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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案數(shù)列問(wèn)題的題型與方法二人教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案數(shù)列問(wèn)題的題型與方法二人教版.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案數(shù)列問(wèn)題的題型與方法二人教版一、考試內(nèi)容 數(shù)列;等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式;等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式,等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。二、考試要求 1理解數(shù)列的概念,了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義,了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)。 2理解等差數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,并能運(yùn)用公式解答簡(jiǎn)單的問(wèn)題。 3理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。三、復(fù)習(xí)目標(biāo)1 能靈活地運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式解題;2能熟練地求一些特殊數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)的和;3使學(xué)生系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律,深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用,靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題;4通過(guò)解決探索性問(wèn)題,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力,綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力5在解綜合題的實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí),溝通各類(lèi)知識(shí)的聯(lián)系,形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力6培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意,富于聯(lián)想,以適應(yīng)新的背景,新的設(shè)問(wèn)方式,提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問(wèn)題的自覺(jué)性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法四、雙基透視1 可以列表復(fù)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì).2判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法:(1)定義法:對(duì)于n2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法:若 =+(n-1)d=+(n-k)d ,則為等差數(shù)列;若 ,則為等比數(shù)列。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證 都成立。3. 在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn 的最值問(wèn)題常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解:(1)當(dāng)>0,d<0時(shí),滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.(2)當(dāng)<0,d>0時(shí),滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。4.數(shù)列求和的常用方法:公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。五、注意事項(xiàng)1證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義,即通過(guò)證明 或而得。2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí),“基本量法”是常用的方法,但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì),可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。3對(duì)于一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。4注意一些特殊數(shù)列的求和方法。5注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如:= , =6數(shù)列極限的綜合題形式多樣,解題思路靈活,但萬(wàn)變不離其宗,就是離不開(kāi)數(shù)列極限的概念和性質(zhì),離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法,只要能把握這兩方面,就會(huì)迅速打通解題思路7解綜合題的成敗在于審清題目,弄懂來(lái)龍去脈,透過(guò)給定信息的表象,抓住問(wèn)題的本質(zhì),揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件,明確解題方向,形成解題策略8通過(guò)解題后的反思,找準(zhǔn)自己的問(wèn)題,總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn),吸取失敗的教訓(xùn),增強(qiáng)解綜合題的信心和勇氣,提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),所以在高考中占有重要的地位。高考對(duì)本章的考查比較全面,等差數(shù)列,等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏。解答題多為中等以上難度的試題,突出考查考生的思維能力,解決問(wèn)題的能力,試題大多有較好的區(qū)分度。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題,經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái),試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列,求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn),常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想,在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論等重要思想,以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。應(yīng)用問(wèn)題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)化,常需構(gòu)造數(shù)列模型,將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決。 六、范例分析例1已知數(shù)列a是公差d0的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為S(2)過(guò)點(diǎn)Q(1,a),Q(2,a)作直線12,設(shè)l與l的夾角為,證明:(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列a的公差d0,所以Kpp是常數(shù)(k=2,3,n)(2)直線l的方程為y-a=d(x-1),直線l的斜率為d例2已知數(shù)列中,是其前項(xiàng)和,并且,設(shè)數(shù)列,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;設(shè)數(shù)列,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。分析:由于b和c中的項(xiàng)都和a中的項(xiàng)有關(guān),a中又有S=4a+2,可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑解:(1)由S=4a,S=4a+2,兩式相減,得S-S=4(a-a),即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造,如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵,注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(a-2a),又b=a-2a,所以b=2b 已知S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3 由和得,數(shù)列b是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列,故b=32當(dāng)n2時(shí),S=4a+2=2(3n-4)+2;當(dāng)n=1時(shí),S=a=1也適合上式綜上可知,所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說(shuō)明:1本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差,等比數(shù)列,求數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局,尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件,在后面求解的過(guò)程中適時(shí)應(yīng)用例3已知數(shù)列a是首項(xiàng)a10,q-1且q0的等比數(shù)列,設(shè)數(shù)列b的通項(xiàng)b=a-ka (nN),數(shù)列a、b的前n項(xiàng)和分別為S,T如果TkS對(duì)一切自然數(shù)n都成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍分析:由探尋T和S的關(guān)系入手謀求解題思路。解:因?yàn)閍是首項(xiàng)a0,公比q-1且q0的等比數(shù)列,故a=aq, a=aq所以 b=a-ka=a(q-kq)T=b+b+b=(a+a+a)(q-kq)=S(q-kq)依題意,由TkS,得S (q-kq)kS,對(duì)一切自然數(shù)n都成立當(dāng)q0時(shí),由a10,知a0,所以S0;當(dāng)-1q0時(shí),因?yàn)閍10,1-q0,1-q0,所以S=綜合上面兩種情況,當(dāng)q-1且q0時(shí),S0總成立由式可得q-kqk ,例4(xx年全國(guó)理)從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā),某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè). 根據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬(wàn)元,以后每年投入將比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元,由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加。()設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元,旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元. 寫(xiě)出an,bn的表達(dá)式()至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?解析:第1年投入800萬(wàn)元,第2年投入800(1-)萬(wàn)元,第n年投入800(1)n1萬(wàn)元所以總投入an800800(1)800(1)n140001()n同理:第1年收入400萬(wàn)元,第2年收入400(1)萬(wàn)元,第n年收入400(1)n1萬(wàn)元bn400400(1)400(1)n11600()n1(2)bnan0,1600()n140001()n0化簡(jiǎn)得,5()n2()n70設(shè)x()n,5x27x20 x,x1(舍) 即()n,n5.說(shuō)明:本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式,數(shù)列求和,不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)用題重點(diǎn)在過(guò)好三關(guān):(1)事理關(guān):閱讀理解,知道命題所表達(dá)的內(nèi)容;(2)文理關(guān):將“問(wèn)題情景”中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件;(3)數(shù)理關(guān):由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型,將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化,并解答這一數(shù)學(xué)模型,得出符合實(shí)際意義的解答。例5設(shè)實(shí)數(shù),數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,記,求證:當(dāng)時(shí),對(duì)任意自然數(shù)都有=解:。記 +得 說(shuō)明:本例主要復(fù)習(xí)利用錯(cuò)位相減解決差比數(shù)列的求和問(wèn)題。關(guān)鍵是先研究通項(xiàng),確定是等差數(shù)列,等比數(shù)列。解法一:設(shè)等差數(shù)列a的首項(xiàng)a=a,公差為d,則其通項(xiàng)為根據(jù)等比數(shù)列的定義知S0,由此可得一步加工,有下面的解法)解法二:依題意,得例7設(shè)二次方程x-+1x+1=0(nN)有兩根和,且滿足6-2+6=3(1)試用表示a;例8在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列,對(duì)一切正整數(shù),點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上,且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列。求點(diǎn)的坐標(biāo);設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱(chēng)軸都垂直于軸,第條拋物線的頂點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn),記與拋物線相切于的直線的斜率為,求:。設(shè),等差數(shù)列的任一項(xiàng),其中是中的最大數(shù),求的通項(xiàng)公式。解:(1)(2)的對(duì)稱(chēng)軸垂直于軸,且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為:把代入上式,得,的方程為:。,=(3),T中最大數(shù).設(shè)公差為,則,由此得說(shuō)明:本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題,難度較大(1)、(2)兩問(wèn)運(yùn)用幾何知識(shí)算出,解決(3)的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。例9數(shù)列中,且滿足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;設(shè),求;設(shè)=,是否存在最大的整數(shù),使得對(duì)任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。解:(1)由題意,為等差數(shù)列,設(shè)公差為,由題意得,.(2)若,時(shí),故 (3)若對(duì)任意成立,即對(duì)任意成立,的最小值是,的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對(duì)任意,均有說(shuō)明:本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng),數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題。例10如圖,在y軸的正半軸上依次有點(diǎn)其中點(diǎn),且,在射線上依次有點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3),且 用含的式子表示;用含的式子表示的坐標(biāo);求四邊形面積的最大值。解:(1),(2)由(1)得的坐標(biāo),是以 為首項(xiàng), 為公差的等差數(shù)列(3)連接,設(shè)四邊形的面積為,則單調(diào)遞減.的最大值為.說(shuō)明:本例為數(shù)列與幾何的綜合題。由題意知為等比,為等差,(3)利用函數(shù)單調(diào)性求最值。例11設(shè)正數(shù)數(shù)列a為一等比數(shù)列,且a=4,a=16說(shuō)明:這是xx年全國(guó)高考上海試題,涉及對(duì)數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題,主要考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,對(duì)數(shù)計(jì)算,求數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力例12已知拋物線,過(guò)原點(diǎn)作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn),又過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn),再過(guò)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn),如此繼續(xù),一般地,過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)()令,求證:數(shù)列是等比數(shù)列()設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,試比較與的大小解:(1)因?yàn)?、在拋物線上,故,又因?yàn)橹本€的斜率為,即,代入可得,故是以為公比的等比數(shù)列;(2),故只要比較與的大小方法(一),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),方法(二)用數(shù)學(xué)歸納法證明,其中假設(shè)時(shí)有,則當(dāng)時(shí),.a),是公差為-1的等差數(shù)列,又2a-a,2a-a,2a-a,(1)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式;(2)計(jì)算 (a+a+a)分析:由于題設(shè)中的等差數(shù)列和等比數(shù)列均由數(shù)列an的相關(guān)項(xiàng)構(gòu)成,分別求出它們的通項(xiàng)公式構(gòu)造關(guān)于a的方程組解:(1)設(shè)b=log(3a-a),因?yàn)閎n是等差數(shù)列,d=-1b1=log3a-a2 設(shè)c=2 a-a,c是等比數(shù)列,公比為q,|q|1,c=2a-a=例14等比數(shù)列a中,已知a10,公比q0,前n項(xiàng)和為S,自然數(shù)b,c,d,e滿足bcde,且b+e=c+d求證:SSSS分析:凡是有關(guān)等比數(shù)列前n項(xiàng)Sn的問(wèn)題,首先考慮q=1的情況,證明條件不等式時(shí),正確適時(shí)地應(yīng)用所給的條件是成敗的關(guān)鍵(證明不等式首選方法是差比較法,即作差變形判定符號(hào),變形要有利于判定符號(hào))be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)因?yàn)閏e,de,所以c-e0,e-d0,于是(c-e)(e-d)0又同理(要比較SS與SS的大小,只要比較(1-qb)(1-qe)與(1-qc)(1-qd)的大小,仍然運(yùn)用差比較法)(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)(能否將qc-qb用qe-qd表示是上式化成積的關(guān)鍵,利用給定的c+d=b+e,尋求變形的途徑,c=b+e-d,d、e出現(xiàn)了,于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)恒等變形只有目標(biāo)明確,變形才能有方向)上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)因?yàn)閝0所以q-d0(運(yùn)用函數(shù)的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判別乘積的符號(hào))事實(shí)上,由bde,q0,當(dāng)0q1時(shí),y=qx是減函數(shù),qeqd,qbqd,即qe-qd0,qb-qd0;當(dāng)q1時(shí),y=qx是增函數(shù),qeqd,qbqd,即qe-qd0,qb-qd0所以無(wú)論0q1還是q1,都有qe-qd與qb-qd異號(hào),即(qe-qd)(qb-qd)0綜上所述,無(wú)論q=1還是q1,都有SSSS說(shuō)明:復(fù)習(xí)課的任務(wù)在于對(duì)知識(shí)的深化,對(duì)能力的提高、關(guān)鍵在落實(shí)根據(jù)上面所研究的問(wèn)題,進(jìn)一步提高運(yùn)用函數(shù)的思想、方程的思想解決數(shù)列問(wèn)題的能力例15(xx年北京春季高考)如圖,在邊長(zhǎng)為l的等邊ABC中,圓O1為ABC的內(nèi)切圓,圓O2與圓O1外切,且與AB,BC相切,圓On+1與圓On外切,且與AB,BC相切,如此無(wú)限繼續(xù)下去. 記圓On的面積為. ()證明是等比數(shù)列; ()求的值. ()證明:記rn為圓On的半徑,則 所以 故成等比數(shù)列.()解:因?yàn)樗哉f(shuō)明:本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、三角函數(shù)等基本知識(shí),考查邏輯思維能力.七、強(qiáng)化訓(xùn)練1設(shè)S和T分別為兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若對(duì)任意nN, ( )A43 B32 C74 D78712一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中,前3項(xiàng)的和等于前11項(xiàng)的和,當(dāng)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和最大時(shí),n等于 ( )A5 B6 C7 D83若數(shù)列中,且 ,則數(shù)列的通項(xiàng) 4設(shè)在等比數(shù)列中,求及5根據(jù)下面各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推關(guān)系,求其通項(xiàng)公式6數(shù)列的前項(xiàng)和為不等于0,1的常數(shù)),求其通項(xiàng)公式7某縣位于沙漠地帶,人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng),到xx年底全縣的綠化率已達(dá)30%。從xx年開(kāi)始,每年將出現(xiàn)這樣的局面,即原有沙漠面積的16%將被綠化,與此同時(shí),由于各種原因,原有綠化面積的4%又被沙化。(1)設(shè)全縣面積為1,xx年底綠化面積為經(jīng)過(guò)年綠化總面積為求證(2)至少需要多少年(年取整數(shù),)的努力,才能使全縣的綠化率達(dá)到60%?8(xx年春招試題)已知點(diǎn)的序列(,0),其中=0,A3是線錢(qián)A1A2的中點(diǎn),A4是線段A2A3的中點(diǎn),An是線段的中點(diǎn),。(I)寫(xiě)出與、之間的關(guān)系式(3)(II)設(shè),計(jì)算,由此推測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,并加以證明。9(94年全國(guó)理)設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,并且對(duì)所有自然數(shù)n,an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).(1)寫(xiě)出數(shù)列an的前三項(xiàng);(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(寫(xiě)出推證過(guò)程);(3)令bn=(nN),求:b1+b2+bn-n.八、參考答案1解:設(shè)這兩個(gè)等差數(shù)列分別為an和bn故選擇A說(shuō)明:注意巧妙運(yùn)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)來(lái)反映等差數(shù)列的通項(xiàng)an與前2n-1項(xiàng)和S2n-1的內(nèi)在聯(lián)系2解:依題意知數(shù)列單調(diào)遞減,公差d0因?yàn)镾3=S11=S3+a4+a5+a10+a11所以 a4+a5+a7+a8+a10+a11=0即 a4+a11=a7+a8=0,故當(dāng)n=7時(shí),a70,a80選擇C解選擇題注意發(fā)揮合理推理和估值的作用3解:多次運(yùn)用迭代,可得4解:,又,由以上二式得或;由此得或.說(shuō)明:本例主要復(fù)習(xí)數(shù)列的基本運(yùn)算和方程思想的應(yīng)用。5解:(1), (2) =又解:由題意,對(duì)一切自然數(shù)成立,(3)是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列,說(shuō)明:本例復(fù)習(xí)求通項(xiàng)公式的幾種方法:迭加法、迭乘法、構(gòu)造法。6解:由可得當(dāng)時(shí), ,是公比為的等比數(shù)列.又當(dāng)時(shí),。說(shuō)明:本例復(fù)習(xí)由有關(guān)與遞推式求,關(guān)鍵是利用與的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化。7(1)證明:由已知可得確定后,表示如下:=即=80%+16%=+(2)解:由=+可得:=()=()2()=故有=,若則有即兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得故,故使得上式成立的最小為5,故最少需要經(jīng)過(guò)5年的努力,才能使全縣的綠化率達(dá)到60%.8(I)解:當(dāng)n3時(shí), (II)解: . 由此推測(cè)。證法一: 因?yàn)?,?(n2) 所以。證法二:(用數(shù)學(xué)歸納法證明:)(i)當(dāng)時(shí),公式成立,(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí),公式成立,即成立。那么當(dāng)時(shí),=式仍成立。根據(jù)(i)與(ii)可知,對(duì)任意,公式成立評(píng)注:本小題主要考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、等比數(shù)列等基本知識(shí),考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力。9解:(1)由題意= an0令n=1時(shí),= S1=a1 解得a1=2令n=2時(shí)有=a1+a2 解得a2=6令n=3時(shí)有= S3=a1+a2+a3 解得a3=10故該數(shù)列的前三項(xiàng)為2、6、10.(2)解法一:由(1)猜想數(shù)列an有通項(xiàng)公式an=4n-2,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=4n-2 (nN)1當(dāng)n=1時(shí),因?yàn)?1-22,又在(1)中已求得a1=2,所以上述結(jié)論正確.2假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論正確,即有ak=4k-2由題意有 得ak=4k-2,代入上式得2k=, 解得Sk=2k2由題意有= Sk+1=Sk+ak+1 得Sk=2k2代入得=2(ak+1+2k2)整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0 由于ak+10,解得:ak+1=2+4k所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2這就是說(shuō)n=k+1時(shí),上述結(jié)論成立.根據(jù)1,2上述結(jié)論對(duì)所有自然數(shù)n成立.解法二:由題意有,= (nN) 整理得Sn=(an+2)2 由此得Sn+1=(an+1+2)2 所以an+1=Sn+1-Sn=(an+1+2)2-(an+2)2整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0 由題意知an+1+an0,所以an+1-an=4即數(shù)列an為等差數(shù)列,其中a1=2,公差d=4,所以an=a1(n-1)d=2+4(n-1) 即通項(xiàng)公式an=4n-2.(3)令cn=bn-1,則cn= =b1+b2+bn-n=c1+c2+cn=說(shuō)明:該題的解題思路是從所給條件出發(fā),通過(guò)觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律,然后再對(duì)歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.對(duì)于含自然數(shù)n的命題,可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,該題著重考查了歸納、概括和數(shù)學(xué)變換的能力.

注意事項(xiàng)

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