2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)列(含解析).doc
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2019-2020 年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)列(含解析) 抓住 5 個(gè)高考重點(diǎn) 重點(diǎn) 1 數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式 1.數(shù)列的定義 2.通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系: 112 1,., ,2nn nnnSSaaaS?????? ???? 3.數(shù)列的一般性質(zhì):(1)單調(diào)性;(2)周期性-若,則為周期數(shù)列,為的一個(gè)周期. 4.數(shù)列通項(xiàng)公式的求法:觀察、歸納與猜想 [高考??冀嵌萞 角度 1 已知數(shù)列滿足 ,則*43412,0,,nnnaaN????? 解析:主要考查對(duì)數(shù)列中項(xiàng)數(shù)的分析處理能力, 0147210725410aa????? 角度 2 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為第項(xiàng)滿足則( ) A. B. C. D. 解析:當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,故 由 ,故選 B5821087.59,8kann????????? 重點(diǎn) 2 等差數(shù)列及其前項(xiàng)和 1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式: *1(),(),(,)nnmadadNmn????? 2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式: ,為常數(shù)2122Sab??? 3.等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用: 也成等差數(shù)列23243,,,,.pqstnnnpqstSS?? 4.等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值:(1)若,數(shù)列的前幾項(xiàng)為負(fù)數(shù),則所有負(fù)數(shù)項(xiàng)或零項(xiàng)之和為最?。?(2)若,數(shù)列的前幾項(xiàng)為正數(shù),則所有正數(shù)項(xiàng)或零項(xiàng)之和為最大; (3)通過用配方法或?qū)?shù)求解. 5 等差數(shù)列的判定與證明:(1)利用定義, (2)利用等差中項(xiàng), (3)利用通項(xiàng)公式為常數(shù), (4)利用前項(xiàng)和,為常數(shù) [高考??冀嵌萞 角度 1 在等差數(shù)列中, ,則__________ 解析:由等差數(shù)列的性質(zhì)知 .246846372()()4aaa???? 角度 2 已知為等差數(shù)列,其公差為,且是與的等比中項(xiàng),為的前項(xiàng)和, ,則的值為( ) A. B. C. D. 解析:∵,∴ ,解之得,)1()1(12???aa ∴ . 故選 D.1009(0S??? 角度 3 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí)等于( ) A. B. C. D. 解析:設(shè)該數(shù)列的公差為,則 ,解得,46128(1)86add?????? 所以 ,所以當(dāng)時(shí),取最小值.選 A2(1)632nSn??? 角度 4 已知數(shù)列滿足對(duì)任意的,都有,且 ??2331212nnaaa???? ? . (1)求,的值; (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解:(1)當(dāng)時(shí),有,由于,所以. 當(dāng)時(shí),有,將代入上式,由于,所以. (2)由于 ??2331212nnaaa???? ? , ① 則有 21n?? ? . ② ②-①,得 ????2231212nn na???? ? , 由于,所以 2aa?? . ③ 同樣有 ??121nn?? , , ④ ③-④,得. 所以. 由于,即當(dāng)時(shí)都有,所以數(shù)列是首項(xiàng)為 1,公差為 1 的等差數(shù)列. 故. (3) 21, ()()2nnan??????? 13243512.n nnSa??1[())().()()]2n?????21242nn?13311[()][()]04 ()3nS n? ?????? 數(shù)列是遞增數(shù)列,故 要使不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立 只須,又 故 所以 實(shí)數(shù)的取值范圍是 角度 5 (xx.福建)已知等差數(shù)列中, , . (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若數(shù)列的前項(xiàng)和,求的值. 解析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差,則, 由題設(shè), ,所以. .312ad???1()23nan???? (Ⅱ)因?yàn)?,()(32)5kkakS?? 所以,解得或.因?yàn)?,所以?重點(diǎn) 3 等比數(shù)列及其前項(xiàng)和 1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式: 1*,,,nnmaqaNn????? 2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式: 1(),nnSq??????? 3.等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用: 也成等比數(shù)列23243,,,,.pqstnnnpstaSS?????? 4.等比數(shù)列的判定與證明:(1)利用定義為常數(shù)(2)利用等比中項(xiàng), [高考??冀嵌萞 角度 1 若等比數(shù)列滿足,則公比為( ) A. B. C. D. 解析:由題有 ,故選擇 B.223122316,64aaq??? 角度 2 在等比數(shù)列中,若則公比 ; . 解析:由已知得;所以 .12 (2)(1)nnna???? 角度 3 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知 (Ⅰ)設(shè),證明數(shù)列是等比數(shù)列 (Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解析:(Ⅰ)由及,有 2112135,3aba????? 由,………………………① 則當(dāng)時(shí),有……….② ②-①得 , 又,11()nn???? 是首項(xiàng),公比為 2 的等比數(shù)列. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得, (如果不這樣,就要用到累差法了) 數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等比數(shù)列. ,131()24nan??? 故 角度 4 等比數(shù)列中,分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若數(shù)列滿足:,求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),不合題意;當(dāng)時(shí),不合題意. 當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),符合題意;因此 故 (Ⅱ)因?yàn)?1123()ln23)n?????? 1[(ln]23()ln23)(1ln3,n??????21 22(13)[()]l)n n?????? ? 2[()]ln?2l3l1.n?? 重點(diǎn) 4 數(shù)列的求和 1.數(shù)列求和的注意事項(xiàng):(1)首項(xiàng):從哪項(xiàng)開始相加;(2)有多少項(xiàng)求和;(3)通項(xiàng)的特征決定求和的方法 2.常見的求和技巧:(1)公式法,利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式; (2)倒序相加法; (3)錯(cuò)位相減法; (4)分組求和法; (5)裂項(xiàng)法; (6)并項(xiàng)法 [高考??冀嵌萞 角度 1 若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則( ) A. B. C. D. 解析:方法一:分別求出前 10 項(xiàng)相加即可得出結(jié)論; 方法二: ,故 .故選 A.12349103aa????? a?????????L 角度 2 已知數(shù)列 ,求此數(shù)列的前項(xiàng)和221,,..n? 解析:由 211. nn???221()).(.)nnS ?????231(1.)n???23 12(1). 2nnn??????? 角度 3 數(shù)列為等差數(shù)列,為正整數(shù),其前項(xiàng)和為,數(shù)列為等比數(shù)列,且, 數(shù)列是公比為 64 的等比數(shù)列,. (1)求; (2)求證. 解:設(shè){}公差為,由題意易知,且 則{}通項(xiàng),前項(xiàng)和 再設(shè){}公比為,則{}通項(xiàng) 由可得 ① 又{}為公比為 64 的等比數(shù)列,∴ ,∴ ②daaa qqbnnn ????? ??111 聯(lián)立①、②及,且可解得 ∴{}通項(xiàng), 的通項(xiàng), (2)由(1)知, ∴ 11()()()3242n??????? 111[)()]33452nn????? ?[(1))]n?3(? 角度 4 設(shè)若 ,則________1201()().()044Sfff?? 解析: 12),x xxff?????4()1)2xfx?? 由 得 013(.()204Sfff??201321()().()404Sfff??? , 3[())][.[]3124f ? 角度 5 設(shè)數(shù)列滿足 21*13,3naaN?????? (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式 (2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和 解析:(1)由已知 ①2113n?? 當(dāng)時(shí), ②2133naa???? 兩式相減得, 在①中,令,得 所以 (2) ③231.nnS???? ④4 13(1)3n???? 相減得 23 11()32.n nnnS? ?????????? 重點(diǎn) 5 數(shù)列的綜合應(yīng)用 1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 2.數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用(貴州省所考的新課程全國(guó)Ⅱ卷基本上不考此類題,故未選入) [高考??冀嵌萞 角度 1 設(shè),其中成公比為的等比數(shù)列,成公差為的等差數(shù)列,則的最小值是________ 解析:由題意: , 23121211aqaaq?????2221,aaq????? ,而 的最小值分別為 .2,,??? 角度 2 已知是以 a 為首項(xiàng), q 為公比的等比數(shù)列,為它的前 n 項(xiàng)和. (Ⅰ)當(dāng)、 、成等差數(shù)列時(shí),求 q 的值; (Ⅱ)當(dāng)、 、成等差數(shù)列時(shí),求證:對(duì)任意自然數(shù) k, 、 、也成等差數(shù)列. 解析:(Ⅰ)由已知, ,因此, , . 當(dāng)、 、成等差數(shù)列時(shí), ,可得. 化簡(jiǎn)得.解得. (Ⅱ)若,則的每項(xiàng),此時(shí)、 、顯然成等差數(shù)列. 若,由、 、成等差數(shù)列可得,即 (1)()2(1) mlnaqaq???? . 整理得.因此, 11()2klnkmkl nka??? ?? . 所以, 、 、也成等差數(shù)列. 突破 3 個(gè)高考難點(diǎn) 難點(diǎn) 1 數(shù)列的遞推公式及應(yīng)用 1.求(為常數(shù))型的通項(xiàng)公式 (1)當(dāng)時(shí),為等差數(shù)列 (2)當(dāng)時(shí),為等差數(shù)列 (3)當(dāng)且時(shí),方法是累差法或待定系數(shù)法,具體做法是: 數(shù)列為等比數(shù)列11()1nnnnqqapapa????????? 2.求(且為常數(shù))型的通項(xiàng)公式,具體做法是:“倒代換” 由變形為,故是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,進(jìn)而求解 3. 求(為常數(shù))型的通項(xiàng)公式,具體做法是: 由 ,令,則,再行求解.11nnnapapqq?????? 典例 根據(jù)下列條件,求數(shù)列的通項(xiàng)公式 (1) (待定系數(shù)法) 解析:由 ,是以為公比,為首項(xiàng)的等比數(shù)列1122()nnnaa????? *4,N??? ? (2) (換元法)*113,()2nnaaN??? 解析:由 ,是以公差,1 為首項(xiàng)的等差數(shù)列1123nnn???? *2() ,3nn aNa???? (3) (累差法、換元法、待定系數(shù)法) 解析:兩邊除以得,令,則 11()22nnnnbb????? 是以為公比,為首項(xiàng)的等比數(shù)列, 1(),2n nn nnab??????? (4) (累積法) 解析:由已知得 12342123321,,,.,,nnnaaa??? ?? 以上各式相乘,得 421231 1. . ,4nn nnan?? ??????????? (5) (換元法) 解析:由已知 21313313loglogl2(log)nnnnnaaa?? ??????? 是以為公比,為首項(xiàng)的等比數(shù)列, 所以 1 213 3log,l2,nnnn? ?? ? 難點(diǎn) 2 數(shù)列與不等式的交匯 典例設(shè)數(shù)列滿足且 (Ⅰ)求的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè)記證明: 解析:(Ⅰ)由已知,是公差為 1 的等差數(shù)列, ,1()nna??????? (Ⅱ) 1 1nnabn? ????()()()23?? 難點(diǎn) 3 數(shù)列與函數(shù)、方程的交匯 典例 1 已知等比數(shù)列的公比,前 3 項(xiàng)和。 (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若函數(shù) 在處取得最大值,且最大值為,求的解析式。()sin(2)0,)fxA?????? 點(diǎn)評(píng):本題考察等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、三角函數(shù)的圖象性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想?;A(chǔ)題。 解:(Ⅰ)由題有 ;121113393naaa??????? (Ⅱ)由(Ⅰ) ,故,又, 所以 規(guī)避 4 個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn) 1 忽略成立的條件 典例 已知數(shù)列滿足, (1)證明是等差數(shù)列,并求出公差 (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式 解析:(1)由已知, ,所以是等差數(shù)列,且公差為1112() 2nnnSS??????? (2) 536()3653nnS??? 當(dāng)時(shí), ,驗(yàn)證與不符18(5)3nna?? 故 3,8,2(5)nn??????? 易失分點(diǎn) 2 數(shù)列求和中包含的項(xiàng)數(shù)不清 典例 設(shè) ,則等于( )4710310()2.2,nf N???? A. B. C. D. 解析:容易錯(cuò)選 A,其實(shí)仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn),有項(xiàng),故選 D 易失分點(diǎn) 3 數(shù)列中的最值求解不當(dāng) 典例 已知數(shù)列滿足則的最小值為___________ 解析:由已知得 以上各式相加得11232212(),(),.,,nnaaaa??????? ,1 ()2[3.] 1,3n na ??????? 令,由對(duì)鉤函數(shù)或者求導(dǎo)可以知道在上遞減,在上遞增 又,所以時(shí)可能取到最小值,而,故的最小值為 易失分點(diǎn) 4 使用錯(cuò)位相減法求和時(shí)對(duì)項(xiàng)數(shù)處理不當(dāng) 典例 數(shù)列是等差數(shù)列, ,其中,數(shù)列前項(xiàng)和存在最小值.123(),0,(1)afxafx???? (1)求通項(xiàng)公式; (2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和 解:(1)∵ ∴ 221()4()f ? ………………………………2 分23()4167afxxx???? 又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列, ∴ ∴()+()= 解之得:或 …………………4 分 當(dāng)時(shí), ,此時(shí)公差, 當(dāng)時(shí), ,公差,此時(shí)數(shù)列前 n 項(xiàng)和不存在最小值,故舍去。 ∴ ……………6 分2(1)4na???? (2)由(1)知, …………… ………8 分21()()nnnab??????? ∴ (點(diǎn)評(píng):此處有一項(xiàng)為 0,但是必須寫上,否則會(huì)引起混亂)230nS??? ………10 分(點(diǎn)評(píng):不能打亂原有的結(jié)構(gòu))4111()2()2nn?????????? 1231()()(22nnn nnS ???????? 1()(23()nnn????? …………12 分- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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