2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù).doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)最新考綱1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算；3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)；4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型知 識(shí) 梳 理1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(a0，m，nN*，且n1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(a0，m，nN*，且n1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)yaxa10a1圖象定義域(1)R值域(2)(0，)性質(zhì)(3)過定點(diǎn)(0,1)(4)當(dāng)x0時(shí)，y1；當(dāng)x0時(shí)，0y1(5)當(dāng)x0時(shí)，0y1；當(dāng)x0時(shí)，y1(6)在(，)上是增函數(shù)(7)在(，)上是減函數(shù)診 斷 自 測(cè)1判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)精彩PPT展示(1)()44.()(2).()(3)函數(shù)y2x1是指數(shù)函數(shù)()(4)函數(shù)y|x|的值域是(，1()2已知函數(shù)f(x)ax(0a1)，對(duì)于下列命題：若x0，則0f(x)1；若x1，則f(x)0；若f(x1)f(x2)，則x1x2.其中正確的命題()A有3個(gè)B有2個(gè) C有1個(gè)D不存在解析結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象可知正確答案A3(xx陜西卷)下列函數(shù)中，滿足“f(xy)f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是()Af(x)x3Bf(x)3xCf(x)xDf(x)x解析axyaxay，滿足f(xy)f(x)f(y)，可先排除A，C，又因?yàn)閒(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，故選B.答案B4若函數(shù)y(a21)x在(，)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由y(a21)x在(，)上為減函數(shù)，得0a211，1a22，即1a或a1.答案(，1)(1，)5(人教A必修1P52例4(1)改編)計(jì)算： _.答案4a考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算例1 化簡下列各式：(1)(0.06)2.50；(2).規(guī)律方法(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；運(yùn)算的先后順序(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù)(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用例2 (1)函數(shù)f(x)axb的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Aa1，b0 Ba1，b0C0a1，b0 D0a1，b0(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2 014a2 015b，下列五個(gè)關(guān)系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式有()A1個(gè)B2個(gè) C3個(gè)D4個(gè)解析(1)由f(x)axb的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以0a1.函數(shù)f(x)axb的圖象是在f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b0，故選D.(2)設(shè)2 014a2 015bt，如圖所示，由函數(shù)圖象，可得若t1，則有ab0；若t1，則有ab0；若0t1，則有ab0.故可能成立，而不可能成立答案(1)D(2)B規(guī)律方法(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解【訓(xùn)練2】 (xx衡水模擬)若曲線|y|2x1與直線yb沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_解析曲線|y|2x1與直線yb的圖象如圖所示，由圖象可知：如果|y|2x1與直線yb沒有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是b1,1答案1,1考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用例3 (1)下列各式比較大小正確的是()A1.72.5>1.73B0.61>0.62C0.80.1>1.250.2D1.70.3<0.93.1(2)若函數(shù)f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)(14m)在0，)上是增函數(shù)，則a_.解析(1)A中，函數(shù)y1.7x是增函數(shù)，2.5<3，1.72.5<1.73.B中，y0.6x在R上是減函數(shù)，1<2，0.61>0.62.C中，(0.8)11.25，問題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大小y1.25x在R上是增函數(shù)，0.1<0.2，1.250.1<1.250.2，即0.80.1<1.250.2.D中，1.70.3>1,00.93.1<1，1.70.3>0.93.1.(2)若a1，有a24，a1m，此時(shí)a2，m，此時(shí)g(x)為減函數(shù)，不合題意若0a1，有a14，a2m，故a，m，檢驗(yàn)知符合題意答案(1)B(2)規(guī)律方法(1)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較同底數(shù)冪值的大小(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域(最值)、單調(diào)性、奇偶性的求解方法，與前面所講一般函數(shù)的求解方法一致，只需根據(jù)條件靈活選擇即可【訓(xùn)練3】 設(shè)函數(shù)f(x)kaxax(a>0且a1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)(1)若f(1)>0，試求不等式f(x22x)f(x4)>0的解集；(2)若f(1)，且g(x)a2xa2x4f(x)，求g(x)在1，)上的最小值解因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(0)0，所以k10，即k1，f(x)axax.(1)因?yàn)閒(1)>0，所以a>0，又a>0且a1，所以a>1.因?yàn)閒(x)axln aaxln a(axax)ln a>0，所以f(x)在R上為增函數(shù)，原不等式可化為f(x22x)>f(4x)，所以x22x>4x，即x23x4>0，所以x>1或x<4.所以不等式的解集為x|x>1或x<4(2)因?yàn)閒(1)，所以a，即2a23a20，所以a2或a(舍去)所以g(x)22x22x4(2x2x)(2x2x)24(2x2x)2.令t(x)2x2x(x1)，則t(x)在(1，)為增函數(shù)(由(1)可知)，即t(x)t(1)，所以原函數(shù)為(t)t24t2(t2)22，所以當(dāng)t2時(shí)，(t)min2，此時(shí)xlog2(1)即g(x)在xlog2(1)時(shí)取得最小值2. 思想方法1判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較2比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí)，盡量化同底或同指，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大小；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大小3指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的單調(diào)性和底數(shù)a有關(guān)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論4與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成；而與其有關(guān)的最值問題，往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題易錯(cuò)防范1指數(shù)冪的運(yùn)算容易出現(xiàn)的問題是誤用指數(shù)冪的運(yùn)算法則，或在運(yùn)算中變換的方法不當(dāng)，不注意運(yùn)算的先后順序等2復(fù)合函數(shù)的問題，一定要注意函數(shù)的定義域3形如a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)形式，常借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程或不等式求解，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1若xlog43，則(2x2x)2()A.B C.D解析由xlog43，得4x3，即2x，2x，所以(2x2x)22.答案D2函數(shù)yaxa(a>0，且a1)的圖象可能是()解析當(dāng)x1時(shí)，y0，故函數(shù)yaxa(a>0，且a1)的圖象必過點(diǎn)(1,0)，顯然只有C符合答案C3(xx武漢模擬)設(shè)a()1.4，b，cln ，則a，b，c的大小關(guān)系是()AabcBbcaCcabDbac解析cln 1()0a()1.4b，故選D.答案D4(xx東北三校聯(lián)考)函數(shù)f(x)ax1(a0，a1)的圖象恒過點(diǎn)A，下列函數(shù)中圖象不經(jīng)過點(diǎn)A的是()AyBy|x2|Cy2x1Dylog2(2x)解析f(x)ax1(a0，a1)的圖象恒過點(diǎn)(1,1)，又由0知(1,1)不在函數(shù)y的圖象上答案A5若函數(shù)f(x)a|2x4|(a0，a1)，滿足f(1)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A(，2B2，)C2，)D(，2解析由f(1)得a2，a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上遞減，在2，)上遞增，所以f(x)在(，2上遞增，在2，)上遞減故選B.答案B二、填空題6.(a0)的值是_解析.答案7函數(shù)f(x)ax(a0，a1)在1,2中的最大值比最小值大，則a的值為_解析當(dāng)0a1時(shí)，aa2，a或a0(舍去)當(dāng)a1時(shí)，a2a，a或a0(舍去)綜上所述，a或.答案或8已知函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)，且f(2)f(3)，則a的取值范圍是_解析因?yàn)閒(x)axx，且f(2)f(3)，所以函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增，所以1，解得0a1.答案(0,1)三、解答題9求下列函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性(1)y6x2x2；(2)y|x|.解(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，令u6x2x2，則yu.二次函數(shù)u6x2x222，函數(shù)的值域?yàn)?又二次函數(shù)u6x2x2的對(duì)稱軸為x，在上u6x2x2是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又函數(shù)yu是減函數(shù)，y6x2x2在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)(2)定義域?yàn)閤R.|x|0，y|x|x|01.故y|x|的值域?yàn)閥|y1又y|x|是偶函數(shù)，且y|x|所以函數(shù)y|x|在(，0上是減函數(shù)，在0，)上是增函數(shù)(此題可借助圖象思考)10已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x).(1)求函數(shù)f(x)在(1,1)上的解析式；(2)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性解(1)f(x)是xR上的奇函數(shù)，f(0)0.設(shè)x(1,0)，則x(0,1)f(x)f(x)，f(x)，f(x)(2)設(shè)0x1x21，f(x1)f(x2)，0x1x21，2x12x2，2x1x2201，f(x1)f(x2)0，f(x)在(0,1)上為減函數(shù)能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11函數(shù)yaxb(a0且a1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則ab的取值范圍為()A(1，)B(0，)C(0,1)D無法確定解析函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限，所以函數(shù)單調(diào)遞減且圖象與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上而當(dāng)x0時(shí)，ya0b1b，由題意得解得所以ab(0,1)答案C12若關(guān)于x的方程|ax1|2a(a0且a1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是()A(0,1)(1，)B(0,1)C(1，)D解析方程|ax1|2a(a0且a1)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y|ax1|與y2a有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)0a1時(shí)，如圖(1)，02a1，即0a.當(dāng)a1時(shí)，如圖(2)，而y2a1不符合要求綜上，0a.答案D13當(dāng)x2,2時(shí)，ax<2(a>0，且a1)，則實(shí)數(shù)a的范圍是_解析x2,2時(shí)，ax<2(a>0，且a1)，若a>1，yax是一個(gè)增函數(shù)，則有a2<2，可得a<，故有1<a<；若0<a<1，yax是一個(gè)減函數(shù)，則有a2<2，可得a>，故有<a<1.綜上知a(1，)答案(1，)14設(shè)a0且a1，函數(shù)ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值解令tax(a0且a1)，則原函數(shù)化為y(t1)22(t0)當(dāng)0a1時(shí)，x1,1，tax，此時(shí)f(t)在上為增函數(shù)所以f(t)maxf2214.所以216，所以a或a.又因?yàn)閍0，所以a.當(dāng)a1時(shí)，x1,1，tax，此時(shí)f(t)在上是增函數(shù)所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)綜上得a或3.