《2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題10 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用(含解析).doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題10 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用(含解析).doc(15頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題10 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用(含解析)
一、選擇題
1.(文)(xx新課標(biāo)Ⅱ文,5)設(shè)Sn是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若a1+a3+a5=3,則S5=( )
A.5 B.7
C.9 D.11
[答案] A
[解析] 考查等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式.
a1+a3+a5=3a3=3?a3=1,S5==5a3=5.故選A.
(理)(xx新課標(biāo)Ⅰ文,7)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若S8=4S4,則a10=( )
A. B.
C.10 D.12
[答案] B
[解析] 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式.
由題可知:等差數(shù)列{an}的公差d=1,因?yàn)榈炔顢?shù)列Sn=a1n+,且S8=4S4,代入計(jì)算可得a1=;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d,則
a10=+(10-1)1=.
故本題正確答案為B.
[方法點(diǎn)撥] 數(shù)列求和的類型及方法技巧
(1)公式法:直接應(yīng)用等差、等比數(shù)列的求和公式求和.
(2)錯(cuò)位相減法
這種方法主要用于求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和,其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.
(3)倒序相加法
這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,也就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序),當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有公因式可提,并且剩余項(xiàng)的和易于求得,則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和.
(4)裂項(xiàng)相消法
利用通項(xiàng)變形,將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的差,通過(guò)相加過(guò)程中的相互抵消,最后只剩下有限項(xiàng)的和.
(5)分組轉(zhuǎn)化求和法
有些數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形,可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列,可先分別求和,然后再合并.
2.(文)設(shè){an}是等比數(shù)列,函數(shù)y=x2-x-xx的兩個(gè)零點(diǎn)是a2、a3,則a1a4=( )
A.xx B.1
C.-1 D.-xx
[答案] D
[解析] 由條件得,a1a4=a2a3=-xx.
(理)已知數(shù)列{an}滿足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=.若函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2,記yn=f(an),則數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為( )
A.0 B.-9
C.9 D.1
[答案] C
[解析] 據(jù)已知得2an+1=an+an+2,即數(shù)列{an}為等差數(shù)列,又f(x)=sin2x+2=sin2x+1+cosx,因?yàn)閍1+a9=a2+a8=…=2a5=π,故cosa1+cosa9=cosa2+cosa8=…=cosa5=0,又2a1+2a9=2a2+2a8=…=4a5=2π,故sin2a1+sin2a9=sin2a2+sin2a8=…=sin2a5=0,故數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)之和為9,故選C.
3.(xx遼寧協(xié)作聯(lián)校三模)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=xxsin,則a1+a2+…+axx=( )
A.xx B.xx
C.xx D.xx
[答案] C
[解析] 數(shù)列{an}的周期為4,且a1+a2+a3+a4=xx(sin+sinπ+sin+sin2π)=0,
又∵xx=4503+2,
∴a1+a2+…+axx=a1+a2=xxsin+xxsinπ
=xx.
4.(文)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=+f(x)(x∈R),且f(1)=,則數(shù)列{f(n)}(n∈N*)前20項(xiàng)的和為( )
A.305 B.315
C.325 D.335
[答案] D
[解析] ∵f(1)=,f(2)=+,
f(3)=++,…,
f(n)=+f(n-1),
∴{f(n)}是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.
∴S20=20+=335.
(理)設(shè)y=f(x)是一次函數(shù),若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( )
A.n(2n+3) B.n(n+4)
C.2n(2n+3) D.2n(n+4)
[答案] A
[解析] 設(shè)f(x)=kx+1(k≠0),則(4k+1)2=(k+1)(13k+1)?k=2,
f(2)+f(4)+…+f(2n)=(22+1)+(24+1)+(261)+…+(22n+1)=2n2+3n.
[方法點(diǎn)撥] 解決數(shù)列與函數(shù)知識(shí)結(jié)合的題目時(shí),要明確數(shù)列是特殊的函數(shù),它的圖象是群孤立的點(diǎn),注意函數(shù)的定義域等限制條件,準(zhǔn)確的進(jìn)行條件的轉(zhuǎn)化,數(shù)列與三角函數(shù)交匯時(shí),數(shù)列通常作為條件出現(xiàn),去除數(shù)列外衣后,本質(zhì)是三角問(wèn)題.
5.(文)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且每一項(xiàng)都是正數(shù),若a1、a49是2x2-7x+6=0的兩個(gè)根,則a1a2a25a48a49的值為( )
A. B.9
C.9 D.35
[答案] B
[解析] ∵{an}是等比數(shù)列,且a1,a49是方程2x2-7x+6=0的兩根,
∴a1a49=a=3.而an>0,∴a25=.
∴a1a2a25a48a49=a=()5=9,故選B.
(理)(xx江西質(zhì)檢)如果數(shù)列{an}中,相鄰兩項(xiàng)an和an+1是二次方程x+2nxn+cn=0(n=1,2,3,…)的兩個(gè)根,當(dāng)a1=2時(shí),c100的值為( )
A.-9984 B.9984
C.9996 D.-9996
[答案] C
[解析] 由根與系數(shù)關(guān)系,an+an+1=-2n,則(an+1+an+2)-(an+an+1)=-2.
即an+2-an=-2,∴a1,a3,a5,…和a2,a4,a6,…都是公差為-2的等差數(shù)列,∵a1=2,a1+a2=-2,∴a2=-4,即a2k=-2k-2,∴a100=-102,a2k-1=-2k+4,∴a101=-98.
∴c100=a100a101=9996.
6.等差數(shù)列{an}中,a1>0,公差d<0,Sn為其前n項(xiàng)和,對(duì)任意自然數(shù)n,若點(diǎn)(n,Sn)在以下4條曲線中的某一條上,則這條曲線應(yīng)是( )
[答案] C
[解析] ∵Sn=na1+d,∴Sn=n2+(a1-)n,又a1>0,公差d<0,所以點(diǎn)(n,Sn)所在拋物線開口向下,對(duì)稱軸在y軸右側(cè).
[點(diǎn)評(píng)] 可取特殊數(shù)列驗(yàn)證排除,如an=3-n.
7.(xx南昌市一模)已知無(wú)窮數(shù)列{an},如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(無(wú)論多小),總存在正整數(shù)N,使得n>N時(shí),恒有|an-A|<ε成立,就稱數(shù)列{an}的極限為A,則四個(gè)無(wú)窮數(shù)列:
①{(-1)n2};②{n};
③;④{},其極限為2的共有( )
A.4個(gè) B.3個(gè)
C.2個(gè) D.1個(gè)
[答案] C
[解析] 對(duì)于①,|an-2|=|(-1)n2-2|=2|(-1)n-1|,當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),|an-2|=0,當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),|an-2|=4,所以不符合數(shù)列{an}的極限的定義,即2不是數(shù)列{(-1)n2}的極限;對(duì)于②,由|an-2|=|n-2|<ε,得2-ε
N時(shí),恒有|an-2|<ε,即2不是數(shù)列{n}的極限;對(duì)于③,由|an-2|=|1++++…+-2|==<ε,得n>1-log2ε,即對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(無(wú)論多小),總存在正整數(shù)N,使得n>N時(shí),恒有|an-2|<ε成立,所以2是數(shù)列的極限;對(duì)于④,由|an-2|==<ε,得n>,即對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(無(wú)論多小),總存在正整數(shù)N,使得n>N時(shí),恒有|an-2|<ε成立,所以2是數(shù)列的極限.綜上所述,極限為2的共有2個(gè),即③④.
二、填空題
8.(文)若數(shù)列{an}滿足-=d(n∈N*,d為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為“調(diào)和數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)列{}為“調(diào)和數(shù)列”,且b1+b2+…+b9=90,則b4b6的最大值是________.
[答案] 100
[解析] 由調(diào)和數(shù)列的定義知{bn}為等差數(shù)列,由b1+b2+…+b9=9b5=90知b5=10,
∵bn>0,∴b4b6≤()2=b=100.
(理)(xx河南十所名校聯(lián)考)對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列{an},如果ai+i(i=1,2,3,…)為完全平方數(shù),則稱數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”,不論數(shù)列{an}是否具有“P性質(zhì)”,如果存在與{an}不是同一數(shù)列的{bn},且{bn}同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件:①b1,b2,b3,…,bn是a1,a2,a3,…,an的一個(gè)排列;②數(shù)列{bn}具有“P性質(zhì)”,則稱數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”,下面三個(gè)數(shù)列:①數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=(n2-1);②數(shù)列1,2,3,4,5;③數(shù)列1,2,3,…,11.其中具有“P性質(zhì)”或“變換P性質(zhì)”的有________(填序號(hào)).
[答案] ①②
[解析] Sn=(n2-1),Sn-1=[(n-1)2-1](n≥2),∴an=Sn-Sn-1=(n-1)(n+1)-(n2-2n)=(n-1)(n+1-n+2)=n(n-1)(n≥2),又a1=S1=0,∴a1+1=1=12,a2+2=4=22,a3+3=9=32,…,an+n=n2,∴數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”;數(shù)列1,2,3,4,5排為3,2,1,5,4,則a1+1=4=22,a2+2=4=22,a3+3=4=22,a4+4=9=32,a5+5=9=32,∴數(shù)列1,2,3,4,5具有“變換P性質(zhì)”,同理可驗(yàn)證數(shù)列1,2,3,…,11不具有“P性質(zhì)”和“變換P性質(zhì)”.
[方法點(diǎn)撥] 脫去新定義的外衣,將問(wèn)題化為基本數(shù)學(xué)模型,用相應(yīng)的知識(shí)方法解答是解決此類問(wèn)題的基本方法.
9.(xx安徽文,13)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于________.
[答案] 27
[解析] 考查1.等差數(shù)列的定義;2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.
∵n≥2時(shí),an=an-1+,且a1=1,
∴{an}是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.
∴S9=91+=9+18=27.
10.已知向量a=(2,-n),b=(Sn,n+1),n∈N*,其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a⊥b,則數(shù)列{}的最大項(xiàng)的值為________.
[答案]
[解析] ∵a⊥b,∴ab=2Sn-n(n+1)=0,
∴Sn=,∴an=n,
∴==,當(dāng)n=2時(shí),n+取最小值4,此時(shí)取到最大值.
三、解答題
11.(文)(xx云南省檢測(cè))已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,S18S9=78.
(1)求證:S3,S9,S6依次成等差數(shù)列;
(2)a7與a10的等差中項(xiàng)是否是數(shù)列{an}中的項(xiàng)?如果是,是{an}中的第幾項(xiàng)?如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
[解析] (1)證明:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,若q=1,則S18=18a1,S9=9a1,
S18S9=21≠78.
∴q≠1.
∴S18=(1-q18),S9=(1-q9),S18S9=1+q9.
∴1+q9=,解得q=-2-.
∴S3==,S6=
=.
S9=(1-q9)=.
∵S9-S3=-,S6-S9=-,
∴S9-S3=S3-S9.
∴S3,S9,S6依次成等差數(shù)列.
(2)a7與a10的等差中項(xiàng)等于==.
設(shè)a7與a10的等差中項(xiàng)是數(shù)列{an}中的第n項(xiàng),則
a1(-2-)n-1=,
化簡(jiǎn)得(-2)-=(-2)-4,則-=-4,解得n=13.
∴a7與a10的等差中項(xiàng)是數(shù)列{an}中的第13項(xiàng).
(理)(xx唐山一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)≠0.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若S3,S9,S6成等差數(shù)列,求證:a2,a8,a5成等差數(shù)列.
[解析] (1)當(dāng)n=1時(shí),由(1-q)S1+qa1=1,∴a1=1,
當(dāng)n≥2時(shí),由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,兩式相減得
(1-q)an+q(an-an-1)=0,
∴an=qan-1,∵a1=1,q(q-1)≠0,∴an=qn-1,
綜上an=qn-1.
(2)由(1)可知=q,所以{an}是以1為首項(xiàng),q為公比的等比數(shù)列.
所以Sn=,又S3+S6=2S9,得+=,
化簡(jiǎn)得a3+a6=2a9,兩邊同除以q得a2+a5=2a8.
故a2,a8,a5成等差數(shù)列.
[方法點(diǎn)撥] 1.在處理數(shù)列求和問(wèn)題時(shí),一定要先讀懂題意,分清題型,區(qū)分等差數(shù)列與等比數(shù)列,不是基本數(shù)列模型的注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想化歸為等差、等比數(shù)列,在利用分組求和時(shí),要特別注意項(xiàng)數(shù).
2.在處理等差與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題時(shí),先要看所給數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,再依據(jù)條件建立方程求解.
12.(文)已知函數(shù)f(x)在(-1,1)上有定義,f=-1,且滿足對(duì)任意x、y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f,數(shù)列{xn}中,x1=,xn+1=.
(1)證明:f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù);
(2)求數(shù)列{f(xn)}的通項(xiàng)公式;
(3)求證:++…+>-.
[分析] (1)要證f(x)為奇函數(shù),只需證明f(-x)+f(x)=0,只需在條件式中令y=-x,為了求f(0),令x=y(tǒng)=0即可獲解.
(2)利用f(x)+f(y)=f()可找出f(xn+1)與f(xn)的遞推關(guān)系,從而求得通項(xiàng).
(3)由f(xn)的通項(xiàng)公式確定數(shù)列{}的求和方法,求和后利用放縮法可證明.
[解析] (1)證明:令x=y(tǒng)=0,∴2f(0)=f(0),
∴f(0)=0.
令y=-x,則f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù).
(2)f(x1)=f=-1,
f(xn+1)=f=f=2f(xn),
∴=2,即{f(xn)}是以-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴f(xn)=-2n-1.
(3)++…+
=-
=-=-=-2+>-2,
而-=-=-2-<-2.
∴++…+>-.
(理)在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n,點(diǎn)Pn均位于一次函數(shù)y=x+的圖象上,且Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成以-為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列{xn}.
(1)求點(diǎn)Pn的坐標(biāo);
(2)設(shè)二次函數(shù)fn(x)的圖象Cn以Pn為頂點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)Dn(0,n2+1),若過(guò)Dn且斜率為kn的直線ln與Cn只有一個(gè)公共點(diǎn),求Tn=++…+的表達(dá)式;
(3)設(shè)S={x|x=2xn,n為正整數(shù)},T={y|y=12yn,n為正整數(shù)},等差數(shù)列{an}中的任一項(xiàng)an∈(S∩T),且a1是S∩T中最大的數(shù),-2250,q>0,所以b1=1,
因?yàn)閎3和b5的等差中項(xiàng)是2a3,且2a3=10,所以b3+b5=20,
所以q2+q4=20,解得q=2,所以bn=2n-1.
(2)由于cn=anbn,所以Tn=a1b1+a2b2+…+anbn.
Tn=1+32+522+…+(2n-1)2n-1?、?
2Tn=2+322+523+…+(2n-1)2n?、?
所以-Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)2n
=1+2-(2n-1)2n
=-3+22n-(2n-1)2n=-3+(3-2n)2n,
Tn=3+(2n-3)2n.
14.(文)政府決定用“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”對(duì)企業(yè)進(jìn)行評(píng)價(jià),用an表示某企業(yè)第n年投入的治理污染的環(huán)保費(fèi)用,用bn表示該企業(yè)第n年的產(chǎn)值.設(shè)a1=a(萬(wàn)元),且以后治理污染的環(huán)保費(fèi)用每年都比上一年增加2a萬(wàn)元;又設(shè)b1=b(萬(wàn)元),且企業(yè)的產(chǎn)值每年比上一年的平均增長(zhǎng)率為10%.用Pn=表示企業(yè)第n年“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”.
(1)求該企業(yè)第一年和第二年的“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”;
(2)試問(wèn)從第幾年起該企業(yè)“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”不低于20%?
[解析] (1)∵a1=a,b1=b,Pn=,
∴P1==1%,
P2===3.3%.
故該企業(yè)第一年和第二年的“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”分別為1%和3.3%.
(2)由題意,得數(shù)列{an}是以a為首項(xiàng),以2a為公差的等差數(shù)列,數(shù)列bn是以b為首項(xiàng),以1.1為公比的等比數(shù)列,
∴an=a1+(n-1)d=a+(n-1)2a=(2n-1)a,
bn=b1(1+10%)n-1=1.1n-1b.
又∵Pn=,
∴Pn=
=.
∵=1.1=1.1>1,
∴Pn+1>Pn,即Pn=單調(diào)遞增.
又∵P6=≈17.72%<20%,
P7=≈23.03%>20%.
故從第七年起該企業(yè)“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”不低于20%.
(理)甲、乙兩大超市同時(shí)開業(yè),第一年的全年銷售額都為a萬(wàn)元,由于經(jīng)營(yíng)方式不同,甲超市前n年的總銷售額為(n2-n+2)萬(wàn)元,乙超市第n年的銷售額比前一年的銷售額多()n-1a萬(wàn)元.
(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達(dá)式;
(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另一超市收購(gòu),判斷哪一超市有可能被收購(gòu)?如果有這種情況,將會(huì)出現(xiàn)在第幾年.
[解析] (1)設(shè)甲、乙兩超市第n年銷售額分別為an、bn,
又設(shè)甲超市前n年總銷售額為Sn,則Sn=(n2-n+2)(n≥2),因n=1時(shí),a1=a,
則n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2-n+2)-[(n-1)2-(n-1)+2]=a(n-1),
故an=
又因b1=a,n≥2時(shí),bn-bn-1=()n-1a,
故bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=a+a+()2a+…+()n-1a
=[1++()2+…+()n-1]a
=a=[3-2()n-1]a,
顯然n=1也適合,故bn=[3-2()n-1]a(n∈N*)
(2)當(dāng)n=2時(shí),a2=a,b2=a,有a2>b2;
n=3時(shí),a3=2a,b3=a,有a3>b3;
當(dāng)n≥4時(shí),an≥3a,而bn<3a,故乙超市有可能被收購(gòu).
當(dāng)n≥4時(shí),令an>bn,
則(n-1)a>[3-2()n-1]a?n-1>6-4()n-1,
即n>7-4()n-1.
又當(dāng)n≥7時(shí),0<4()n-1<1,
故當(dāng)n∈N*且n≥7時(shí),必有n>7-4()n-1.
即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半,乙超市將被甲超市收購(gòu).
[方法點(diǎn)撥] 1.用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型,弄清所構(gòu)造的數(shù)列的首項(xiàng)是什么,項(xiàng)數(shù)是多少,然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問(wèn)題.求解時(shí),要明確目標(biāo),即搞清是求和,還是求通項(xiàng),還是解遞推關(guān)系問(wèn)題,所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是一個(gè)解方程問(wèn)題,還是解不等式問(wèn)題,還是一個(gè)最值問(wèn)題,然后進(jìn)行合理推算,得出實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.
2.?dāng)?shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題一般文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng),反映的事物背景陌生,知識(shí)涉及面廣,因此要解好應(yīng)用題,首先應(yīng)當(dāng)提高閱讀理解能力,將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言或數(shù)學(xué)符號(hào),實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,然后再用數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理予以解決.
3.正確區(qū)分等差與等比數(shù)列模型,正確區(qū)分實(shí)際問(wèn)題中的量是通項(xiàng)還是前n項(xiàng)和.
15.(文)定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=A,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求Tn關(guān)于n的表達(dá)式;
(3)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和Sn,并求使Sn>xx成立的n的最小值.
[解析] (1)證明:由題意得an+1=2a+2an,
∴2an+1+1=4a+4an+1=(2an+1)2.
所以數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”.
令cn=2an+1,所以lgcn+1=2lgcn.
因?yàn)閘g(2a1+1)=lg5≠0,
所以=2.
所以數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)由(1)知lg(2an+1)=(lg5)2n-1,
∴2an+1=10(lg5)2n-1=52n-1,
∴Tn=520521522…52n-1=520+21+…+2n-1=52n-1.
(3)∵bn=log2an+1Tn==2-()n-1,
∴Sn=b1+b2+…+bn=2n-
=2n-2+,
由2n-2=xx得n=1007,
∴S1006=21006-2+∈(xx,xx),S1007=21007-2+∈(xx,xx).
故使Sn>xx成立的n的最小值為1007.
(理)已知曲線C:xy=1,過(guò)C上一點(diǎn)An(xn,yn)作一斜率為kn=-的直線交曲線C于另一點(diǎn)An+1(xn+1,yn+1),點(diǎn)列{An}的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn},其中x1=.
(1)求xn與xn+1的關(guān)系式;
(2)令bn=+,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(3)若cn=3n-λbn(λ為非零整數(shù),n∈N*),試確定λ的值,使得對(duì)任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.
[分析] (1)由直線方程點(diǎn)斜式建立xn與yn關(guān)系,而(xn,yn)在曲線xy=1上,有xnyn=1,消去yn得xn與xn+1的關(guān)系;(2)由定義證為常數(shù);(3)轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題解決.
[解析] (1)過(guò)點(diǎn)An(xn,yn)的直線方程為y-yn=-(x-xn),
聯(lián)立方程,消去y得
x2-x+1=0.
解得x=xn或x=.
由題設(shè)條件知xn+1=.
(2)證明:=
====-2.
∵b1=+=-2≠0,∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
(3)由(2)知,bn=(-2)n,要使cn+1>cn恒成立,由cn+1-cn=[3n+1-λ(-2)n+1]-[3n-λ(-2)n]=23n+3λ(-2)n>0恒成立,
即(-1)nλ>-n-1恒成立.
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),即λ-n-1恒成立,
又-n-1的最大值為-,∴λ>-,
即-<λ<1.又λ為非零整數(shù),
∴λ=-1,使得對(duì)任意n∈N*,都有cn+1>cn.
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