2019-2020年高考數(shù)學一輪復(fù)習專題5.4應(yīng)用向量方法解決簡單的平面幾何問題（講）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學一輪復(fù)習專題5.4應(yīng)用向量方法解決簡單的平面幾何問題（講） 【考綱解讀】 考點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預(yù)測 向量的應(yīng)用 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題. xx?浙江文17；理7； xx?浙江文22； xx?浙江10. 1.以考查向量的共線、數(shù)量積、夾角、模為主，基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下； 2.與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合，以工具的形式進行考查，力學方面應(yīng)用的考查較少. 3.備考重點： (1) 理解有關(guān)概念是基礎(chǔ)，掌握線性運算、坐標運算的方法是關(guān)鍵； (2)解答與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題時，注意運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，將共線、垂直等問題，通過建立平面直角坐標系，利用坐標運算解題. 【知識清單】 1．平面向量在幾何中的應(yīng)用 1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線． 2．共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa. 3. 向量共線的充要條件的坐標表示 若，則?. 4. 設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則： （1）ab＝a1b1＋a2b2. （2）a⊥ba1b1＋a2b2＝0. 對點練習： 法向量為的直線，其斜率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】因為法向量為的直線，可知與已知直線垂直的直線的斜率為，那么可知已知直線的斜率為，選A. 【考點深度剖析】 平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點、熱點，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).平面向量的應(yīng)用問題，常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標形式等考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)． 【重點難點突破】 考點1 平面向量在幾何中的應(yīng)用 【1-1】【xx浙江杭州二?！吭O(shè)為所在平面上一點，且滿足.若的面積為8，則的面積為__________. 【答案】14 于是可得點在邊上， ，且，則 ，由， 所以 ，所以，又因為，所以，則 【1-2】【xx江蘇，12】如圖,在同一個平面內(nèi)，向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為,且tan=7,與的夾角為45.若, 則 . A C B O (第12題) 【答案】3 【1-3】【xx浙江溫州中學11月】如圖，在等腰梯形中，，，，點，分別為，的中點，如果對于常數(shù)，在等腰梯形的四條邊上，有且只有8個不同的點使得成立，那么的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】如下圖建立空間直角坐標系，由題意得，，，根據(jù)對稱性可知，問題等價于在等腰梯形的每條邊上均有兩點（不含端點）滿足， 若在上：設(shè)，，其中，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，∴； 若在上：設(shè)， 【領(lǐng)悟技法】 共線向量定理應(yīng)用時的注意點 (1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個． (2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合． 【觸類旁通】 【變式一】在中，若，則一定是（ ）. A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不能確定 【答案】C 【解析】由于，化簡得，因此.選C. 【變式二】在平面四邊形ABCD中，滿足＋＝0，(－)＝0，則四邊形ABCD是(　　)． A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【解析】因為＋＝0，所以＝－＝， 所以四邊形ABCD是平行四邊形，又(－)＝＝0，所以四邊形的對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形． 考點2 平面向量的綜合應(yīng)用 【2-1】【xx四川文】已知正三角形ABC的邊長為，平面ABC內(nèi)的動點P，M滿足，，則的最大值是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】甴已知易得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，則設(shè)由已知，得，又 ，它表示圓上點與點距離平方的，，故選B. 【2-2】【xx湖南長沙長郡中】已知點，是橢圓上的動點，且，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 所以，當時，有最大值，當時，有最小值，故選C. 【2-3】【xx江蘇，16】 已知向量 （1）若a∥b,求x的值； （2）記,求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值. 【答案】（1）（2）時，取得最大值，為3； 時，取得最小值，為. 【領(lǐng)悟技法】 1.涉及三角問題求解方法：（1）去除向量的包裝外衣，轉(zhuǎn)化為由三角函數(shù)值求對應(yīng)的角的值；（2）去除向量的包裝外衣，轉(zhuǎn)化為形如： 三角函數(shù)最值，但一定要關(guān)注自變量的范圍.另外三角函數(shù)與代數(shù)函數(shù)一個很大的區(qū)別就是一般先要處理三角函數(shù)表達式，處理的結(jié)果之一就是轉(zhuǎn)化為形如：，這一點很重要. 2.涉及平面幾何問題，往往通過平面向量的坐標運算，結(jié)合曲線的定義及曲線與曲線的位置關(guān)系，應(yīng)用函數(shù)方程思想解題. 【觸類旁通】 【變式一】已知兩點，過動點作軸的垂線，垂足為，若，當時，動點的軌跡為( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 【答案】C 【解析】設(shè) 則,所以, 所以,即,變形為,又因為,故動點的軌跡為雙曲線. 【變式二】在中，角，，的對邊分別是，，，且向量與向量共線. （1）求； （2）若，，，且，求的長度. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)條件中的向量共線得到，，滿足的一個式子，再進行三角恒等變形即可求解；（2）將已知條件中的式子變形，兩邊平方利用余弦定理求解. ∵，∴，∴ ，將和代入得：， ∴. 【變式三】【xx課標II，理】設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。 (1) 求點P的軌跡方程； (2)設(shè)點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。 【答案】(1) ；(2)證明見解析. 【解析】 【易錯試題常警惕】 易錯典例：在直角坐標平面上，O為原點，M為動點，，．過點M作MM1⊥軸于M1，過N作NN1⊥軸于點N1，．記點T的軌跡為曲線C，點A（5，0）、B（1，0），過點A作直線交曲線C于兩個不同的點P、Q（點Q在A與P之間）． （Ⅰ）求曲線C的方程； （Ⅱ）證明不存在直線，使得； （Ⅲ）過點P作軸的平行線與曲線C的另一交點為S，若，證明． 易錯分析：本題解答有兩處易于出錯，一是平向量的應(yīng)用意識不強，不能正確應(yīng)用平面向量的基本知識和基本方法；二是由于涉及較為復(fù)雜的數(shù)學式子變形而出錯． 正確解析：（1）解：設(shè)點T的坐標為，點M的坐標為，則M1的坐標為 ∴點N的坐標為 ∴N1的坐標為 ， ∴ 由有 （2）證：點A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當直線的斜率不存在時，直線與橢圓C無交點，所以直線斜率存在，并設(shè)為．直線的方程為． 由方程組 得 依題意，得． 當時，設(shè)交點，PQ的中點為R，則 ， ∴ 又BR⊥ 但不可能成立，所以不存在直線使得． （3）證明：由題有S，． 則有方程組 由（1）得： 將（2）、（5）代入（3）有 整理并將（4）、（5）代入得 易知，解得 因，故，， ∴ ∴． 溫馨提醒：(1)注意熟練掌握平面向量的基本知識和基本方法，增強應(yīng)用意識．(2)在解答本題時，注意增強信心，細心進行數(shù)學式子變形，并特別注意整理得得到的一元二次方程，根的判別式大于零. 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 化整為零，積零為整——分類討論思想 1.分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用，因此，有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學命題在高考試題中占有重要地位.所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學問題時，當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”． 2.分類討論思想的常見類型 ⑴問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進行分類討論的； ⑵問題中的條件是分類給出的； ⑶解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的； ⑷涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的. 【典例】已知曲線上的任意點到點的距離比它到直線的距離小1， （1）求曲線的方程； （2）點的坐標為，若為曲線上的動點，求的最小值 （3）設(shè)點為軸上異于原點的任意一點，過點作曲線的切線，直線分別與直線及軸交于，以為直徑作圓，過點作圓的切線，切點為，試探究：當點在軸上運動（點與原點不重合）時，線段的長度是否發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論 【答案】（1）；（2）的最小值為2；（3）線段的長度為定值 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)拋物線的定義得出軌跡方程； （2）設(shè)，將表示為（或）的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出最小值； （3）設(shè)坐標和直線的斜率，根據(jù)相切得出的關(guān)系，求出坐標得出圓的圓心和半徑，利用切線的性質(zhì)得出的長． 試題解析：（1）設(shè)為曲線上的任意一點，依題意，點到點的距離與它到直線的距離相等，所以曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線， 所以曲線的方程為 （2）設(shè)，則 因為，所以當時，有最小值2 當點在軸上運動（點與原點不重合）時，線段的長度不變，為定值.