2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十五 統(tǒng)計(jì)（含解析）.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十五 統(tǒng)計(jì)（含解析）重點(diǎn)1 抽樣方法1. 隨機(jī)抽樣的方法 (1)簡單隨機(jī)抽樣的方法有：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法 抽簽法的步驟：將總體中的個(gè)體隨機(jī)編號(hào)，并把號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上；將這些號(hào)簽放在同一個(gè)容器里，均勻攪拌；每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取，獲取樣本號(hào)碼.隨機(jī)數(shù)表法的步驟：將總體中的個(gè)體隨機(jī)編號(hào)；在隨機(jī)數(shù)表中選擇開始的數(shù)字；獲取樣本號(hào)碼(2)系統(tǒng)抽樣的步驟：將總體中的個(gè)體隨機(jī)編號(hào)；將編號(hào)分段；在第1段中用簡單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)；按照事先研究的規(guī)則抽取樣本 (3)分層抽樣的步驟：分層；按比例確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)；各層抽樣（方法可以不同）；匯合成樣本2三種抽樣方法的比較類別共同點(diǎn)特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等；每次抽出個(gè)體后不再放回，即不放回抽樣從總體中逐個(gè)抽取總體個(gè)數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按預(yù)先制定的規(guī)則在各部分中抽取在起始部分取樣時(shí)，采用簡單隨機(jī)抽樣總體個(gè)數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，按各層個(gè)體數(shù)之比抽取各層抽樣時(shí)，采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成高考?？冀嵌冉嵌?一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，若用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為_.解析：設(shè)抽取男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為，則，解之得.或者: 角度2將參加夏令營的600名學(xué)生編號(hào)為：001，002，600，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003這600名學(xué)生分住在三個(gè)營區(qū)，從001到300在第營區(qū)，從301到495住在第營區(qū)，從496到600在第營區(qū)，三個(gè)營區(qū)被抽中的人數(shù)一次為（ ）A26, 16, 8, B25，17，8 C25，16，9 D24，17，9解析：依題意可知，在隨機(jī)抽樣中，首次抽到003號(hào)，以后每隔12個(gè)號(hào)抽到一個(gè)人，則分別是003、015、027、039構(gòu)成以3為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列，故可分別求出在001到300中有25人，在301至495號(hào)中共有17人，則496到600中有8人， 故選B。 重點(diǎn)2 用樣本估計(jì)總體1頻率分布圖（表）、頻率分布直方圖和總體密度曲線的繪制與應(yīng)用 (1)頻數(shù)分布圖（表）能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù)；而頻率分布直方圖（表）則是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律，它可以使我們看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布 (2)作頻率分布直方圖的步驟： 求極差，即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差決定組距與組數(shù)將數(shù)據(jù)分組時(shí)，組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來這時(shí)應(yīng)注意：a一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多；b為方便起見，組距的選擇應(yīng)力求“取整”；c當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，通常分成512組 將數(shù)據(jù)分組計(jì)算各小組的頻率，作頻率分布表（） 畫頻率分布直方圖 (3)總體密度曲線是頻率分布折線的一條極限曲線隨著樣本容量不斷增加，分組不斷加密，頻率分布折線就會(huì)越來越光滑，最終形成總體密度曲線，總體密度，曲線反映的是總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比實(shí)際上，盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但只能用樣本的頻率分布對(duì)它估計(jì)，一般來說，樣本容量越大，這種估計(jì)就越準(zhǔn)確 (4)幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點(diǎn)和不足： 頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì)不太方便 頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了 頻率分布折線圖的優(yōu)點(diǎn)是反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷減小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線 2莖葉圖的應(yīng)用 (1)莖葉圖：當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此，通常把這樣表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖 (2)莖葉圖的特征： 用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，方便記錄與表示， 莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組數(shù)據(jù)，兩組以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩組數(shù)據(jù)那么直觀、清晰 莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況 (3)注意莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù) 在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便了 3用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體 (1)注意以下幾點(diǎn)： 各數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)：眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體數(shù)字特征；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也成為缺點(diǎn)，因?yàn)檫@些極端值有時(shí)是不能忽視的 由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)都有關(guān)，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)不具有的性質(zhì)也正是這個(gè)原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低， 標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小 標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍為，標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本中各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)，數(shù)據(jù)沒有離散性 因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差 (2)標(biāo)準(zhǔn)差和方差的關(guān)系及計(jì)算 標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差，即 高考常考角度角度1 樣本中共有5個(gè)個(gè)體，其值分別為.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為（ ）A. B. C. D. 解析：由題意知，解得，故樣本方差為,故選D.角度2某小學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖（如圖）。根據(jù)頻率分布直方圖3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的學(xué)生數(shù)是_解析：該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的學(xué)生的頻率是(0.002+0.006+0.012)*10=0.2故所求為0.2*3000=600角度3在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是 、 解析：45；46，本題主要考察了莖葉圖所表達(dá)的含義，以及從樣本數(shù)據(jù)中提取數(shù)字特征的能力，屬容易題。注意順序.角度4為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為mo，平均值為，則 () Amemo Bmemo< Cme<mo< Dmo<me<解析：由圖可知，30名學(xué)生的得分情況依次為：2個(gè)人得3分，3個(gè)人得4分，10個(gè)人得5分，6個(gè)人得6分，3個(gè)人得7分，2個(gè)人得8分，2個(gè)人得9分，2個(gè)人得10分中位數(shù)為第15,16個(gè)數(shù)(分別為5,6)的平均數(shù)，即me5.5,5出現(xiàn)的次數(shù)最多，故mo5，5.97.于是得mo<me<.角度5以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示甲組乙組（）如果，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；（）如果，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率(注：方差，其中為x1，x2，xn的平均數(shù))解析：（）當(dāng)X8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10，所以平均數(shù)為：； 方差為：s2(8)2(8)2(9)2(10)2.（）記甲組四名同學(xué)為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11；乙組四名同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個(gè)：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)， (A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)， (A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，用C表示“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”這一事件，則C中的結(jié)果有4個(gè)，它們是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)故所求概率為P(C).角度6在某次測驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分用表示編號(hào)為的同學(xué)所得成績，且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢壕幪?hào)12345成績7076727072（1）求第6位同學(xué)的成績，及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差；（2）從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間（68，75）中的概率解析：（1），解得標(biāo)準(zhǔn)差（2）前5位同學(xué)中隨機(jī)選出的2位同學(xué)記為，且則基本事件有，共10種 這5位同學(xué)中，編號(hào)為1、3、4、5號(hào)的同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間（68，75）中設(shè)A表示隨機(jī)事件“從前5位同學(xué)中隨機(jī)選出2位同學(xué)，恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間（68，75）中”則A中的基本事件有、共4種，則突破2個(gè)高考難點(diǎn)難點(diǎn)1 如何解決回歸分析問題 1回歸分析與回歸直線(1)對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析，實(shí)際上就是尋找相關(guān)關(guān)系中不確定關(guān)系的某種確定性(2)如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線(3)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提有時(shí)散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，仍可以按照求回歸直線方程的步驟求得回歸直線方程，顯然這種情形下求得的回歸直線方程沒有實(shí)際意義.所以求回歸直線方程時(shí)應(yīng)先畫出散點(diǎn)圖，判斷是否具有線性相關(guān)關(guān)系.2回歸直線方程(1)設(shè)與是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于個(gè)觀測值的個(gè)點(diǎn)大致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為對(duì)的回歸函數(shù)的類型為直線型：.其中我們稱這個(gè)方程為對(duì)的回歸直線方程，其中稱為樣本中心點(diǎn) (2)求回歸直線方程的步驟： 計(jì)算出的值； 計(jì)算回歸系數(shù)； 寫出回歸直線方程 (3)回歸直線方程的應(yīng)用： 描述兩變量之間的依存關(guān)系：利用回歸直線方程即可定量描述兩個(gè)變量間依存的數(shù)量關(guān)系 利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測：把自變量代人回歸方程對(duì)因變量進(jìn)行估計(jì)，即可對(duì)個(gè)體值進(jìn)行估計(jì)3解決回歸分析問題的難點(diǎn)主要有以下幾個(gè)：一是回歸直線方程的求解，由于數(shù)據(jù)較多，計(jì)算公式復(fù)雜，往往容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤；二是對(duì)樣本數(shù)據(jù)組的線性相關(guān)性檢驗(yàn)，其衡量標(biāo)準(zhǔn)是樣本數(shù)據(jù)組的相關(guān)系數(shù)，這個(gè)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，其線性相關(guān)性越強(qiáng)；三是對(duì)不同模型擬合效果的比較，衡量的標(biāo)準(zhǔn)是殘差平方和與相關(guān)指數(shù)，殘差平方和越小、相關(guān)指數(shù)越大，擬合效果越好典例1 某化工廠為預(yù)測某產(chǎn)品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取8對(duì)觀測值，計(jì)算得則與之間的回歸直線方程是_（精確至0.01）解析:由回歸系數(shù)的計(jì)算公式，得,故為所求.點(diǎn)評(píng)：求解線性回歸直線方程的關(guān)鍵是正確地利用公式進(jìn)行計(jì)算，由于數(shù)據(jù)較多、計(jì)算繁瑣，在計(jì)算時(shí)要格外小心，同時(shí)注意不要混淆了回歸系數(shù)和回歸常數(shù)典例2 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費(fèi)用（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限23456維修費(fèi)用2.23.85.56.57.0若由資料可知和呈相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的，據(jù)此估計(jì)，使用年限為10年時(shí)的維修費(fèi)用是_萬元 （參考公式：）解析:，故樣本中心點(diǎn)是，故所以使用年限為10年時(shí)的維修費(fèi)用大約是，故答案為點(diǎn)評(píng)：根據(jù)計(jì)算公式，回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，這個(gè)結(jié)論既是檢驗(yàn)所求回歸直線方程是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是解決問題的一個(gè)依據(jù)難點(diǎn)2 獨(dú)立性檢驗(yàn)1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本方法一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量和，它們的值域分別為和，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表如下：總計(jì)總計(jì) 若要推斷的論述為“與有關(guān)系”，可以按如下步驟判斷結(jié)論成立的可能性：根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計(jì)算由公式所給出的檢驗(yàn)隨機(jī)變量的觀測值，并且的值越大，說明“與有關(guān)系”成立的可能性越大 如果，就有的把握認(rèn)為“與有關(guān)系”；如果，就有的把握認(rèn)為“與有關(guān)系”.參考表：P(k2>k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.832與的關(guān)系并不是是的觀測值，或者說是一個(gè)隨機(jī)變量，它在取不同的值時(shí)，可能不同，而是取定一組數(shù)后的個(gè)確定的值.典例2為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）能否有99的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)老年人，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由.解：（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為（2）。由于9.967>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)。（3）由于（2）的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調(diào)查時(shí),先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單反隨即抽樣方法更好. 12分規(guī)避2個(gè)易失分點(diǎn)易失分點(diǎn)1 統(tǒng)計(jì)圖表中概念不清、識(shí)圖不準(zhǔn)典例 某公司（共有員工300人）xx年員工年薪情況的頻率分布直方圖如圖所示，由此可知，員工中年薪在1.4萬元1.6萬頁之間的共有_人.易失分提示: 解本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是審題不細(xì)，對(duì)所給圖形觀察不細(xì)心，認(rèn)為員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的頻率為，從而得到員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的共有人的錯(cuò)誤結(jié)果解析：由所給圖形，可知員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的頻率為所以員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之問的共有人易失分點(diǎn)2 回歸系數(shù)和回歸常數(shù)相混淆典例 為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議現(xiàn)對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成績、物理成績進(jìn)行分析：下面是該生7次考試的成績數(shù)學(xué)888311792108100112物理949110896104101106（1）他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個(gè)更穩(wěn)定？請(qǐng)給出你的證明；（2）已知該生的物理成績與數(shù)學(xué)成績是線性相關(guān)的，若該生的物理成績達(dá)到115分，請(qǐng)你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績大約是多少？并請(qǐng)你根據(jù)物理成績與數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議 易失分提示：成績的穩(wěn)定性用樣本數(shù)據(jù)的方差判斷，由物理成績估計(jì)數(shù)學(xué)成績由回歸直線方程解決本題容易出錯(cuò)的就是把回歸系數(shù)和回歸常數(shù)弄顛倒，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤解析：（1）， ，從而物理成績更穩(wěn)定.（2）由于與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)回歸系數(shù)公式得到線性回歸方程為當(dāng)時(shí)，建議：進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)成績的穩(wěn)定性，將有助于物理成績的進(jìn)一步提高.