2019-2020年高中數(shù)學《任意角的三角函數(shù)》教案3 湘教版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學任意角的三角函數(shù)教案3 湘教版必修2一、教學內(nèi)容解析在角由“銳角”到“任意角”的推廣過程中,研究的視角由“靜態(tài)”到“動態(tài)”,同時研究的平臺也由“平面圖形”過渡到了“平面直角坐標系”.借助直角坐標系研究角,一方面引入象限角,使“角”的研究統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為“轉(zhuǎn)動的邊”的研究;另一方面也提供了用代數(shù)方法研究幾何的思路.“任意角三角函數(shù)” 是“銳角三角函數(shù)”概念的因襲和擴張,但為什么要作這樣的推廣呢?更合適的理由是任意角三角函數(shù)是描述周期變化為重要數(shù)模型。任意角三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念,是刻劃圓周運動規(guī)律的重要數(shù)學模型.“任意角三角函數(shù)”在圓周運動中,最基本、簡單的情形是質(zhì)點P繞著單位圓的圓心作勻速圓周運動,在此運動中,關鍵是抓住質(zhì)點P的坐標(x,y)隨旋轉(zhuǎn)角q的變化而變化的函數(shù)關系.這種關系是確定的,至于如何更好地表達,合理的命名是非本質(zhì)的內(nèi)容.由于當角q為銳角時,y是q的正弦,x是q的余弦,是q的正切,因此可以以此為據(jù),推廣到任意角相應的三角函數(shù)定義.引入銳角三角函數(shù)的概念,目的是為了研究三角形中的邊角關系,因此定義側(cè)重幾何的角度,利用相似直角三角形的性質(zhì),得到銳角和三角形邊與邊的“比值”之間的確定關系;而引入任意角三角函數(shù)的概念,目的是為了研究周期變化現(xiàn)象,因此定義側(cè)重代數(shù)的角度,在直角坐標系下,以單位圓為工具,得到角和它的終邊與單位圓的交點坐標之間的確定關系.兩者同時都是函數(shù)的下位概念,在弧度制下,歸結(jié)為數(shù)集到數(shù)集的映射.教材中對任意角三角函數(shù)的定義有兩種單位圓的定義和歐拉的傳統(tǒng)定義1.從任意角三角函數(shù)的使命看,單位圓的定義顯得形式簡單,便于研究性質(zhì),同時借助圓周運動可以更直觀地體現(xiàn)函數(shù)的周期性,某種意義上說,任意角三角函數(shù)就是圓的性質(zhì)的幾何表示.但兩個定義本質(zhì)相同,相互之間一點就通.二、教學目標解析1理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義,經(jīng)歷“單位圓法”定義三角函數(shù)的過程;2會用定義求特殊角的三角函數(shù)值,會求已知終邊位置的角的三角函數(shù)值;3會從函數(shù)三要素的角度認識三角函數(shù)的對應法則、自變量、函數(shù)值;4體會定義三角函數(shù)過程中的數(shù)形結(jié)合、化歸、數(shù)學模型等思想方法三、教學問題診斷分析1三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù),因此本節(jié)課側(cè)重于在一般函數(shù)概念的指導下組織教學,讓學生知道三角函數(shù)的是角與坐標(或比值)之間的對應關系.學生雖有銳角三角函數(shù)的概念,但其認識只停留在三角函數(shù)是反映直角三角形的角與邊之間關系的層面上,有必要讓學生從角與比值的對應角度重新認識.2銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的推廣,并非簡單的特殊到一般意義上的推廣,而是觀念角度的變化,需要將直角三角形為載體的幾何定義方式轉(zhuǎn)化為以直角坐標系為載體的坐標定義方式.3將終邊上的任意一點化歸到單位圓上的點,不僅是求簡,更是三角函數(shù)本質(zhì)的體現(xiàn),但學生的理解很難到位,需要在今后的學習中循序漸進.4在弧度制下(用單位圓的半徑度量角)實現(xiàn)角的集合與凳囊灰歡雜?/SPAN,再實現(xiàn)數(shù)到坐標的對應,會造成一定的理解困難,為了突出重點,分散難點,本節(jié)課暫時不作過度的解釋.四、教學支持條件分析 由于隨著任意角的終邊的“轉(zhuǎn)動”,角的大小、終邊上點的坐標等也隨之變化,為了更好體現(xiàn)多元聯(lián)系性,宜適當采用幾何畫板進行動態(tài)演示.五、教學過程設計(一)復習前面學習了任意角的概念,你對它的哪些特點印象比較深?設計意圖:對任意角的概念的理解和掌握是本課的一個基礎.(二)問題的提出任意角是一條射線繞端點O旋轉(zhuǎn)生成的.在角的旋轉(zhuǎn)過程中,終邊上的點都繞O點作著圓周運動.圓周運動是生活中常見嗎?你試著舉出一些作圓周運動的實際例子.圓周運動體現(xiàn)了客觀世界“周而復始”的變化現(xiàn)象,而函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學模型,那么用什么樣的函數(shù)反映這種運動變化現(xiàn)象呢? 設計意圖:任意角-圓周運動-周期變化-函數(shù)模型,用函數(shù)來刻劃圓周運動,解決任意角三角函數(shù)引入的必要性問題.(二)概念的生成問題1 函數(shù)研究的是數(shù)量及其關系,那么在點P所作的圓周運動中,你能發(fā)現(xiàn)哪些量?能找到這些量與量之間的關系嗎?問題2 讓我們先從 “從最基本、簡單的情形開始!”,當a是銳角時,你能找出a,r, xP,yP的關系嗎? 設計意圖:讓學生清楚要用函數(shù)表示圓周運動的關鍵是把握圓周上點的坐標與相應角的數(shù)量關系,而研究往往從最熟悉、最簡單的情形出發(fā),在任意角是銳角的情形下,學生容易由數(shù)想形,構(gòu)造直角三角形,并進一步聯(lián)想到通過銳角三角函數(shù)來表達直角三角形之間的邊角關系: 當a是銳角時, 問題3 對于這些比值,我們以前稱之為銳角a的正弦、余弦和正切,統(tǒng)稱為銳角a的三角函數(shù),你認為這些比值是由a唯一確定的嗎?當角a確定后,比值也是唯一確定的,而與P點在角終邊上的位置無關! 問題4 既然當角確定后,三角函數(shù)值與點P在終邊上的位置無關,那么你能否在終邊上取適當?shù)狞c,使三角函數(shù)的形式更簡單? 設計意圖:在求簡意識的指引下,自然地引出單位圓.同時在對圓周運動尋求函數(shù)關系的求解的過程中體會它與銳角三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系對于任意角的三角函數(shù)可由教師順勢給出:當a是銳角時,設P(x,y)是a的終邊與單位圓的交點,則y就稱為銳角a的正弦,x就稱為銳角a的余弦,就稱為銳角a的正切. 記為sina=y,cosa=x,問題5 設a是銳角,P(x,y)是a的終邊與單位圓的交點,當a確定時,x,y,的值是唯一確定.那么當a是任意角時,x,y,的值也是由a唯一確定嗎?例如a是鈍角,若a確定,則終邊與單位圓的交點坐標P(x,y)也唯一地確定,此時我們就把y就稱為鈍角a的正弦,x就稱為鈍角a的余弦,就稱為鈍角a的正切.記為sina=y,cosa=x,.類似地,我們可以這這個名稱推廣到任意角:設a是一個任意角,它的終邊與單位圓的交點為P(x,y),則y叫做a的正弦,記作sina= y.x叫做a的余弦,記作cosa=x;叫做a的正切,記作tana=.任意角a的正弦、余弦和正切,統(tǒng)稱為任意角a的三角函數(shù).追問1:你認為任意角三角函數(shù)的定義符合高中函數(shù)的定義嗎?能確定這些函數(shù)的定義域、值域嗎?你能說說任意角三角函數(shù)的對應法則嗎?追問2:你能將任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的概念進行比較嗎?設計意圖:定義可以由教師明確給出,關鍵是讓學生理解其合理性,理解概念的背景和生成過程.完整的概念生成后,再與已有相關知識建立聯(lián)系,促進新舊知識的分化,加深新知識的理解.(六)概念的鞏固例1 求的正弦、余弦、正切值. 練習(口算):求下列三角函數(shù)值:(1) , (2) cos3 , (3).變式:若已知sina=-1,你能寫出a的一個角嗎?例2 角的終邊過P,求它的三角函數(shù)值.例3 設計意圖:讓學生熟悉定義,從中概括出用定義解題的步驟.(七)探究與發(fā)現(xiàn)例3不求值,你能判斷下列三角函數(shù)值的符號嗎?你能總結(jié)一般的規(guī)律嗎? (1)sin1170, (2)cos, (3)tan.設計意圖:通過豐富的實例,從不同的角度讓學生進一步理解任意角三角函數(shù)的定義.思考:一個質(zhì)點從點(1,0)出發(fā)在單位圓上按逆時針方向作勻速圓周運動,若經(jīng)過的弧長為x,試用x表示質(zhì)點所在位置P點的坐標.一個質(zhì)點從(r,0)出發(fā)繞O點按按逆時針方向作勻速圓周運動,若經(jīng)過的弧長為x,試用x表示質(zhì)點所在位置P點的坐標.設計意圖:讓學生進一步體會三角函數(shù)在描述圓周運動中的作用,進一步理解任意角三角函數(shù)的定義.(八)小結(jié)反思通過學習,你對任意角三角函數(shù)有了哪些新的認識?還有哪些體會?答:任意角三角函數(shù)是刻劃圓周運動的重要數(shù)學模型,它實質(zhì)上就是以角為自變量,以角的終邊與單位圓的交點的坐標或坐標比為函數(shù)值的函數(shù).在標度 研究過程中,從最簡單、最基本的問題入手,通過觀察分析,借助數(shù)形結(jié)合和化歸等思想方法解決問題.(九)目標檢測1.求的正弦、余弦、正切值.2.已知角q的終邊在直線y=x上,求角q的三個三角函數(shù)值.3.確定下列三角函數(shù)值的符號:(1)sin; (2)cos(-4500); (3) tan()思考題:若角的終邊過點P(x,y),且|OP|=r(r0)(O為坐標原點),求sin,cos,tan.- 配套講稿:
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