垂徑定理 (2)

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1、24.1.2 垂 直 于 弦 的 直 徑 問 題 ： 你 知 道 趙 州 橋 嗎 ？ 它 是 1300多 年 前 我 國 隋 代 建 造 的石 拱 橋 ， 是 我 國 古 代 人 民 勤 勞 與 智 慧 的 結 晶 。 它 的 主 橋 是圓 弧 形 ,它 的 跨 度 (弧 所 對 的 弦 的 長 )為 37.4m,拱 高 (弧 的 中點 到 弦 的 距 離 )為 7.2m， 你 能 求 出 趙 州 橋 主 橋 拱 的 半 徑 嗎 ？O 實 踐 探 究 把 一 個 圓 沿 著 它 的 任 意 一 條 直 徑 對 折 ，重 復 幾 次 ， 你 發(fā) 現(xiàn) 了 什 么 ？ 由 此 你 能 得 到什 么

2、結 論 ？ OCD圓 有 無 數(shù) 條 直 徑 ， 所 以圓 有 無 數(shù) 條 對 稱 軸 如 圖 ， AB是 O的 一 條 弦 ， 做 直 徑 CD， 使 CD AB， 垂 足 為 E（ 1） 圖 形 是 軸 對 稱 圖 形 嗎 ？ 如 果 是 ， 它 的 對 稱 軸 是 什 么 ？（ 2） 你 能 發(fā) 現(xiàn) 圖 中 有 那 些 相 等 的 線 段 和 弧 ？ 為 什 么 ？ OA BC DE 活 動 二（ 1） 是 軸 對 稱 圖 形 直 徑 CD所 在 的直 線 是 它 的 對 稱 軸（ 2） 線 段 ： AE=BE弧 :AC=BC,AD=BD 把 圓 沿 著 直 徑 CD折 疊 時 ， CD

3、兩 側 的 兩 個半 圓 重 合 ， 點 A與 點 B重 合 ， AE與 BE重 合 ，AC , AD分 別 與 BC 、 BD重 合 OA BCDE垂 徑 定 理 ： 垂 直 于 弦 的 直 徑 平 分弦 ， 并 且 平 分 弦 所 對 的 兩 條 弧 平 分 弦 （ 不 是 直 徑 ） 的 直 徑 垂 直 于 弦 ， 并 且 平 分 弦所 對 的 兩 條 弧 即 直 徑 CD垂 直 于 弦 AB， 平 分 弦 AB,并 且 平 分 AB及 ACB “知 二 推 三 ” (1)垂 直 于 弦 (2)過 圓 心 (3)平 分 弦 (4)平 分 弦 所 對 的 優(yōu) 弧 (5)平 分 弦 所 對

4、的 劣 弧注 意 :當 具 備 了 (1)(3)時 ,應 對 另 一 條 弦 增 加 ” 不 是 直 徑 ” 的 限 制 . n 你 可 以 寫 出 相 應 的 命 題 嗎 ?n 相 信 自 己 是 最 棒 的 !垂 徑 定 理 的 推 論 如 圖 ,在 下 列 五 個 條 件 中 :只 要 具 備 其 中 兩 個 條 件 ,就 可 推 出 其 余 三 個 結 論 . OA BCDM CD是 直 徑 , AM=BM, CD AB, AC=BC, AD=BD. 垂 徑 定 理 及 推 論 OA BCDM條 件 結 論 命 題 垂 直 于 弦 的 直 徑 平 分 弦 ,并 且 平 分 弦 所 的

5、兩 條 弧 .平 分 弦 (不 是 直 徑 )的 直 徑 垂 直 于 弦 ,并 且 平 分 弦 所 對 的 兩 條 弧 .平 分 弦 所 對 的 一 條 弧 的 直 徑 ,垂 直 平 分 弦 ,并 且 平 分 弦 所 對 的另 一 條 弧 .弦 的 垂 直 平 分 線 經(jīng) 過 圓 心 ,并 且 平 分 這 條 弦 所 對 的 兩 條 弧 . 垂 直 于 弦 并 且 平 分 弦 所 對 的 一 條 弧 的 直 線 經(jīng) 過 圓 心 ,并 且 平分 弦 和 所 對 的 另 一 條 弧 .平 分 弦 并 且 平 分 弦 所 對 的 一 條 弧 的 直 線 經(jīng) 過 圓 心 ,垂 直 于 弦,并 且 平

6、分 弦 所 對 的 另 一 條 弧 .平 分 弦 所 對 的 兩 條 弧 的 直 線 經(jīng) 過 圓 心 ,并 且 垂 直 平 分 弦 . E O A B D C EA B C D E O A B D C O B AE E O A B C E O C D A B 練 習 在 下 列 圖 形 中 ， 你 能 否 利 用 垂 徑 定 理找 到 相 等 的 線 段 或 相 等 的 圓 弧 一 、 判 斷 是 非 ：（ 1） 平 分 弦 的 直 徑 ， 平 分 這 條 弦 所 對 的 弧 。（ 2） 平 分 弦 的 直 線 ， 必 定 過 圓 心 。（ 3） 一 條 直 線 平 分 弦 （ 這 條 弦 不

7、 是 直 徑 ） ， 那 么 這 條 直 線 垂 直 這 條 弦 。 A BC DO(1) A BC DO(2) A BC DO(3) (4)弦 的 垂 直 平 分 線 一 定 是 圓 的 直 徑 。（ 5） 平 分 弧 的 直 線 ， 平 分 這 條 弧 所 對 的 弦 。（ 6） 弦 垂 直 于 直 徑 ， 這 條 直 徑 就 被 弦 平 分 。 A BCO(4) ABC DO(5) A BCDO(6)E（ 7） 平 分 弦 的 直 徑 垂 直 于 弦 填 空 ：1、 如 圖 ： 已 知 AB是 O的 直 徑 ， 弦 CD與 AB相 交 于 點 E， 若_，則 CE=DE（ 只 需 填 寫

8、 一 個 你 認 為 適 當 的 條 件 ）2、 如 圖 ： 已 知 AB是 O的 弦 ， OB=4cm ， ABO=300， 則 O到 AB的 距 離 是 _cm ， AB=_cm .。OAE DC B 。 OA B第 1題 圖 第 2題 圖AB CD（ 或 AC=AD， 或 BC=BD）2 4H 選 擇 ：如 圖 ： 在 O中 ， AB為 直 徑 ， CD為 非 直 徑 的 弦 ， 對 于 （ 1）AB CD （ 2） AB平 分 CD （ 3） AB平 分 CD所 對 的 弧 。 若 以 其中 的 一 個 為 條 件 ， 另 兩 個 為 結 論 構 成 三 個 命 題 ， 其 中 真 命

9、 題 的個 數(shù) 為 （ ）A、 3 B、 2 C、 1 D、 0 。OC DBAA 例 題 1： 如 圖 在 O中 ， 弦 AB的 長 為 8cm， 圓 心 O到 AB的 距 離 為 3cm， 求 圓 0的 半 徑 。 OA B E A BCD過 點 O作 OC AB于 點 D,交 AB于 點 C,在 Rt ODA中 ， OA2=AD2+OD2即 R2=18.72+(R-7.2)2解 得 R 27.9 O用 AB表 示 主 拱 橋 , 設 AB所在 圓 的 圓 心 為 O,半 徑 為 Rm解 ： 則 D是 AB中 點 ， C是 AB的 中 點 ， CD就 是 拱 高12AD= AB=18.7,

10、OD=OC-CD=R-7.2如 圖 AB=37.4,CD=7.2答 ： 拱 高 所 在 圓 的 半 徑 是 27.9m。 OA BE變 形 2、 CE=8,DE=2,則 AB= 。 DC變 形 1、 AB=8,CD=10,則 圓 心 O到 AB的 距 離 是 。變 形 3、 CD=10,AB=8,則 DE= 。3 82若 CD為 圓 O的 直 徑 ， 弦 AB CD于 點 E, 垂 徑 定 理 的 應 用 構 建 直 角 三 角 形O A BCR d2a 半 弦 AC=半 徑 OA=R弦 心 距 OC=d2a 222 2adR ）（+=弓 高 為 h h=R d 如 圖 ， 兩 個 圓 都 以

11、 點 O為 圓 心 ，求 證 :AC=BD OA BC D 布 置 作 業(yè) ：練 習 冊 ： 思 考 題 在 ABC中 ， C=900， AC=12， BC=16，以 C為 圓 心 ， AC為 半 徑 的 圓 交 斜 邊 AB于 D，求 AD的 長 。 C BDA 變 形 4、 若 O的 直 徑 為 10，弦 AB=8， E是 AB上 任 意 一 動點 ,則 OE的 最 小 值 是 。 OA B3變 形 5、 線 段 OE長 的 取 值 范 圍 的是 。3OM5 2 如 圖 ， 在 O中 ， AB、 AC為 互 相 垂 直 且 相 等 的兩 條 弦 ， OD AB于 D， OE AC于 E， 求 證 四 邊 形ADOE是 正 方 形 DOA BCE證 明 ： OE AC OD AB AB AC 90 90 90OEA EAD ODA = = = 四 邊 形 ADOE為 矩 形 ，又 AC=AB1 1 2 2AE AC AD AB= =， AE=AD 四 邊 形 ADOE為 正 方 形 . OE AC OD AB 變 形 5、 半 徑 為 5的 O內 有 一 點 P,且OP=3,則 過 點 P的 最 短 的 弦 長 是 ，最 長 的 弦 長 是 。 OA B810