn最大(3)因?yàn)榈炔顢?shù)列an的首項(xiàng)a120，公差d2，代入求和公式得，Snna1d20n2n221n22，又因?yàn)閚N*，所以n10或n11時(shí)，Sn取得最大值，最大值為110.6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值典例(1)在等差數(shù)列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，則此數(shù)列前10項(xiàng)的和S10_.(2)在等差數(shù)列an中，S10100，S10010，則S110_.(3)等差數(shù)列an中，已知a5>0，a4a7<0，則an的前n項(xiàng)和Sn的最大值為_思維點(diǎn)撥(1)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和，可以通過求解基本量a1，d，代入前n項(xiàng)和公式計(jì)算，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)：a1ana2an1；(2)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，可以將Sn化為關(guān)于n的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最值，也可以觀察等差數(shù)列的符號(hào)變化趨勢(shì)，找最后的非負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)解析(1)由題意得a3a89，所以S1045.(2)方法一設(shè)數(shù)列an的公差為d，首項(xiàng)為a1，則解得所以S110110a1d110.方法二因?yàn)镾100S1090，所以a11a1002，所以S110110.(3)因?yàn)樗运許n的最大值為S5.答案(1)45(2)110(3)S5溫馨提醒(1)利用函數(shù)思想求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，要注意到nN*；(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求Sn，突出了整體思想，減少了運(yùn)算量方法與技巧1在解有關(guān)等差數(shù)列的基本量問題時(shí)，可通過列關(guān)于a1，d的方程組進(jìn)行求解2證明等差數(shù)列要用定義；另外還可以用等差中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法，前n項(xiàng)和公式法判定一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列3等差數(shù)列性質(zhì)靈活使用，可以大大減少運(yùn)算量4在遇到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問題時(shí)，可設(shè)三個(gè)數(shù)為(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可視具體情況而定失誤與防范1當(dāng)公差d0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，當(dāng)公差d0時(shí)，an為常數(shù)2公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若2a86a11，則S9的值等于_答案54解析根據(jù)題意及等差數(shù)列的性質(zhì)，知2a8a11a56，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，知S9996954.2(xx北京改編)設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是_若a1a20，則a2a30；若a1a30，則a1a20；若0a1a2，則a2；若a10，則(a2a1)(a2a3)0.答案解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，若a1a2>0，a2a3a1da2d(a1a2)2d，由于d正負(fù)不確定，因而a2a3符號(hào)不確定，故錯(cuò)；若a1a3<0，a1a2a1a3d(a1a3)d，由于d正負(fù)不確定，因而a1a2符號(hào)不確定，故錯(cuò)；若0<a1<a2，可知a1>0，d>0，a2>0，a3>0，所以aa1a3(a1d)2a1(a12d)d2>0，所以a2>，故正確；若a1<0，則(a2a1)(a2a3)d(d)d20，故錯(cuò)3設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，則m_.答案5解析數(shù)列an為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列也為等差數(shù)列，即0，解得m5，經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解4數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列，且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，則a8_.答案3解析設(shè)bn的公差為d，b10b37d12(2)14，d2.b32，b1b32d246.b1b2b77b1d7(6)2120.又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a830，a83.5已知數(shù)列an滿足an1an，且a15，設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn取得最大值的序號(hào)n的值為_答案7或8解析由題意可知數(shù)列an是首項(xiàng)為5，公差為的等差數(shù)列，所以an5(n1)，該數(shù)列前7項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng)，第8項(xiàng)是0，從第9項(xiàng)開始是負(fù)數(shù)項(xiàng)，所以Sn取得最大值時(shí)，n7或8.6(xx常州模擬)已知數(shù)列an中，a11且(nN*)，則a10_.答案解析由已知得(101)134，故a10.7已知遞增的等差數(shù)列an滿足a11，a3a4，則an_.答案2n1解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，a3a4，12d(1d)24，解得d24，即d2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，故d2.an1(n1)22n1.8設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n10(nN*)，則|a1|a2|a15|_.答案130解析由an2n10(nN*)知an是以8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an2n100得n5，n5時(shí)，an0，當(dāng)n5時(shí)，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.9若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求證：成等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明當(dāng)n2時(shí)，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列(2)解由(1)可得2n，Sn.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1.當(dāng)n1時(shí)，a1不適合上式故an10等差數(shù)列an中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a10，S3S11，則當(dāng)n為多少時(shí)，Sn最大？解方法一由S3S11得3a1d11a1d，則da1.從而Snn2n(n7)2a1，又a10，所以0.故當(dāng)n7時(shí)，Sn最大方法二由于Snan2bn是關(guān)于n的二次函數(shù)，由S3S11，可知Snan2bn的圖象關(guān)于n7對(duì)稱由方法一可知a0，故當(dāng)n7時(shí)，Sn最大方法三由方法一可知，da1.要使Sn最大，則有即解得6.5n7.5，故當(dāng)n7時(shí)，Sn最大方法四由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80，又由a10，S3S11可知d0，所以a70，a80，所以當(dāng)n7時(shí)，Sn最大B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：20分鐘)11設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，(n1)SnnSn1(nN*)若1，則下列說法正確的是_Sn的最大值是S8 Sn的最小值是S8Sn的最大值是S7 Sn的最小值是S7答案解析由條件得，即，所以anan1，所以等差數(shù)列an為遞增數(shù)列又1，所以a80，a70，即數(shù)列an前7項(xiàng)均小于0，第8項(xiàng)大于零，所以Sn的最小值為S7.12設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a13，ak1，Sk12，則正整數(shù)k_.答案13解析Sk1Skak112，又Sk1，解得k13.13設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有，則的值為_答案解析an，bn為等差數(shù)列，.，.14已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，bn，若對(duì)任意的nN*，都有bnb8成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案(8，7)解析依題意得bn1，對(duì)任意的nN*，都有bnb8，即數(shù)列bn的最小項(xiàng)是第8項(xiàng)，于是有.又?jǐn)?shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，因此有即由此解得8a7，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(8，7)15已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3a4117，a2a522.(1)求通項(xiàng)an；(2)求Sn的最小值；(3)若數(shù)列bn是等差數(shù)列，且bn，求非零常數(shù)c.解(1)因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，所以a3a4a2a522.又a3a4117，所以a3，a4是方程x222x1170的兩實(shí)根，又公差d0，所以a3a4，所以a39，a413，所以所以所以通項(xiàng)an4n3.(2)由(1)知a11，d4，所以Snna1d2n2n22.所以當(dāng)n1時(shí)，Sn最小，最小值為S1a11.(3)由(2)知Sn2n2n，所以bn，所以b1，b2，b3.因?yàn)閿?shù)列bn是等差數(shù)列，所以2b2b1b3，即2，所以2c2c0，所以c或c0(舍去)，經(jīng)驗(yàn)證c時(shí)，bn是等差數(shù)列，故c.