甘肅省張掖市高三下學(xué)期4月診斷考試 文科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、張掖市高三年級(jí)2015年4月診斷考試 數(shù)學(xué)（文科）試卷 命題人：臨澤一中 張自鶴 審題人：臨澤一中 魏正清 終審人：山丹一中 鐘麗娟 第I卷 （選擇題 共60分） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，，，則（ ） A. B. C. D. 2.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知命題，命題，則( 　) A.

2、命題是假命題 B.命題是真命題 C.命題是真命題 D.命題是假命題 4.某程序框圖如右圖所示，現(xiàn)輸入如下四個(gè)函數(shù)， 則可以輸出的函數(shù)是（ ） A． B． C． D． 5.設(shè)變量,滿足約束條件 則的最大值為（ ） A.21 B.15 C.-3 D.-15 6.已知實(shí)數(shù)1， m，4構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（ ） A． B． C.或 D．或3 7.某三棱錐的三視圖如右圖所示，則該三棱錐的體積是（

3、 ） A. B. C. D. 8.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為,若,則角=（ ） A． B． C． D． 9.直線被圓所截得的最短弦長(zhǎng)等于( ) A. B. C. D. 10.將函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，那么所得圖像的一條對(duì)稱軸方程為（ ） A． B． C． D． 11.已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1、F2

4、，點(diǎn)M在雙曲線上且則點(diǎn)M到x軸的距離為( ) 高☆考♂資♀源€網(wǎng) A． B． C． D． 12.已知函數(shù)則方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（ ） A. B. C. D. 第II卷（共90分） 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置. 13.已知為第二象限角，，則=______ ____

5、_. 14.在中，，，,則 . 15.已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為-1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)________. 16.已知函數(shù)且，其中為奇函數(shù), 為偶函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。 17.（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列中，其前n項(xiàng)和。 （I）求p的值及； （Ⅱ）在等比數(shù)列中，，若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.求證：數(shù)列為等比數(shù)列. 18.（本小題滿分1

6、2分） 如圖，在四棱錐中中，底面為菱形，，為的中點(diǎn). （I）若，求證：平面平面； （II）若平面平面，，點(diǎn)在線段上， 且,求四棱錐與三棱錐的體積之比. 19.（本小題滿分12分） 為了了解某學(xué)段1000名學(xué)生的百米成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了若干學(xué)生的百米成績(jī)，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將成績(jī)按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）； ……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如右圖所示，已知圖中從左到右的前3個(gè)組的頻率之比為3∶8∶19， 且第二組的頻數(shù)為8. （1）將頻率當(dāng)作概率，請(qǐng)估計(jì)該學(xué)段學(xué)生中百米成績(jī)?cè)赱1

7、6，17）內(nèi)的人數(shù)以及所有抽取學(xué)生的百米成績(jī)的中位數(shù)（精確到0.01秒）； （2）若從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，求這兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒的概率. 20.（本小題滿分12分） 已知橢圓C: 的離心率為，且過(guò)點(diǎn)（1，）. （1）求橢圓C的方程； x y O A B M （2）設(shè)與圓相切的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值，及取得最大值時(shí)的直線L的方程. 21.（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，． （Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為,求切線方程； （Ⅱ）試求的單調(diào)區(qū)間并

8、求出當(dāng)時(shí)的極小值. 請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑。 22.（本小題滿分10分）《選修4—1：幾何證明選講》 如圖：是⊙的直徑，是弧的中點(diǎn)， ，垂足為，交于點(diǎn). （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若，⊙的半徑為6，求的長(zhǎng). 23.（本小題滿分10分）《選修4—4：參數(shù)方程選講》 在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為, 曲線的極坐標(biāo)方程為. (1)寫(xiě)出點(diǎn)的直角坐標(biāo)及曲線的普通方程； (2)若為上的動(dòng)點(diǎn),求中點(diǎn)到直線 (為參數(shù))距離的最大值. 24.

9、（本小題滿分10分）《選修4—5：不等式選講》 已知函數(shù) （1） 若恒成立，求的取值范圍； （2）若，求證:. 張掖市高三年級(jí)2015年4月診斷考試 文科數(shù)學(xué)參考答案 一、選擇題 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B B C A D C A D B 二、填空題： 13. 14. 15. 16. 三、解答題 17．解析：（I）由題意可得: ---------------------- 3分

10、 ， 公差 ---------------------- 5分 由此可得： ----------------------6分 （Ⅱ）由題意可得: 聯(lián)立方程組解得：， --------------------8分 數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。 ------------------10分 又因?yàn)? ， 是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。 ----------------12分 18．解析：（Ⅰ），為的中點(diǎn)，

11、 ， -----------------------1分 又底面為菱形，， 設(shè)則，從而 ----------------4分 ----------------------------5分 又平面，又 平面, 平面平面; ----------------------------6分 （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作交PB于點(diǎn)H. --------------------------7分 平面平面,平面平面, 平面，平面, --------8分 ,又 ,又,

12、平面,又,， --------------------------10分 , ---------------------------12分 19．解析：（1）設(shè)前3組的頻率依次為，則由題意可得: ,由此得： …………………1分 第二組的頻率為0.16 …………………2分 第二組的頻數(shù)為8， 抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為人 …………………3分 由此可估計(jì)學(xué)生中百米成績(jī)?cè)赱16，17）內(nèi)

13、的人數(shù)人?！?分 設(shè)所求中位數(shù)為 由前可知第一組、第二組、第三組的頻率分別為0.06、016、0.38 則 0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5,解得m=15.74 答: 估計(jì)學(xué)生中百米成績(jī)?cè)赱16，17）內(nèi)的人數(shù)為16人；所有抽取學(xué)生的百米成績(jī)的中位數(shù)為15.74秒。 …………………6分 （2）記“兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒”為事件A. 由(1)可知從第一組抽取的人數(shù)人，不妨記為a,b.c 從第五組抽取的人數(shù)人，不妨記為1,2,3,4，

14、 ……………9分 則從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)有:ab,ac.a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b3,c1,c2,c3, c4,12,13,14,23,24,34這21種可能； 其中兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒的來(lái)自不同的組，共有12種。 兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒的概率為. ……………12分 20．解析：（1）由題意可得：——————————————2分 ————————————4分 （2）①當(dāng)k不存在時(shí)，——————5分 ②當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線

15、為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2) ——————————7分 —————————8分 ———————10分 ， ,————————————12分 21．解析：（Ⅰ），………1分 解得: …………………2分 切點(diǎn)坐標(biāo)為 切線方程為： 即所求切線方程為: …………………4分 （Ⅱ）(1)當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.…………………6分 (2) 當(dāng)時(shí)， 令 解得： 當(dāng)或時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞減區(qū)間為， 單調(diào)遞增區(qū)間為，

16、 …………………8分 的極小值 …………………9分 （3）當(dāng)時(shí)，令 解得： ①若，當(dāng)或時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 的單調(diào)遞減區(qū)間為，； 單調(diào)遞增區(qū)間為. …………………10分 ②若，， 的單調(diào)遞減區(qū)間為. …………………11分 ③若，當(dāng)或時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 的單調(diào)遞減區(qū)間為，； 單調(diào)遞增區(qū)間為. …………………12分 22. 解析：（Ⅰ）證法一:連結(jié)CO交BD于點(diǎn)M，如圖 …………1分 ∵C為弧BD的中點(diǎn)，

17、∴OC⊥BD 又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO ………… ………………2分 ∴∠OCE=∠OBM ……………………………3分 又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC …………………………4分 N D C B A E F O ∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF …………5分 證法二：延長(zhǎng)CE 交圓O于點(diǎn)N，連結(jié)BN，如圖………1分 ∵AB是直徑且CN⊥AB于點(diǎn)E. ∴∠NCB=∠CNB……………………………………2分

18、 又∵C為弧BD的中點(diǎn) ∴∠CBD=∠CNB……3分 ∴∠NCB=∠CBD 即∠FCB=∠CBF…………………………………4分 ∴CF=BF…………………………………………………………5分 （Ⅱ）∵O,M分別為AB,BD的中點(diǎn) ∴ ……………………7分 在Rt△COE中，…………………………………9分 ∴在Rt△CEB中，………………………………10分 23. 解析：(1) ， 點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 ………………………………………2分 由得：即 曲線的普通方程為: ……………………………………5分 (2)由 可得直線的普通方程為 ………………6分 由曲線的普通方程:可設(shè)點(diǎn) 則點(diǎn)坐標(biāo)為 ………………………………………7分 點(diǎn)到直線 的距離………8分 當(dāng)=-1時(shí)，取得最大值 點(diǎn)到直線距離的最大值為。 ………………………………………10分 24. 解析：(1) ……………………3分 ……………………5分 (2) 證明： …………9分 ……………………10分 16