2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題十 數(shù)學(xué)思想方法 第一講 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想素能提升練 理.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題十 數(shù)學(xué)思想方法 第一講 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想素能提升練 理1.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5,則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為()A.3B.4C.5D.6解析:由于3,4,5構(gòu)成直角三角形,故其內(nèi)切圓半徑為r=1.當(dāng)該圓運(yùn)動(dòng)時(shí),最多與直角三角形的兩邊有4個(gè)交點(diǎn).答案:B2.(xx山西忻州高三聯(lián)考,6)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?直線y=kx-1與區(qū)域有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A.(0,3B.-1,1C.(-,3D.3,+)解析:直線y=kx-1顯然經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(0,-1),由圖形直接觀察知,當(dāng)直線y=kx-1經(jīng)過(guò)直線y=x+1和直線x+y=3的交點(diǎn)C(1,2)時(shí),k最小,此時(shí)kCM=3,因此k3,即k3,+).答案:D3.若a>0,b>0,且a+b=2,則ab+的最小值為()A.2B.3C.4D.2解析:2=a+b2,1.ab(0,1.函數(shù)f(x)=x+在x(0,1上單調(diào)遞減,ab+的最小值為f(1)=2.答案:A4.設(shè)平面點(diǎn)集A=,B=(x,y)|(x-1)2+(y-1)21,則AB所表示的平面圖形的面積為()A.B.C.D.解析:不等式(y-x)0可化為集合B表示圓(x-1)2+(y-1)2=1上以及圓內(nèi)部的點(diǎn)所構(gòu)成的集合,AB所表示的平面區(qū)域如圖所示.由于曲線y=,圓(x-1)2+(y-1)2=1均關(guān)于直線y=x對(duì)稱,所以陰影部分占圓面積的一半.故選D.答案:D5.若方程x+k=有且只有一個(gè)解,則k的取值范圍是()A.-1,1)B.k=C.-1,1D.k=或k-1,1)解析:令y=x+k ,y=,則x2+y2=1(y0).作出圖象如下:而y=x+k中,k是直線的縱截距,由圖知:方程有一個(gè)解直線與上述半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)k=或-1k<1.答案:D6.(xx河南洛陽(yáng)高三統(tǒng)一測(cè)試,12)已知函數(shù)f(x)=|log2x|-m(m>0)的零點(diǎn)分別為x1,x2(x1<x2),函數(shù)g(x)=|log2x|-(m>0)的零點(diǎn)分別為x3,x4(x3<x4),則的最小值為()A.4B.8C.4D.8解析:由題中條件知:log2x1=-m,log2x2=m,x1=2-m,x2=2m;log2x3=-,log2x4=,x3=,x4=.8.答案:D7.若不等式k(x+1)的解集為區(qū)間a,b,且b-a=1,則k=.解析:令y1=,y2=k(x+1),作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖,y1y2的解集為a,b,且b-a=1,b=2,a=1.直線過(guò)點(diǎn)A(1,).k=.答案:8.(xx甘肅蘭州、張掖聯(lián)考,14)已知x,y滿足約束條件則x2+y2的最小值是.解析:畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方.由題意知,當(dāng)以原點(diǎn)為圓心的圓與直線3x+4y-4=0相切時(shí),x2+y2取得最小值,即,所以(x2+y2)min=.答案:9.已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為8,f(x)=f1(x)+f2(x).(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;(2)證明:當(dāng)a>3時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.(1)解:由已知,設(shè)f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,于是f1(x)=x2.設(shè)f2(x)=(k>0),它的圖象與直線y=x的交點(diǎn)分別為A(),B(-,-),由|AB|=8,得k=8,于是f2(x)=.故f(x)=x2+.(2)證法一:由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即=-x2+a2+.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出f2(x)=和f3(x)=-x2+a2+的大致圖象,其中f2(x)的圖象是位于第一、三象限的雙曲線,f3(x)的圖象是以為頂點(diǎn),開口向下的拋物線.因此f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn),即f(x)=f(a)有一個(gè)負(fù)數(shù)解.又f2(2)=4,f3(2)=a2+-4,當(dāng)a>3時(shí),f3(2)-f2(2)=a2+-8>0,當(dāng)a>3時(shí),在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)(2,f3(2)在f2(x)圖象的上方.故f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn),即f(x)=f(a)有兩個(gè)正數(shù)解.因此,在a>3時(shí),方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.證法二:由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(x-a)=0,得方程的一個(gè)解x1=a.方程x+a-=0化為ax2+a2x-8=0,由a>3,=a4+32a>0,得x=,因此x2=,x3=,a>3,x1x2.若x1=x3,則3a2=,a4=4a,得a=0或a=,這與a>3矛盾,x1x3.故原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解.10.(xx河北唐山一模,21)已知函數(shù)f(x)=.(1)證明:0<f(x)1;(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)>,求a的取值范圍.(1)證明:設(shè)g(x)=xex+1,則g(x)=(x+1)ex.當(dāng)x(-,-1)時(shí),g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(-1,+)時(shí),g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以g(x)g(-1)=1-e-1>0.又ex>0,故f(x)>0.f(x)=,當(dāng)x(-,0)時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(0,+)時(shí),f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)f(0)=1.綜上,有0<f(x)1.(2)解:若a=0,則當(dāng)x>0時(shí),f(x)<1=,不等式不成立.若a<0,則當(dāng)0<x<時(shí),>1,不等式不成立.若a>0,則f(x)>等價(jià)于(ax2-x+1)ex-1>0.(*)設(shè)h(x)=(ax2-x+1)ex-1,則h(x)=x(ax+2a-1)ex.若a,則當(dāng)x(0,+)時(shí),h(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,h(x)>h(0)=0.若0<a<,則當(dāng)x時(shí),h(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,h(x)<h(0)=0.于是,若a>0,不等式(*)成立,當(dāng)且僅當(dāng)a.綜上,a的取值范圍是.11.提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:km/h)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車流速度為60 km/h.研究表明當(dāng)20x200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).(1)當(dāng)0x200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/時(shí))f(x)=xv(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/時(shí))解:(1)由題意知當(dāng)0x20時(shí),v(x)=60;當(dāng)20x200時(shí),設(shè)v(x)=ax+b(a0),(*)由題意知,當(dāng)x=20時(shí),v(x)=60;當(dāng)x=200時(shí),v(x)=0,代入(*)式,可得a=-,b=,所以v(x)=,故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)=(2)依題意并由(1)可得f(x)=當(dāng)0x<20時(shí),f(x)為增函數(shù),故0f(x)<1 200.當(dāng)20x200時(shí),f(x)=x(200-x),當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x,即x=100時(shí),等號(hào)成立.所以,當(dāng)x=100時(shí),f(x)在區(qū)間20,200上取得最大值.綜上,當(dāng)x=100時(shí),車流量f(x)可以達(dá)到最大,最大值約為3 333輛/時(shí).