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2019年高考數(shù)學二輪復習 第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第23練 數(shù)列的證明、通項與求和練習 文.doc

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2019年高考數(shù)學二輪復習 第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第23練 數(shù)列的證明、通項與求和練習 文.doc

2019年高考數(shù)學二輪復習 第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第23練 數(shù)列的證明、通項與求和練習 文明考情數(shù)列的通項與求和是高考的熱點,考查頻率較高.中檔難度,一般在解答題的前半部.知考向1.等差、等比數(shù)列的判定與證明.2.數(shù)列的通項與求和.考點一等差、等比數(shù)列的判定與證明方法技巧判斷等差(比)數(shù)列的常用方法(1)定義法:若an1and,d為常數(shù),則an為等差(比)數(shù)列.(2)中項公式法.(3)通項公式法.1.(xx全國)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11,a(2an11)an2an10.(1)求a2,a3;(2)求an的通項公式.解(1)由題意得a2,a3.(2)由a(2an11)an2an10,得2an1(an1)an(an1).因為an的各項都為正數(shù),所以.故an是首項為1,公比為的等比數(shù)列,因此an.2.已知數(shù)列an滿足a11,a24,an23an12an(nN*).(1)設bnan12an,證明:數(shù)列bn既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項公式.(1)證明因為an23an12an,所以an22an1an12an,又bnan12an,所以bn1an22an1,因此對任意的nN*,bn1bn0(常數(shù)),又bnan12anan2an1a22a120,所以1(常數(shù)),根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義知,數(shù)列bn既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.(2)解方法一由(1)知,an2an12, 由an23an12an,得an2an12(an1an),又a2a13,所以數(shù)列an1an是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,anan132n2(n2), 聯(lián)立得,an32n12(n2),經(jīng)檢驗當n1時也符合該式.故數(shù)列an的通項公式為an32n12(nN*).方法二由(1)可得an12an2,即an122(an2),所以數(shù)列an2是公比為2的等比數(shù)列,則an2(a12)2n132n1,即an32n12(nN*).3.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2an(1)n(nN*).(1)求數(shù)列an的前三項a1,a2,a3;(2)求證:數(shù)列為等比數(shù)列,并求出an的通項公式.(1)解在Sn2an(1)n(nN*)中分別令n1,2,3,得解得(2)證明由Sn2an(1)n(nN*),得Sn12an1(1)n1(n2),兩式相減,得an2an12(1)n(n2),an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n(n2),an(1)n2an1(1)n1(n2).故數(shù)列是以a1為首項,2為公比的等比數(shù)列.an(1)n2n1,an2n1(1)n(1)n.4.(xx全國)Sn為等差數(shù)列an的前n項和,且a11,S728.記bnlg an,其中x表示不超過x的最大整數(shù),如0.90,lg 991.(1)求b1,b11,b101;(2)求數(shù)列bn的前1 000項和.解(1)設an的公差為d,據(jù)已知有721d28,解得d1.所以an的通項公式為ann.b1lg 10,b11lg 111,b101lg 1012.(2)因為bn所以數(shù)列bn的前1 000項和為1902900311 893.5.(xx日照一模)已知數(shù)列an,bn滿足a11,an11,bn,其中nN*.(1)求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列,并求出數(shù)列an的通項公式;(2)設cn,求數(shù)列cncn2的前n項和Tn.(1)證明bn1bn2,數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列.又b12,bn2(n1)22n,2n,解得an.(2)解由(1)可得cn,cncn22,數(shù)列cncn2的前n項和為Tn223.6.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a11,an0,anan1Sn1,其中為常數(shù).(1)證明:an2an;(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由.(1)證明由題設知,anan1Sn1,an1an2Sn11,兩式相減得an1(an2an)an1,由于an10,所以an2an.(2)解由題設知,a11,a1a2S11,可得a21.由(1)知,a31.令2a2a1a3,解得4.故an2an4,由此可得a2n1是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n14n3;a2n是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n4n1.所以an2n1,an1an2,因此存在4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列.考點二數(shù)列的通項與求和方法技巧(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關系求通項的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的數(shù)列,可用累加法;形如f(n)的數(shù)列,可用累乘法.構(gòu)造數(shù)列法形如an1,可轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造等差數(shù)列;形如an1panq(pq0),可轉(zhuǎn)化為an1p構(gòu)造等比數(shù)列.(2)數(shù)列求和的常用方法倒序相加法;分組求和法;錯位相減法;裂項相消法.7.已知數(shù)列an的首項a11,前n項和為Sn,且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若bn(1)nan,求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由已知得1(n1)22n1,所以Sn2n2n.當n2時,anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3.而a11413滿足上式,所以an4n3,nN*.(2)(分組求和法)由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3).當n為偶數(shù)時,Tn(15)(913)(4n7)(4n3)42n;當n為奇數(shù)時,n1為偶數(shù),TnTn1bn12(n1)(4n1)2n1.綜上,Tn8.設nN*,數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn1Snan2,已知a1,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若數(shù)列bn滿足(),求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由Sn1Snan2,得an1an2(nN*),所以數(shù)列an是以a1為首項,2為公差的等差數(shù)列.由a1,a2,a5成等比數(shù)列,即(a12)2a1(a18),解得a11.所以an2n1(nN*).(2)(錯位相減法)由(1)可得bn(2n1)()2n(2n1)2n,所以Tn121322523(2n1)2n, 2Tn122323(2n3)2n(2n1)2n1. 由可得Tn22(22232n)(2n1)2n1(2n3)2n16,所以Tn(2n3)2n16.9.(xx廣東汕頭一模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a12,an1Sn2. (1)求數(shù)列an的通項公式;(2)已知bnlog2an,求數(shù)列的前n項和Tn.解(1)an1Sn2,anSn12(n2).兩式作差得an1anSnSn1an,所以an12an,即2(n2).又當n1時,a2S124,2成立.數(shù)列an是公比為2,首項為2的等比數(shù)列,ana1qn12n (nN*).(2)由(1)可得bnlog2ann,Tn1.10.(xx浙江)設數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S24,an12Sn1,nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)求數(shù)列|ann2|的前n項和.解(1)由題意得則即a23a1.又當n2時,由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an,得an13an.所以,數(shù)列an的通項公式為an3n1,nN*.(2)設bn|3n1n2|,nN*,b12,b21,當n3時,由于3n1n2,故bn3n1n2,n3.設數(shù)列bn的前n項和為Tn,則T12,T23,當n3時,Tn3,當x2時,滿足上式,所以Tn11.已知數(shù)列an,bn滿足a1,anbn1,bn1.(1)求數(shù)列bn的通項公式;(2)設Sna1a2a2a3a3a4anan1,求Sn.解(1)bn1.a1,b1,因為bn111,所以1,所以數(shù)列是以4為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以4(n1)n3,所以bn1.(2)因為an1bn,所以Sna1a2a2a3anan1.12.已知數(shù)列an中,a11,an1(nN*).(1)求證:為等比數(shù)列,并求an的通項公式;(2)數(shù)列bn滿足bn(3n1)an,求數(shù)列bn的前n項和Tn.(1)證明a11,an1,1,即3,則為等比數(shù)列,公比q3,首項為1,則3n1,即3n1(3n1),即an.(2)解bn(3n1)an,則數(shù)列的前n項和Tn, Tn, 兩式相減得Tn122,則Tn4.例(12分)下表是一個由n2個正數(shù)組成的數(shù)表,用aij表示第i行第j個數(shù)(i,jN*),已知數(shù)表中第一列各數(shù)從上到下依次構(gòu)成等差數(shù)列,每一行各數(shù)從左到右依次構(gòu)成等比數(shù)列,且公比都相等.已知a111,a31a619,a3548.a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3nan1an2an3ann(1)求an1和a4n;(2)設bn(1)nan1(nN*),求數(shù)列bn的前n項和Sn.審題路線圖規(guī)范解答評分標準解(1)設第1列依次組成的等差數(shù)列的公差為d,設每一行依次組成的等比數(shù)列的公比為q.依題意a31a61(12d)(15d)9,d1,an1a11(n1)d1(n1)1n.2分又a31a112d3,a35a31q43q448,又q>0,q2.又a414,a4na41qn142n12n1. 4分(2)bn(1)nan1(1)nn(1)nn(1)nn. 6分Sn12345(1)nn.當n為偶數(shù)時,Sn1,8分當n為奇數(shù)時,SnSn1bn1n1(n3且n為奇數(shù)).經(jīng)驗證,當n1時,也滿足Sn.11分綜上,數(shù)列bn的前n項和Sn構(gòu)建答題模板第一步找關系:根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項之間的關系.第二步求通項:根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項公式或利用累加、累乘法求數(shù)列的通項公式.第三步定方法:根據(jù)數(shù)列表達式的結(jié)構(gòu)特征確定求和方法(常用的有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組法等).第四步寫步驟.第五步再反思:檢查求和過程中各項的符號有無錯誤,用特殊項估算結(jié)果.1.(xx包頭一模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn2an3n (nN*).(1)求a1,a2,a3的值;(2)是否存在常數(shù),使得數(shù)列an為等比數(shù)列?若存在,求出的值和通項公式an;若不存在,請說明理由.解(1)當n1時,由S12a131,可得a13;當n2時,由S22a232,可得a29;當n3時,由S32a333,可得a321.(2)令(a2)2(a1)(a3),即(9)2(3)(21),解得3.由Sn2an3n及Sn12an13(n1),兩式相減,得an12an3.由以上結(jié)論得an13(2an3)32(an3),所以數(shù)列an3是首項為6,公比為2的等比數(shù)列,因此存在3,使得數(shù)列an3為等比數(shù)列,所以an3(a13)2n1,所以an3(2n1).2.設數(shù)列an滿足a12,an1an322n1.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)令bnnan,求數(shù)列bn的前n項和Sn.解(1)由已知,當n1時,an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n+1)1.而a12,所以數(shù)列an的通項公式為an22n1.(2)(錯位相減法)由bnnann22n1知,Sn12223325n22n1,22Sn123225327n22n+1,得(122)Sn2232522n1n22n+1,即Sn(3n1)22n+12.3.已知an是等比數(shù)列,前n項和為Sn(nN*),且,S663.(1)求an的通項公式;(2)若對任意的nN*,bn是log2an和log2an1的等差中項,求數(shù)列(1)nb的前2n項和.解(1)設數(shù)列an的公比為q.由已知,解得q2或q1.又由S6a163知,q1,所以a163,得a11.所以an2n1.(2)由題意,得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n,即bn是首項為,公差為1的等差數(shù)列.設數(shù)列(1)nb的前n項和為Tn,則T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.4.已知數(shù)列an,a11,an2an11(n2,nN*).(1)求證:數(shù)列an1是等比數(shù)列;(2)若bn,求數(shù)列bn的前n項和Sn;(3)求證:(nN*).(1)證明an12(an11)(n2),2.又a112,數(shù)列an1是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列.(2)解an12n,an2n1.bn.Sn.(3)證明,(nN*).5.已知數(shù)列an中,a11,a39,且anan1n1(n2).(1)求的值及數(shù)列an的通項公式;(2)設bn(1)n(ann),且數(shù)列bn的前n項和為Sn,求S2n.解(1)a11,anan1n1,a22,a351,由a3519,得2.于是anan12n1,即anan12n1,an1an22n3,an2an32n5,a2a13.以上各式累加,得an1n2.(2)由(1)得bn(1)n(ann)(1)nn(n1).故S2n122334455667(2n1)2n2n(2n1)2(13)4(35)6(57)2n(2n12n1)2(2462n)22n22n.

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