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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進提升系列 專題06 數(shù)列的通項公式(含解析).doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進提升系列 專題06 數(shù)列的通項公式(含解析).doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進提升系列 專題06 數(shù)列的通項公式(含解析)【背一背重點知識】1.求數(shù)列的通項公式,要注意多觀察、多試驗,大膽猜想,小心論證.2.已知求的問題,要特別注意的情況.3.求數(shù)列的通項公式,常見的有六種類型:(1)已知數(shù)列的前項,求其通項公式.常用方法:觀察分析法、逐差法、待定系數(shù)法等,根據(jù)數(shù)列前幾項,觀察規(guī)律,歸納出數(shù)列通項公式是一項重要能力.(2)已知數(shù)列前項和,或前項和與的關(guān)系,求通項可利用.(3)已知遞推式求通項,這類問題要求不高,主要掌握“先猜后證”“化歸法”“累加法”等.(4)型,求問題,其關(guān)鍵是確定待定系數(shù),使.(5)型,求問題,可用方法.(6)型,求問題,可用方法.【講一講提高技能】1. 必備技能:由和遞推關(guān)系求通項公式,可觀察其特點,一般常用“化歸法”、“累加法”、“累乘法”等.對于形如“”型的遞推關(guān)系式求通項公式,只要可求和,便可利用累加法;對于形如“”型的遞推關(guān)系式求通項公式,只要可求積,便可利用累積或迭代法;對于形如“”型遞推關(guān)系求通項公式,可用迭代或構(gòu)造等比數(shù)列法.2. 典型例題:例1若數(shù)列的前n項和為,則數(shù)列的通項公式是=_.分析:此題難度不大,符合求數(shù)列通項公式中的第(2)種類型,要注意檢驗時是否也成立,否則就只能用分段函數(shù)來表示. 當時,所以,即;當時,所以,因此數(shù)列是以首項為1,公差為的等比數(shù)列,故所求數(shù)列的通項公式為.【解析】例2在數(shù)列中,若前n項和滿足,則該數(shù)列的通項公式【答案】【解析】試題分析:時,當時,所以數(shù)列為等比數(shù)列,公比【練一練提升能力】1. 已知等比數(shù)列滿足:公比,數(shù)列的前項和為,且()(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項和;(2)設(shè),證明:【答案】(1),(2)詳見解析【解析】 2. 已知數(shù)列的前項和為,且滿足(1)求數(shù)列的通項公式(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:【答案】(1);(2)詳見解析【解析】試題分析:(1)利用,即可求出結(jié)果;(2)因為,再利用不等式放縮,可得,再采用裂項相消即可求出結(jié)果等差數(shù)列的性質(zhì)【背一背重點知識】1.若、,且,為等差數(shù)列,則.2.在等差數(shù)列中,仍為等數(shù)列,公差為.3.若為等差數(shù)列,則仍為等數(shù)列,公差為.4.等差數(shù)列的增減性:時為遞增數(shù)列,且當時前項和有最小值;時為遞減數(shù)列,且當時前項和有最大值.5.若等數(shù)列的前項之和可以寫成,則,當時它表示二次函數(shù),數(shù)列的前項和是成等差數(shù)列的充要條件.6.設(shè)分別是等數(shù)列中所有奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和,則有當數(shù)列項數(shù)為時,有;當數(shù)列項數(shù)為時,有,.【講一講提高技能】1.必備技能:等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項公式以及前項和公式等基礎(chǔ)知識的推廣與變形,熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題。應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵是尋找項數(shù)之間的關(guān)系.2.典型例題:例1在等差數(shù)列中,公差為,前項和為,當且僅當時取最大值,則的取值范圍_.分析:此題主要考查的是等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列前項和公式,難度不大可由題意確定得到,從而得到公差的不等式組,求出的范圍.【解析】由題意得:,所以,即例2設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,則( )A63 B45 C43 D27【答案】B【解析】試題分析:由題意,得,解得,則45,故選B【練一練提升能力】1. 已知,是、的等差中項,正數(shù)是、的等比中項,那么、從小到大的順序關(guān)系是( )A B C D【答案】B【解析】 2. 已知,若,則的表達式為_.【答案】【解析】試題分析:,即,當且僅當時取等號當時,當時,即數(shù)列是以為首項,以1為公差的等差數(shù)列當時,等比數(shù)列的性質(zhì)【背一背重點知識】1.通項公式的推廣:.2.對于任意正整數(shù),只要滿足,則有.3.若(項數(shù)相同),是等比數(shù)列,則仍是等比數(shù)列.4.三個數(shù)成等比數(shù)列且積一定,通常設(shè)這三個數(shù)為比較方便.5.為等比數(shù)列的前和,則滿足,但不一定成等比數(shù)列.【講一講提高技能】1必備技能:等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差”,它們的通項公式和性質(zhì)有許多相似之處,其中等差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“冪”相類比關(guān)注它們之間的異同有助于我們從整體上把握它們,同時也有利于類比思想的推廣對于等差數(shù)列項的和或等比數(shù)列項的積的運算,若能關(guān)注通項公式的下標的大小關(guān)系,可以簡化題目的運算2典型例題:例1在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,則等于( )A5 B6 C7 D8【答案】C【解析】例2已知數(shù)列滿足=1,.()證明是等比數(shù)列,并求的通項公式;()證明:.分析:本題第()問,證明等比數(shù)列,可利用等比數(shù)列的定義來證明,之后利用等比數(shù)列,求出其通項公式;對第()問,可先由第()問求出,然后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和,放縮法證明不等式.【解析】()證明:由得,所以,所以是等比數(shù)列,首項為,公比為3,所以,解得.()由()知:,所以,因為當時,所以,于是=,所以.【練一練提升能力】1. 項數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列,所有奇數(shù)項的和為255,所有偶數(shù)項的和為-126,末項是192,則首項( )A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】 2.設(shè)是公比為q的等比數(shù)列. () 求的前n項和公式; () 設(shè)q1, 證明數(shù)列不是等比數(shù)列.【答案】() 分兩種情況討論. 當時,數(shù)列是首項為的常數(shù)列,所以.當時,上面兩式錯位相減: . 綜上,得 () 使用反證法. 設(shè)是公比q1的等比數(shù)列, 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列.則 當,使得成立,則不是等比數(shù)列. 當,使得成立,則恒為常數(shù)當時,.這與題目條件q1矛盾. 綜上兩種情況,假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列均不成立,所以當q1時, 數(shù)列不是等比數(shù)列.【解析】數(shù)列求和【背一背重點知識】非等差、等比數(shù)列求和的常用方法:1.倒序相加法:如果一個數(shù)列,首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數(shù),那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前前項和即是用此類法推導(dǎo)的2.分組轉(zhuǎn)化求和法:若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法,分別求和而后相加減3.錯位相減法:如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的,那么這個數(shù)列的前項和即可用此法來求,如等比數(shù)列的前項和就是用此法推導(dǎo)的4.裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和【講一講提高技能】1必備技能:數(shù)列求和的方法:(1)一般的數(shù)列求和,應(yīng)從通項入手,若無通項,先求通項,然后通過對通項變形,轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點的形式,從而選擇合適的方法求和;(2)解決非等差、等比數(shù)列的求和,主要有兩種思路:轉(zhuǎn)化的思想,即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列,往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和2典型例題:例1已知數(shù)列是首項為的等比數(shù)列,其前項和為,且,則數(shù)列的前5項和為 A或 B或 C D【答案】D【解析】試題分析:由可知公比 ,數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,首項為1,所以例2若等差數(shù)列滿足,則當 時,的前項和最大.分析:此題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前項和公式的應(yīng)用,難度不大由已知,可得,進一步得到,得出結(jié)論.【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì),又因為,所以所以,所以,故數(shù)列的前8項最大.【練一練提升能力】1.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,是的前項和,若是方程的兩個根,則_.【答案】63【解析】 2. 已知公差不為零的等差數(shù)列中,且成等比數(shù)列()求數(shù)列的通項公式;()令(),求數(shù)列的前項和【答案】();()【解析】(一) 選擇題(12*5=60分)1.設(shè)是等差數(shù)列的前項和,若,則( )A5 B7 C9 D11【答案】A【解析】試題分析:因為是等差數(shù)列,所以,故選A2.設(shè)首項為,公比為的等比數(shù)列的前項和為,則()ABCD【答案】D 3.等差數(shù)列中,則的前8項和為( )A B C D【答案】B【解析】試題分析:設(shè)等差數(shù)列的等差中項為,又所以得,所以,所以,故選B4.設(shè)是公差為d(d0)的無窮等差數(shù)列an的前n項和,則下列命題錯誤的是()A.若d0,則數(shù)列Sn有最大項B.若數(shù)列Sn有最大項,則d0C.若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列,則對任意,均有D.若對任意,均有,則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列【答案】C【解析】選項C顯然是錯的,舉出反例:1,0,1,2,3,滿足數(shù)列S n是遞增數(shù)列,但是S n0不成立故選C5. 在等差數(shù)列中,,則( ) 【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題設(shè)知,所以,所以,.故選B. 6.設(shè)等差數(shù)列滿足,;則數(shù)列的前項和中使得取的最大值的序號為( )A4 B5 C6 D7【答案】B【解析】 7.在等差數(shù)列中,則數(shù)列的前11項和( )A24 B48 C66 D132【答案】D【解析】試題分析:由已知得,化簡得:,即,所以故選D8.設(shè)函數(shù),是公差為的等差數(shù)列,則( )A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】,即,而是公差為的等差數(shù)列,代入,即,不是的倍數(shù),.,故選D.9.定義在上的函數(shù),如果對于任意給定的等比數(shù)列, 仍是等比數(shù)列,則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù):; ; ; .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 ()A B C D 【答案】C【解析】 10.等差數(shù)列an中,,則數(shù)列an的公差為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由等差中項的性質(zhì)知,又.故選B.11.已知等比數(shù)列中,公比,若,則有( )A最小值-4 B最大值-4 C最小值12 D最大值12【答案】B【解析】試題分析:由題意,因為,所以(時取等號),所以,最大值為4故選B12.已知等差數(shù)列中,公差;是數(shù)列的前n項和,則( )A B C D【答案】D【解析】試題分析:因為在等差數(shù)列中,公差,所以,則,所以;故選D(二) 填空題(4*5=20分)13.數(shù)列中,(,),則 【答案】【解析】 14. 若等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且,則 .【答案】.【解析】由題意知,所以,因此,因此.15. 設(shè)函數(shù)是公差為的等差數(shù)列,則_【答案】【解析】 16. 如圖,在等腰直角三角形中,斜邊,過點作的垂線,垂足為;過點作的垂線,垂足為;過點作的垂線,垂足為;,以此類推,設(shè),則_.【答案】【解析】試題分析:由題意,所以是以首項,公比的等比數(shù)列,則.

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