2019-2020年高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案數(shù)列問題的題型與方法二人教版.doc

《2019-2020年高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案數(shù)列問題的題型與方法二人教版.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案數(shù)列問題的題型與方法二人教版.doc（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案數(shù)列問題的題型與方法二人教版一、考試內(nèi)容 數(shù)列；等差數(shù)列及其通項公式，等差數(shù)列前n項和公式；等比數(shù)列及其通項公式，等比數(shù)列前n項和公式。二、考試要求 1理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。 2理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解答簡單的問題。 3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題。三、復(fù)習(xí)目標1 能靈活地運用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式解題；2能熟練地求一些特殊數(shù)列的通項和前項的和；3使學(xué)生系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實際生活中的有關(guān)問題；4通過解決探索性問題，進一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力5在解綜合題的實踐中加深對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò)，提高分析問題和解決問題的能力6培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動探索的精神和科學(xué)理性的思維方法四、雙基透視1 可以列表復(fù)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì).2判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。(2)通項公式法：若 =+（n-1）d=+（n-k）d ，則為等差數(shù)列；若 ，則為等比數(shù)列。(3)中項公式法：驗證 都成立。3. 在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn 的最值問題常用鄰項變號法求解：(1)當0,d0時，滿足 的項數(shù)m使得取最大值.(2)當0時，滿足 的項數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。4.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。五、注意事項1證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明 或而得。2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便。3對于一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。4注意一些特殊數(shù)列的求和方法。5注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：= ， =6數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路7解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略8通過解題后的反思，找準自己的問題，總結(jié)成功的經(jīng)驗，吸取失敗的教訓(xùn)，增強解綜合題的信心和勇氣，提高分析問題和解決問題的能力數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位。高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏。解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。應(yīng)用問題考查的重點是現(xiàn)實客觀事物的數(shù)學(xué)化，常需構(gòu)造數(shù)列模型，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決。 六、范例分析例1已知數(shù)列a是公差d0的等差數(shù)列，其前n項和為S(2)過點Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設(shè)l與l的夾角為，證明：(1)因為等差數(shù)列a的公差d0，所以Kpp是常數(shù)(k=2，3，n)(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d例2已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和。分析：由于b和c中的項都和a中的項有關(guān)，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=32當n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用例3已知數(shù)列a是首項a10，q-1且q0的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列b的通項b=a-ka (nN)，數(shù)列a、b的前n項和分別為S，T如果TkS對一切自然數(shù)n都成立，求實數(shù)k的取值范圍分析：由探尋T和S的關(guān)系入手謀求解題思路。解：因為a是首項a0，公比q-1且q0的等比數(shù)列，故a=aq， a=aq所以 b=a-ka=a(q-kq)T=b+b+b=(a+a+a)(q-kq)=S(q-kq)依題意，由TkS，得S (q-kq)kS，對一切自然數(shù)n都成立當q0時，由a10，知a0，所以S0；當-1q0時，因為a10，1-q0，1-q0，所以S=綜合上面兩種情況，當q-1且q0時，S0總成立由式可得q-kqk ，例4(xx年全國理)從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè). 根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少.本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加。()設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元. 寫出an，bn的表達式()至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?解析：第1年投入800萬元，第2年投入800（1-）萬元，第n年投入800（1）n1萬元所以總投入an800800（1）800（1）n140001（）n同理：第1年收入400萬元，第2年收入400（1）萬元，第n年收入400（1）n1萬元bn400400（1）400（1）n11600（）n1(2)bnan0，1600（）n140001（）n0化簡得，5（）n2（）n70設(shè)x（）n，5x27x20 x，x1（舍) 即（）n，n5.說明：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。解數(shù)學(xué)問題應(yīng)用題重點在過好三關(guān)：（1）事理關(guān)：閱讀理解，知道命題所表達的內(nèi)容；（2）文理關(guān)：將“問題情景”中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件；（3）數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實際問題數(shù)學(xué)化，并解答這一數(shù)學(xué)模型，得出符合實際意義的解答。例5設(shè)實數(shù)，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，記，求證：當時，對任意自然數(shù)都有=解：。記 +得 說明：本例主要復(fù)習(xí)利用錯位相減解決差比數(shù)列的求和問題。關(guān)鍵是先研究通項，確定是等差數(shù)列，等比數(shù)列。解法一：設(shè)等差數(shù)列a的首項a=a，公差為d，則其通項為根據(jù)等比數(shù)列的定義知S0，由此可得一步加工，有下面的解法)解法二：依題意，得例7設(shè)二次方程x-+1x+1=0(nN)有兩根和，且滿足6-2+6=3(1)試用表示a；例8在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列。求點的坐標；設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。設(shè)，等差數(shù)列的任一項，其中是中的最大數(shù)，求的通項公式。解：（1）（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設(shè)的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=（3），T中最大數(shù).設(shè)公差為，則，由此得說明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問運用幾何知識算出，解決（3）的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。例9數(shù)列中，且滿足 求數(shù)列的通項公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時，故 （3）若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對任意，均有說明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。例10如圖，在y軸的正半軸上依次有點其中點，且，在射線上依次有點點的坐標為（3，3），且 用含的式子表示；用含的式子表示的坐標；求四邊形面積的最大值。解：（1），（2）由（1）得的坐標，是以 為首項， 為公差的等差數(shù)列（3）連接，設(shè)四邊形的面積為，則單調(diào)遞減.的最大值為.說明：本例為數(shù)列與幾何的綜合題。由題意知為等比，為等差，（3）利用函數(shù)單調(diào)性求最值。例11設(shè)正數(shù)數(shù)列a為一等比數(shù)列，且a=4，a=16說明：這是xx年全國高考上海試題，涉及對數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題，主要考查等比數(shù)列的定義及通項公式，等差數(shù)列前n項和公式，對數(shù)計算，求數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力例12已知拋物線，過原點作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點，又過點作斜率為的直線交拋物線于點，再過作斜率為的直線交拋物線于點，如此繼續(xù)，一般地，過點作斜率為的直線交拋物線于點，設(shè)點（）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列（）設(shè)數(shù)列的前項和為，試比較與的大小解：（1）因為、在拋物線上，故，又因為直線的斜率為，即，代入可得，故是以為公比的等比數(shù)列；（2），故只要比較與的大小方法（一），當時，；當時；當時，方法（二）用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中假設(shè)時有,則當時,.a)，是公差為-1的等差數(shù)列，又2a-a，2a-a，2a-a，(1)求數(shù)列a的通項公式；(2)計算 (a+a+a)分析：由于題設(shè)中的等差數(shù)列和等比數(shù)列均由數(shù)列an的相關(guān)項構(gòu)成，分別求出它們的通項公式構(gòu)造關(guān)于a的方程組解：(1)設(shè)b=log(3a-a)，因為bn是等差數(shù)列，d=-1b1=log3a-a2 設(shè)c=2 a-a，c是等比數(shù)列，公比為q，|q|1，c=2a-a=例14等比數(shù)列a中，已知a10，公比q0，前n項和為S，自然數(shù)b，c，d，e滿足bcde，且b+e=c+d求證：SSSS分析：凡是有關(guān)等比數(shù)列前n項Sn的問題，首先考慮q=1的情況，證明條件不等式時，正確適時地應(yīng)用所給的條件是成敗的關(guān)鍵(證明不等式首選方法是差比較法，即作差變形判定符號，變形要有利于判定符號)be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)因為ce，de，所以c-e0，e-d0，于是(c-e)(e-d)0又同理(要比較SS與SS的大小，只要比較(1-qb)(1-qe)與(1-qc)(1-qd)的大小，仍然運用差比較法)(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)(能否將qc-qb用qe-qd表示是上式化成積的關(guān)鍵，利用給定的c+d=b+e，尋求變形的途徑，c=b+e-d，d、e出現(xiàn)了，于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)恒等變形只有目標明確，變形才能有方向)上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)因為q0所以q-d0(運用函數(shù)的思想將問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判別乘積的符號)事實上，由bde，q0，當0q1時，y=qx是減函數(shù)，qeqd，qbqd，即qe-qd0，qb-qd0；當q1時，y=qx是增函數(shù)，qeqd，qbqd，即qe-qd0，qb-qd0所以無論0q1還是q1，都有qe-qd與qb-qd異號，即(qe-qd)(qb-qd)0綜上所述，無論q=1還是q1，都有SSSS說明：復(fù)習(xí)課的任務(wù)在于對知識的深化，對能力的提高、關(guān)鍵在落實根據(jù)上面所研究的問題，進一步提高運用函數(shù)的思想、方程的思想解決數(shù)列問題的能力例15（xx年北京春季高考）如圖，在邊長為l的等邊ABC中，圓O1為ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續(xù)下去. 記圓On的面積為. （）證明是等比數(shù)列； （）求的值. （）證明：記rn為圓On的半徑，則 所以 故成等比數(shù)列.（）解：因為所以說明：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、三角函數(shù)等基本知識，考查邏輯思維能力.七、強化訓(xùn)練1設(shè)S和T分別為兩個等差數(shù)列的前n項和，若對任意nN， （ ）A43 B32 C74 D78712一個首項為正數(shù)的等差數(shù)列中，前3項的和等于前11項的和，當這個數(shù)列的前n項和最大時，n等于 （ ）A5 B6 C7 D83若數(shù)列中，且 ，則數(shù)列的通項 4設(shè)在等比數(shù)列中，求及5根據(jù)下面各個數(shù)列的首項和遞推關(guān)系，求其通項公式6數(shù)列的前項和為不等于0，1的常數(shù))，求其通項公式7某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到xx年底全縣的綠化率已達30%。從xx年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。（1）設(shè)全縣面積為1，xx年底綠化面積為經(jīng)過年綠化總面積為求證（2）至少需要多少年（年取整數(shù)，）的努力，才能使全縣的綠化率達到60%？8（xx年春招試題）已知點的序列（，0），其中=0，A3是線錢A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，An是線段的中點，。（I）寫出與、之間的關(guān)系式（3）（II）設(shè)，計算，由此推測數(shù)列的通項公式，并加以證明。9(94年全國理)設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對所有自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.(1)寫出數(shù)列an的前三項；(2)求數(shù)列an的通項公式(寫出推證過程)；(3)令bn=(nN)，求：b1+b2+bn-n.八、參考答案1解：設(shè)這兩個等差數(shù)列分別為an和bn故選擇A說明：注意巧妙運用等差中項的性質(zhì)來反映等差數(shù)列的通項an與前2n-1項和S2n-1的內(nèi)在聯(lián)系2解：依題意知數(shù)列單調(diào)遞減，公差d0因為S3=S11=S3+a4+a5+a10+a11所以 a4+a5+a7+a8+a10+a11=0即 a4+a11=a7+a8=0，故當n=7時，a70，a80選擇C解選擇題注意發(fā)揮合理推理和估值的作用3解：多次運用迭代，可得4解：，又，由以上二式得或；由此得或.說明：本例主要復(fù)習(xí)數(shù)列的基本運算和方程思想的應(yīng)用。5解：（1）， （2） =又解：由題意，對一切自然數(shù)成立，（3）是首項為公比為的等比數(shù)列，說明：本例復(fù)習(xí)求通項公式的幾種方法：迭加法、迭乘法、構(gòu)造法。6解：由可得當時， ，是公比為的等比數(shù)列.又當時，。說明：本例復(fù)習(xí)由有關(guān)與遞推式求，關(guān)鍵是利用與的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化。7（1）證明：由已知可得確定后，表示如下：=即=80%+16%=+（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=故有=，若則有即兩邊同時取對數(shù)可得故，故使得上式成立的最小為5，故最少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60%.8（I）解：當n3時， （II）解： . 由此推測。證法一： 因為，且 （n2） 所以。證法二：（用數(shù)學(xué)歸納法證明：）（i）當時，公式成立，（ii）假設(shè)當時，公式成立，即成立。那么當時，=式仍成立。根據(jù)（i）與（ii）可知，對任意，公式成立評注：本小題主要考查中點坐標公式、等比數(shù)列等基本知識，考查運算能力和邏輯思維能力。9解：(1)由題意= an0令n=1時，= S1=a1 解得a1=2令n=2時有=a1+a2 解得a2=6令n=3時有= S3=a1+a2+a3 解得a3=10故該數(shù)列的前三項為2、6、10.(2)解法一：由(1)猜想數(shù)列an有通項公式an=4n-2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列an的通項公式是an=4n-2 (nN)1當n=1時，因為41-22，又在(1)中已求得a1=2，所以上述結(jié)論正確.2假設(shè)n=k時，結(jié)論正確，即有ak=4k-2由題意有 得ak=4k-2,代入上式得2k=, 解得Sk=2k2由題意有= Sk+1=Sk+ak+1 得Sk=2k2代入得=2(ak+1+2k2)整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0 由于ak+10，解得：ak+1=2+4k所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2這就是說n=k+1時，上述結(jié)論成立.根據(jù)1，2上述結(jié)論對所有自然數(shù)n成立.解法二：由題意有，= (nN) 整理得Sn=(an+2)2 由此得Sn+1=(an+1+2)2 所以an+1=Sn+1-Sn=（an+1+2)2-(an+2)2整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0 由題意知an+1+an0,所以an+1-an=4即數(shù)列an為等差數(shù)列，其中a1=2,公差d=4，所以an=a1(n-1)d=2+4(n-1) 即通項公式an=4n-2.(3)令cn=bn-1,則cn= =b1+b2+bn-n=c1+c2+cn=說明：該題的解題思路是從所給條件出發(fā)，通過觀察、試驗、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進行證明.對于含自然數(shù)n的命題，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，該題著重考查了歸納、概括和數(shù)學(xué)變換的能力.