中考復(fù)習(xí) 幾何探究題(含答案)

專題 圖形的探究 幾何探究題1題（1）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點(diǎn)如圖1，求證：；探究：如圖1， ；如圖2， ；如圖3， （2）如圖4，已知：是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊；是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊的延長相交于點(diǎn)猜想：如圖4， （用含的式子表示）；根據(jù)圖4證明你的猜想2題.請閱讀下列材料：問題：如圖1，在菱形和菱形中，點(diǎn)在同一條直線上，是線段的中點(diǎn)，連結(jié)若，探究與的位置關(guān)系及的值小聰同學(xué)的思路是：延長交于點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決DCGPABEF圖2DABEFCPG圖1問題：（1）寫出上面問題中線段與的位置關(guān)系及的值；（2）將圖1中的菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明（3）若圖1中，將菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的值（用含的式子表示）3題。如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，C=60，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).（1）求AD的長；（2）設(shè)CP=x，問當(dāng)x為何值時(shí)PDQ的面積達(dá)到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC邊上是否存在點(diǎn)M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點(diǎn)M，并求出BM的長；不存在，請說明理由.（第25題圖）（備用圖）4題已知矩形ABCD和點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在BC上任一位置（如圖（1）所示）時(shí)，易證得結(jié)論：，請你探究：當(dāng)點(diǎn)P分別在圖（2）、圖（3）中的位置時(shí)，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你寫出對上述兩種情況的探究結(jié)論，并利用圖（2）證明你的結(jié)論答：對圖（2）的探究結(jié)論為_ 對圖（3）的探究結(jié)論為_證明：如圖（2）5題如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系已知OA3，OC2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處（第22題）（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由6題如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系： （1）猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形請你通過觀察、測量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷（2）將原題中正方形改為矩形（如圖46），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由（3）在第(2)題圖5中，連結(jié)、，且a=3，b=2，k=，求的值7題正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，P是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFCD于點(diǎn)F。如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DFCF如圖2，若點(diǎn)P在線段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PEPB且PE交CD于點(diǎn)E。 求證：DFEF； 寫出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；若點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），PEPB且PE交直線CD于點(diǎn)E。請完成圖3并判斷中的結(jié)論、是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（所寫結(jié)論均不必證明）ODCBA圖3P圖2ODCBAEFPFP(O)DCBA圖18題將一矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以相等的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）（1）用含的代數(shù)式表示；（2）當(dāng)時(shí)，如圖1，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連結(jié)，將沿翻折，得到，如圖2問：與能否平行？與能否垂直？若能，求出相應(yīng)的值；若不能，說明理由圖1OPAxBDCQy圖2OPAxBCQyEABDC圖 19題（1）探究新知：如圖1，已知ABC與ABD的面積相等， 試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由 （2）結(jié)論應(yīng)用： 如圖2，點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)（k0）的圖象上，過點(diǎn)M作MEy軸，過點(diǎn)N作NFx軸，垂足分別為E，F(xiàn) xOyDM圖 3N試證明：MNEF 若中的其他條件不變，只改變點(diǎn)M，N 的位置如圖3所示，請判斷 MN與EF是否平行xOyNM圖 2EFxN1題。（1）證法一：與均為等邊三角形，且 ，即 證法二：與均為等邊三角形，且 可由繞著點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，（2）證法一：依題意，知和都是正邊形的內(nèi)角，即11分12分，13分，14分證法二：同上可證 12分，如圖，延長交于，13分14分證法三：同上可證 12分，13分即14分證法四：同上可證 12分如圖，連接，13分即14分2題 線段與的位置關(guān)系是；2分 猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化證明：如圖，延長交于點(diǎn)，連結(jié)是線段的中點(diǎn)， DCGPABEFH由題意可知， ，四邊形是菱形，由，且菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，可得 四邊形是菱形， ，即，6分 8分3題（1）解法一：如圖25-1過A作AECD，垂足為E . 依題意，DE=. 2分 在RtADE中，AD=. 5分圖25-1 解法二：如圖25-2 過點(diǎn)A作AEBC交CD于點(diǎn)E，則CE=AB=4 . 2分 AED=C=60. 又D=C=60， AED是等邊三角形 . AD=DE=94=5 . 5分 （2）解：如圖25-1圖25-2CP=x，h為PD邊上的高,依題意，PDQ的面積S可表示為：S=PDh 6分=(9x)xsin60=(9xx2) =(x)2. 8分由題意，知0x5 . 9分當(dāng)x=時(shí)（滿足0x5），S最大值=. 10分 （3）證法一：如圖25-3假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，則PD必須等于DQ . 11分 于是9x=x，x=. 此時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置如圖25-3所示，連QP .PDQ恰為等邊三角形 . 過點(diǎn)Q作QMDC，交BC于M，點(diǎn)M即為所求.連結(jié)MP，以下證明四邊形PDQM是菱形 .圖25-3 易證MCPQDP，D=3 . MP=PD MPQD , 四邊形PDQM是平行四邊形 . 又MP=PD , 四邊形PDQM是菱形 . 13分 所以存在滿足條件的點(diǎn)M，且BM=BCMC=5=. 14分 注 本題僅回答存在，給1分. 證法二：如圖25-4假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，則PD必須等于DQ . 11分 于是9x=x，x=. 此時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置如圖25-4所示，PDQ恰為等邊三角形 . 過點(diǎn)D作DOPQ于點(diǎn)O，延長DO交BC于點(diǎn)M，連結(jié)PM、QM，則DM垂直平分PQ， MP=MQ . 易知1=C . PQBC . 又DOPQ， MCMD圖25-4 MP= CD=PD 即MP=PD=DQ=QM 四邊形PDQM是菱形 13分所以存在滿足條件的點(diǎn)M，且BM=BCMC=5= 14分4題結(jié)論均是PA2PC2PB2PD2（圖2 2分，圖3 1分） 證明：如圖2過點(diǎn)P作MNAD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，因?yàn)锳DBC，MNAD，所以MNBC在RtAMP中，PA2PM2MA2在RtBNP中，PB2PN2BN2在RtDMP中，PD2DM2PM2在RtCNP中，PC2PN2NC2 所以PA2PC2PM2MA2PN2NC2 PB2PD2PM2DM2BN2PN2因?yàn)镸NAD，MNNC，DCBC，所以四邊形MNCD是矩形所以MDNC，同理AM BN，所以PM2MA2PN2NC2PM2DM2BN2PN2即PA2PC2PB2PD25題解：（1）；（2）在中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，頂點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為如圖，當(dāng)時(shí)，解得（舍去）；解得拋物線的解析式為如圖，當(dāng)時(shí)，解得（舍去）當(dāng)時(shí)，這種情況不存在綜上所述，符合條件的拋物線解析式是（3）存在點(diǎn)，使得四邊形的周長最小如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，分別與軸、軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)就是所求點(diǎn)，又，此時(shí)四邊形的周長最小值是6題(1) 2分仍然成立 1分在圖（2）中證明如下四邊形、四邊形都是正方形 ， 1分 （SAS）1分 又 1分（2）成立，不成立 2分簡要說明如下四邊形、四邊形都是矩形，且，(，) ， 1分又 1分（3） 又， 1分 1分7題 略；PCPACE；結(jié)論仍成立；結(jié)論不成立，此時(shí)中三條線段的數(shù)量關(guān)系是PAPCCE；8題解：（1），圖1OPAxBDCQy圖2OPAxBCQy圖3OFAxBCyEQP（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，交于，如圖1，則，（3）能與平行若，如圖2，則，即，而，不能與垂直若，延長交于，如圖3，則又，而，不存在9題（1）證明：分別過點(diǎn)C，D，作CGAB，DHAB，垂足為G，H，則CGADHB901分 CGDH ABC與ABD的面積相等， CGDH 2分 xOyNM圖 2EF 四邊形CGHD為平行四邊形 ABCD 3分 （2）證明：連結(jié)MF，NE 4分 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，y2） 點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)（k0）的圖象上， ， MEy軸，NFx軸， xOyDNM圖 3EF OEy1，OFx2 SEFM， 5分 SEFN 6分 SEFM SEFN 7分由（1）中的結(jié)論可知：MNEF 8分 MNEF 10分 （若學(xué)生使用其他方法，只要解法正確，皆給分）第 12 頁 共 12 頁