2019-2020年高中數(shù)學 第3章 空間向量與立體幾何 2.3空間的角的計算 蘇教版選修2-1.doc

2019-2020年高中數(shù)學 第3章 空間向量與立體幾何 2.3空間的角的計算 蘇教版選修2-1課時目標1.掌握異面直線所成角與二面角的概念，能正確運用向量的數(shù)量積求角.2.正確運用二面角的概念及兩個平面的法向量的夾角與二面角大小的關(guān)系求二面角的大小.3.掌握平面的斜線所在方向向量與平面的法向量夾角與線面角的關(guān)系1兩條異面直線所成的角(1)定義：設a、b是兩條異面直線，過空間任一點O作直線aa，bb，則a與b所夾的_叫做a與b所成的角(2)范圍：兩異面直線所成的角的取值范圍是_(3)向量求法：設直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為，則有cos|cos|_.2直線與平面所成的角(1)定義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個平面內(nèi)的_所成的角(2)范圍：直線和平面所成的角的取值范圍是_(3)向量求法：設直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，則有sin|cos|_或cos_.3二面角(1)二面角的取值范圍：_.(2)二面角的向量求法：利用向量求二面角的平面角有兩種方法：若AB，CD分別是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小是向量與的夾角(如圖所示)即cos.設n1、n2是二面角l的兩個面、的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)就是二面角的平面角的大小(如圖所示)即二面角l的大小的余弦值為cos或cos.一、填空題1若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角是150，則l1與l2這兩條異面直線所成的角為_2若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于150，則直線l與平面所成的角為_3.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點，若B1MN90，則PMN的大小是_4將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則二面角ABCD的平面角的余弦值是_5已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為_6若兩個平面，的法向量分別是n(1,0,1)，(1，1,0)，則這兩個平面所成的銳二面角的度數(shù)是_7如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是_8已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為_二、解答題9.如圖所示，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點，求異面直線AM與C1N所成的角的余弦值10.如圖所示，三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大小能力提升11已知三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N為AB上一點，且AB4AN，M，S分別為PB，BC的中點(1)證明：CMSN；(2)求SN與平面CMN所成角的大小12.如圖所示，底面ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值1兩異面直線所成的角等于兩異面直線的方向向量a，b所成的角(或其補角)，所以求解時要加絕對值，cos|cosa，b|.2求直線與平面的夾角的方法與步驟思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量3二面角的求法往往有兩種思路一種是幾何法，可以在兩個半平面內(nèi)作出垂直于棱的兩條線段，找出二面角的平面角，這是幾何中的一大難點另一種是向量法，當空間直角坐標系容易建立(有特殊的位置關(guān)系)時，用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單的運算即可求出可以根據(jù)所求二面角是銳角還是鈍角確定二面角大小32.3空間的角的計算知識梳理1(1)銳角或直角(2)0<(3)2(1)射影(2)0(3)sin3(1)0，作業(yè)設計130260390解析A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN.()0，MPMN，即PMN90.4.解析建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，設正方形ABCD的棱長為1，則O(0,0,0)，A，B，C.，.設平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則可取n(1，1,1)由題意知，平面BCD的法向量為，cosn，即二面角ABCD的平面角的余弦值為.5.解析如圖建立空間直角坐標系，因為A1D平面ABC，ADBC，設三棱柱的棱長為1，則AD，AA11，A1D，故A1.又A，B，cos，.異面直線AB與CC1所成角的余弦值為.660解析cosn，.n，120.故兩平面所成的銳二面角為60.790解析建立如圖所示的坐標系，設正三棱柱的棱長為1，則B，M，B1，因此，設異面直線AB1與BM所成的角為，則cos|cos，|0，90.8.解析如圖，連結(jié)A1B，則A1BCD1，故異面直線BE與CD1所成的角即為BE與A1B所成的角設ABa，則A1Ea，A1Ba，BEa.在A1BE中，由余弦定理得，cosA1BE.9解方法一，()().而|.同理|.設為異面直線AM與C1N所成的角，則cos.方法二以，為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.則A(1,0,0)，M，C1(0,1,1)，N，于是有(1,0,0)，(0,1,1).0101，又|，|，cos.10解建立如圖所示的空間直角坐標系，則O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)cos，.異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為.11.(1)證明設PA1，以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖所示，則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，0)所以(1，1，)，(，0)因為00，所以CMSN.(2)解(，1,0)，設a(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則即令x2，得a(2,1，2)因為|cosa，|，所以SN與平面CMN所成的角為45.12解如圖所示以A為原點，AB，AD，AS所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，A(0,0,0)所以，(1,1，1)，設平面SDC的法向量為n(x，y，z)，則n，n，所以即令z1，則x1，y2.此時n(1,2,1)而是平面SAB的法向量，則.觀察圖形可知平面SCD與平面SAB所成角的余弦值為.