2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教案3 湘教版必修2.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)任意角的三角函數(shù)教案3 湘教版必修2一、教學(xué)內(nèi)容解析在角由“銳角”到“任意角”的推廣過(guò)程中,研究的視角由“靜態(tài)”到“動(dòng)態(tài)”,同時(shí)研究的平臺(tái)也由“平面圖形”過(guò)渡到了“平面直角坐標(biāo)系”.借助直角坐標(biāo)系研究角,一方面引入象限角,使“角”的研究統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為“轉(zhuǎn)動(dòng)的邊”的研究；另一方面也提供了用代數(shù)方法研究幾何的思路.“任意角三角函數(shù)” 是“銳角三角函數(shù)”概念的因襲和擴(kuò)張，但為什么要作這樣的推廣呢？更合適的理由是任意角三角函數(shù)是描述周期變化為重要數(shù)模型。任意角三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念,是刻劃圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.“任意角三角函數(shù)”在圓周運(yùn)動(dòng)中,最基本、簡(jiǎn)單的情形是質(zhì)點(diǎn)P繞著單位圓的圓心作勻速圓周運(yùn)動(dòng),在此運(yùn)動(dòng)中,關(guān)鍵是抓住質(zhì)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x,y）隨旋轉(zhuǎn)角q的變化而變化的函數(shù)關(guān)系.這種關(guān)系是確定的,至于如何更好地表達(dá),合理的命名是非本質(zhì)的內(nèi)容.由于當(dāng)角q為銳角時(shí),y是q的正弦,x是q的余弦,是q的正切,因此可以以此為據(jù),推廣到任意角相應(yīng)的三角函數(shù)定義.引入銳角三角函數(shù)的概念,目的是為了研究三角形中的邊角關(guān)系,因此定義側(cè)重幾何的角度,利用相似直角三角形的性質(zhì),得到銳角和三角形邊與邊的“比值”之間的確定關(guān)系；而引入任意角三角函數(shù)的概念,目的是為了研究周期變化現(xiàn)象,因此定義側(cè)重代數(shù)的角度,在直角坐標(biāo)系下,以單位圓為工具,得到角和它的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)之間的確定關(guān)系.兩者同時(shí)都是函數(shù)的下位概念,在弧度制下,歸結(jié)為數(shù)集到數(shù)集的映射.教材中對(duì)任意角三角函數(shù)的定義有兩種單位圓的定義和歐拉的傳統(tǒng)定義1.從任意角三角函數(shù)的使命看,單位圓的定義顯得形式簡(jiǎn)單,便于研究性質(zhì),同時(shí)借助圓周運(yùn)動(dòng)可以更直觀地體現(xiàn)函數(shù)的周期性,某種意義上說(shuō),任意角三角函數(shù)就是圓的性質(zhì)的幾何表示.但兩個(gè)定義本質(zhì)相同,相互之間一點(diǎn)就通.二、教學(xué)目標(biāo)解析1理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義,經(jīng)歷“單位圓法”定義三角函數(shù)的過(guò)程；2會(huì)用定義求特殊角的三角函數(shù)值,會(huì)求已知終邊位置的角的三角函數(shù)值；3會(huì)從函數(shù)三要素的角度認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、自變量、函數(shù)值；4體會(huì)定義三角函數(shù)過(guò)程中的數(shù)形結(jié)合、化歸、數(shù)學(xué)模型等思想方法三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù),因此本節(jié)課側(cè)重于在一般函數(shù)概念的指導(dǎo)下組織教學(xué),讓學(xué)生知道三角函數(shù)的是角與坐標(biāo)（或比值）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.學(xué)生雖有銳角三角函數(shù)的概念,但其認(rèn)識(shí)只停留在三角函數(shù)是反映直角三角形的角與邊之間關(guān)系的層面上,有必要讓學(xué)生從角與比值的對(duì)應(yīng)角度重新認(rèn)識(shí).2銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的推廣,并非簡(jiǎn)單的特殊到一般意義上的推廣,而是觀念角度的變化,需要將直角三角形為載體的幾何定義方式轉(zhuǎn)化為以直角坐標(biāo)系為載體的坐標(biāo)定義方式.3將終邊上的任意一點(diǎn)化歸到單位圓上的點(diǎn),不僅是求簡(jiǎn),更是三角函數(shù)本質(zhì)的體現(xiàn),但學(xué)生的理解很難到位,需要在今后的學(xué)習(xí)中循序漸進(jìn).4在弧度制下（用單位圓的半徑度量角）實(shí)現(xiàn)角的集合與凳囊灰歡雜?/SPAN>,再實(shí)現(xiàn)數(shù)到坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),會(huì)造成一定的理解困難,為了突出重點(diǎn),分散難點(diǎn),本節(jié)課暫時(shí)不作過(guò)度的解釋.四、教學(xué)支持條件分析 由于隨著任意角的終邊的“轉(zhuǎn)動(dòng)”,角的大小、終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)等也隨之變化,為了更好體現(xiàn)多元聯(lián)系性,宜適當(dāng)采用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示.五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)了任意角的概念，你對(duì)它的哪些特點(diǎn)印象比較深?設(shè)計(jì)意圖：對(duì)任意角的概念的理解和掌握是本課的一個(gè)基礎(chǔ).(二)問(wèn)題的提出任意角是一條射線繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)生成的.在角的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，終邊上的點(diǎn)都繞O點(diǎn)作著圓周運(yùn)動(dòng).圓周運(yùn)動(dòng)是生活中常見(jiàn)嗎？你試著舉出一些作圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)際例子.圓周運(yùn)動(dòng)體現(xiàn)了客觀世界“周而復(fù)始”的變化現(xiàn)象，而函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，那么用什么樣的函數(shù)反映這種運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象呢？ 設(shè)計(jì)意圖：任意角-圓周運(yùn)動(dòng)-周期變化-函數(shù)模型，用函數(shù)來(lái)刻劃圓周運(yùn)動(dòng)，解決任意角三角函數(shù)引入的必要性問(wèn)題.(二)概念的生成問(wèn)題1 函數(shù)研究的是數(shù)量及其關(guān)系，那么在點(diǎn)P所作的圓周運(yùn)動(dòng)中，你能發(fā)現(xiàn)哪些量？能找到這些量與量之間的關(guān)系嗎？問(wèn)題2 讓我們先從 “從最基本、簡(jiǎn)單的情形開始！”,當(dāng)a是銳角時(shí)，你能找出a，r, xP,yP的關(guān)系嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生清楚要用函數(shù)表示圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵是把握?qǐng)A周上點(diǎn)的坐標(biāo)與相應(yīng)角的數(shù)量關(guān)系，而研究往往從最熟悉、最簡(jiǎn)單的情形出發(fā)，在任意角是銳角的情形下，學(xué)生容易由數(shù)想形，構(gòu)造直角三角形，并進(jìn)一步聯(lián)想到通過(guò)銳角三角函數(shù)來(lái)表達(dá)直角三角形之間的邊角關(guān)系： 當(dāng)a是銳角時(shí)， 問(wèn)題3 對(duì)于這些比值，我們以前稱之為銳角a的正弦、余弦和正切，統(tǒng)稱為銳角a的三角函數(shù)，你認(rèn)為這些比值是由a唯一確定的嗎？當(dāng)角a確定后，比值也是唯一確定的，而與P點(diǎn)在角終邊上的位置無(wú)關(guān)！ 問(wèn)題4 既然當(dāng)角確定后，三角函數(shù)值與點(diǎn)P在終邊上的位置無(wú)關(guān)，那么你能否在終邊上取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，使三角函數(shù)的形式更簡(jiǎn)單？ 設(shè)計(jì)意圖：在求簡(jiǎn)意識(shí)的指引下，自然地引出單位圓.同時(shí)在對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)尋求函數(shù)關(guān)系的求解的過(guò)程中體會(huì)它與銳角三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系對(duì)于任意角的三角函數(shù)可由教師順勢(shì)給出：當(dāng)a是銳角時(shí)，設(shè)P(x,y)是a的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則y就稱為銳角a的正弦，x就稱為銳角a的余弦，就稱為銳角a的正切. 記為sina=y,cosa=x，問(wèn)題5 設(shè)a是銳角,P（x,y）是a的終邊與單位圓的交點(diǎn)，當(dāng)a確定時(shí),x,y,的值是唯一確定.那么當(dāng)a是任意角時(shí)，x,y,的值也是由a唯一確定嗎？例如a是鈍角，若a確定，則終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)P(x,y)也唯一地確定，此時(shí)我們就把y就稱為鈍角a的正弦，x就稱為鈍角a的余弦，就稱為鈍角a的正切.記為sina=y,cosa=x，.類似地，我們可以這這個(gè)名稱推廣到任意角：設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x,y),則y叫做a的正弦,記作sina= y.x叫做a的余弦,記作cosa=x;叫做a的正切,記作tana=.任意角a的正弦、余弦和正切,統(tǒng)稱為任意角a的三角函數(shù).追問(wèn)1：你認(rèn)為任意角三角函數(shù)的定義符合高中函數(shù)的定義嗎？能確定這些函數(shù)的定義域、值域嗎？你能說(shuō)說(shuō)任意角三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則嗎？追問(wèn)2：你能將任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行比較嗎？設(shè)計(jì)意圖：定義可以由教師明確給出，關(guān)鍵是讓學(xué)生理解其合理性，理解概念的背景和生成過(guò)程.完整的概念生成后,再與已有相關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系,促進(jìn)新舊知識(shí)的分化,加深新知識(shí)的理解.(六)概念的鞏固例1 求的正弦、余弦、正切值. 練習(xí)（口算）：求下列三角函數(shù)值：（1） , (2) cos3 , (3).變式：若已知sina=-1,你能寫出a的一個(gè)角嗎？例2 角的終邊過(guò)P,求它的三角函數(shù)值.例3 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟悉定義,從中概括出用定義解題的步驟.(七)探究與發(fā)現(xiàn)例3不求值,你能判斷下列三角函數(shù)值的符號(hào)嗎？你能總結(jié)一般的規(guī)律嗎？ （1）sin1170, (2)cos, (3)tan.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)豐富的實(shí)例,從不同的角度讓學(xué)生進(jìn)一步理解任意角三角函數(shù)的定義.思考：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)（1,0）出發(fā)在單位圓上按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng),若經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為x,試用x表示質(zhì)點(diǎn)所在位置P點(diǎn)的坐標(biāo).一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從（r,0）出發(fā)繞O點(diǎn)按按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng),若經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為x,試用x表示質(zhì)點(diǎn)所在位置P點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在描述圓周運(yùn)動(dòng)中的作用，進(jìn)一步理解任意角三角函數(shù)的定義.(八)小結(jié)反思通過(guò)學(xué)習(xí),你對(duì)任意角三角函數(shù)有了哪些新的認(rèn)識(shí)？還有哪些體會(huì)？答：任意角三角函數(shù)是刻劃圓周運(yùn)動(dòng)的重要數(shù)學(xué)模型,它實(shí)質(zhì)上就是以角為自變量,以角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)比為函數(shù)值的函數(shù).在標(biāo)度 研究過(guò)程中,從最簡(jiǎn)單、最基本的問(wèn)題入手,通過(guò)觀察分析,借助數(shù)形結(jié)合和化歸等思想方法解決問(wèn)題.(九)目標(biāo)檢測(cè)1.求的正弦、余弦、正切值.2.已知角q的終邊在直線y=x上,求角q的三個(gè)三角函數(shù)值.3.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：（1）sin; (2)cos(-4500); (3) tan()思考題：若角的終邊過(guò)點(diǎn)P(x,y),且|OP|=r(r>0)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求sin,cos,tan.