2019-2020年高中數學 橢圓的標準方程-說課稿 北師大版選修2.doc
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2019-2020年高中數學 橢圓的標準方程-說課稿 北師大版選修2 設計者：_________________________ 執(zhí)教者：_________________________ 課件制作者 ：___________________ 時間： _____年_______月_________日 所教學校班級 ____________高二某班_____________ 【背景介紹】 橢圓是圓錐曲線中重要的一種，本節(jié)內容的學習是后繼學習其它圓錐曲線的基礎。坐標法是解析幾何中的重要數學方法，橢圓方程的推導是利用坐標法求曲線方程的很好應用實例。本節(jié)課內容的學習能很好地在課堂教學中展現新課程的理念，可采用學生自主探究學習的方式，使培養(yǎng)學生探索精神和創(chuàng)新能力的教學思想貫穿于本節(jié)課的教學設計。 橢圓是生活中常見的圖形，通過實驗演示，創(chuàng)設生動而直觀的情境，使學生親身體會橢圓與生活聯(lián)系，有助于激發(fā)學生對橢圓知識的學習興趣；在橢圓概念引入的過程中，改變了直接給出橢圓概念和動畫畫出橢圓的方式，而采用師生合作動手畫橢圓并合作探究的學習方式，讓學生親身經歷橢圓概念形成的數學化過程，有利于培養(yǎng)學生觀察分析、抽象概括的能力。 橢圓方程的化簡是學生從未經歷的問題。在方程的推導過程中，學生分組探究，師生共同探討方程的化簡、研討方程的特征，讓學生體驗橢圓方程建立的具體過程，了解橢圓標準方程的來源，并在師生合作探究、討論的活動中，體會成功的快樂，提高數學探究能力，培養(yǎng)獨立主動獲取知識的能力。 設計例題、習題的變式訓練，是為了讓學生能靈活地運用橢圓的知識解決問題，同時也是為了更好地調動、活躍思維，發(fā)展數學思維能力（但這些例題和習題應根據學生的實際供教師選用）。在解決問題中發(fā)展學生的數學應用意識和創(chuàng)新能力，同時培養(yǎng)學生大膽實踐、勇于探索的精神，開闊知識應用視野。 【教學內容分析】 教材選自人教版高中數學選修二，《橢圓的標準方程》是繼學習圓以后運用“曲線與方程”思想解決二次曲線問題的又一實例，從知識上說，它是對前面所學的運用坐標法研究曲線的又一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質和雙曲線、拋物線的基礎；從方法上說，它為我們后面研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和方法。橢圓的標準方程是圓錐曲線方程研究的基礎，它的學習方法對整個這一章具有導向和引領作用。由于本章節(jié)難度教大，學生普遍覺得比較困難。特別是缺乏數形結合能力，不善于簡化平面幾何問題。同時本章節(jié)的概念比較多，性質又比較相似，容易互相干擾而影響學習效果。從教材編排上講，現行教材中把三種圓錐曲線獨編一章，更突出了橢圓的重要地位。因此本節(jié)課有承前啟后的作用，是本章和本節(jié)的重點內容。 【學生特征分析】 1。智力因素方面：知識基礎、認知結構變量、認知能力等 在學習本節(jié)課前，學生已經學習了直線與圓的方程，對曲線和方程的思想方法有了一些了解和運用的經驗，對坐標法研究幾何問題也有了初步的認識，因此，學生已經具備探究有關點的軌跡問題的知識基礎和學習能力，但由于學生學習解析幾何時間還不長、學習程度也較淺，并且還受到高二這一年齡段學習心理和認知結構的影響，在學習過程中難免會有些困難 2。非智力因素方面：動機水平、歸因類型、焦慮水平、學習風格等 本課主要是是一個抽象過程，要求學生的抽象、分析、實踐的能力比較高，學生學起來有一定的難度，加上學生數學基礎較差，理解能力，運算能力等參差不齊等。 【教學目標】 根據新課標以及對教材和學生情況的分析，我將本節(jié)課教學目標確定為: 1、知識與技能 掌握橢圓的定義及其標準方程；并在定義的歸納和方程的推導中體會探索的樂趣；會根據條件寫出橢圓的標準方程；通過對橢圓標準方程的探求，再次熟悉求曲線方程的一般方法。 2、過程與方法 學生通過動手畫橢圓、分組討論探究橢圓定義、推導橢圓標準方程等過程，提高動手能力、合作學習能力和運用知識解決實際問題的能力。通過對實際問題分析培養(yǎng)學生發(fā)現規(guī)律、認識規(guī)律、運用規(guī)律的能力；培養(yǎng)運用類比、分類討論、數形結合思想解決問題的能力以及培養(yǎng)學生將抽象轉化為具體、歸納知識以及邏輯思維、建模等方面的能力。 3、情感態(tài)度價值觀 在形成知識、提高能力的過程中，激發(fā)學生學習數學的興趣，提高學生的審美情趣，培養(yǎng)學生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，培養(yǎng)學生發(fā)現問題，探索問題，不斷超越的創(chuàng)新品質。在定義方程的推導中增強學生主動探求科學知識的熱情，體會數學的簡潔美，增強學生之間的合作意識。 【教學重點、難點】 重點：感受建立曲線方程的基本過程，掌握橢圓的定義及標準方程，用待定系數法和定義法求曲線方程。 本小節(jié)的重點是橢圓的概念，只要結合圖形，抓住概念中的關鍵句“距離之和等于常數（大于兩定點的距離）”，理解它并不困難。結合“距離之和等于常數（等于兩定點的距離）”，“距離之和等于常數（小于兩定點的距離）”來研究圖形，加強對概念的理解。 難點：橢圓標準方程的建立和推導。 本小節(jié)的難點是橢圓標準方程的推導，在推導過程中應注意以下兩點：1、“標準狀態(tài)”的兩層含義：1）橢圓的兩個焦點均在坐標軸上，2）這兩個焦點的中點（即中心）與原點重合，也就是說橢圓的標準方程是橢圓在最有利于問題解決的特殊位置的直角坐標系中的方程。2、化簡方程時，應注意兩次平方時的等價性 【教學思路及方法】 新課標的理念倡導“以人為本”，強調“以學生發(fā)展為核心”。應用實物模型導入新課，目的是要激發(fā)學生學習的興趣，讓他們觀察橢圓的由來。 在推導橢圓的標準方程時利用演示板來進行演示，先給學生直觀的感性的認識。接著進行標準方程的推導，這樣有利于培養(yǎng)學生的數形結合的能力。 為了更好地培養(yǎng)學生自主學習能力，提高學生的綜合素質，本課主要采用探究式教學方法，即“觀察對象－問題引導－討論探究－得出結論”的探究式教學方法，注重“引、思、探、練”的結合。在教學上是以多媒體和演示板作為教學手段，始終堅持啟發(fā)式教學，以學生為主體，引導學生思考并自己動手分析。 使用多媒體輔助教學與自制教具相結合的設計方案，實現多媒體快捷、形象、大容量的優(yōu)勢與自制教具直觀、實用的優(yōu)勢的結合，既突出了知識的產生過程，又增加了課堂的趣味性。這些重點體現學生是一個主動的、積極的知識探索者，盡可能的增加學生參與教學活動的時間和思維空間。 由于高二的學生思維比較活躍，又有了相應的知識基礎，所以他們樂于探索新知識，雖然學習熱情時起時落，但能在老師的引導下開展學習活動。在學習過程中可以安排學生進行小組討論，注意要多利用定義來理解，要習慣動手畫圖，可以用類比法來記憶知識點。 因此本節(jié)課將提供學生以下4種機會：1提供觀察、思考的機會：用親切的語言鼓勵學生觀察并用學生自己的語言進行歸納。2提供操作、嘗試、合作的機會：鼓勵學生大膽利用資源，發(fā)現問題，討論問題，解決問題。3提供表達、交流的機會：鼓勵學生敢想敢說，設置問題促使學生愿想愿說。4提供成功的機會：贊賞學生提出的問題，讓學生在課堂中能更多地體驗成功的樂趣。 【教學媒體】根據我的教學設計，為了提高學生學習興趣，本節(jié)課我將采用多媒體輔助教學，利用多媒體演示圖片和自制幾何畫板動畫輔助教學。 【教學流程】（教學內容與教師活動、媒體的應用、學生的活動、教師的邏輯判斷） 開始 PPT 情景導入 學生討論 創(chuàng)設情景，引入新課 實驗探究，形成概念 研討探究，推導方程 小結歸納，提高認識 歸納概括，方程特征 幾何畫板 學生操作 師生共同解析 學生歸納 答疑 結束 教師演示 師生交流總結性質 教師引導 例題研討，變式精析 變式訓練，探索創(chuàng)新 【教學過程】 （一）創(chuàng)設情境，引入概念 1、xx年 “神州六號”載人飛船順利升空，那么“神州六號”飛船的運行軌道是什么？ 學生根據自己平時的積累，可能會回答圓或橢圓。 設計意圖：展示“神州六號”飛船繞地球運行的軌道圖片，指出飛船進入太空后，先以橢圓形軌道運行后變軌以圓形軌道運行。由于實際的結果與學生已有的認知產生了沖突，從而激發(fā)了學生的興趣。 2、實物演示：圓柱形水杯傾斜時的水面。聯(lián)想生活中還有哪些是橢圓圖形？ 回憶：1、圓是怎么畫出來的？2、圓的定義是什么？3、圓的標準方程是什么形式？ 猜想：1、橢圓是怎么畫出來的？2、橢圓的定義是什么？3、橢圓的標準方程又是什么形式？ 設計意圖：從生活實際出發(fā)，從而激起學生強烈的求知欲望。用類比的思想，通過已經學過的圓的知識猜想橢圓，開展后續(xù)教學。 （二）實驗探究，形成概念 1、動手實驗：以學生研究為主，教師輔助在黑板上嘗試用繩子和圖釘，動手畫出橢圓。 思考：根據上面探究實踐回答，橢圓是滿足什么條件的點的軌跡？ 設計意圖：給學生提供一個動手操作，合作學習的機會；通過實驗讓學生去探究“滿足什么樣的條件下的點的集合為橢圓”；讓每個人都動手畫圖，自己思考問題，由此培養(yǎng)學生的自信心。 2、 概括橢圓定義 引導學生概括橢圓定義 M 橢圓定義：平面內與兩個定點距離的和等于常數（大于）的點的軌跡叫橢圓。 教師指出：這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。 思考：焦點為的橢圓上任一點M，有什么性質？ 令橢圓上任一點M，則有， 再思考：若及時，軌跡是什么？ 線段和無軌跡。 設計意圖：讓學生通過反思畫圖過程，歸納定義，學習定義，為后面分析橢圓的標準方程做下鋪墊；比較深入地理解橢圓定義的條件。 3、幾何畫板動態(tài)演示橢圓的形成過程，進一步證實。 設計意圖：通過演示向學生說明橢圓的具體畫法，更直觀形象。讓學生體會在變化中的變與不變及其內在聯(lián)系。 （三）研討探究，推導方程（引導學生推導橢圓的標準方程，給學生較多思考問題的時間） 1、知識回顧：利用坐標法求曲線方程的一般方法和步驟是什么？圓心在原點的圓的方程與不在原點的方程哪個形式更簡單？為什么？ 2、研討探究 M 問題：如圖已知焦點為的橢圓，且=2c,對橢圓上任一點M，有，嘗試推導橢圓的方程。 思考：如何建立坐標系，使求出的方程更為簡單？ x y M O 將各組學生的討論方案歸納起來評議，選定以下兩種方案，由各組學生自己完成設點、列式、化簡。 x y M O 方案一 方案二 按方案一建立坐標系，師生研討探究得到橢圓標準方程 各組分別選定一種方案：（以下過程按照第一種方案） ①建系：以所在直線為x軸，以線段的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系。 ②設點：設是橢圓上任意一點，為了使的坐標簡單以簡化化簡過程，設，則 設與兩定點的距離的和等于 ③列式： ∴ ④化簡：（這里，教師為突破難點，進行設問：我們怎么化簡帶根式的式子？對于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢？） 兩邊平方，得： 即 兩邊平方，得： 整理，得： 令，則方程可簡化為： 整理成：。 （注意：兩次平方時的等價性，可以根據學生的具體情況選擇加以證明，或者不加證明的指出。） 方程叫做橢圓的標準方程，焦點在軸上，其坐標是，其中。 討論：如果以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系，焦點是，橢圓的方程又如何呢？ 讓按照另外方案推導橢圓標準方程的同學發(fā)言并演示動畫進行討論得出：為橢圓的另一標準方程。 設計意圖：雖然化簡式子會感到有困難，但我先讓學生嘗試，適當提示學生：化簡的關鍵在于將根式去掉，而去根式則要兩邊平方，為了簡潔應該先移項再平方。逐步嘗試求出焦點在x軸上的橢圓標準方程。 （四）歸納概括，方程特征 1、 觀察橢圓圖形及其標準方程，師生共同總結歸納 （1）橢圓標準方程對應的橢圓中心在原點，以焦點所在軸為坐標軸； （2）橢圓標準方程形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1； （3）橢圓標準方程中三個參數a,b,c關系：； （４）求橢圓標準方程時，有時可運用待定系數法求出a,b的值。 2、 在歸納總結的基礎上，填下表 標準方程 +=1 x y M O +=1 圖形 x y M O a,b,c關系 焦點坐標 焦點位置 在x軸上 在y軸上 設計意圖：把兩種類型的橢圓方程推導出來，那這兩類方程有什么相同點，有什么不同點呢？先讓學生進行小組討論，找出性質，再列出表格讓學生填空。這樣通過表格的對比可以對知識深化理解。 （五）例題研討，變式精析 例題1已知：橢圓的中心在原點，焦距為6，橢圓上的點到兩焦點的距離和為10，求它的標準方程。 [說明]對橢圓定義和橢圓的標準方程的理解和鞏固。 例題2求焦點在軸上，焦點為，且過點的橢圓的標準方程。 [說明]此題是橢圓的標準方程的應用問題。 例題3已知定點（-4，0）、（4，0）和動點，求滿足的動點的軌跡及其方程。 [說明]對橢圓的標準方程的鞏固。 例題4已知橢圓，為橢圓上任一點，，求的面積。 [說明]結合余弦定理，鞏固橢圓的定義。 例題5橢圓上一點到左焦點的距離為2，是的中點，是坐標原點，求的長。 [說明]結合三角形的中位線定理橢圓的定義來求解。 設計意圖：加深學生對標準方程的理解和加深a、b、c關系式的應用，當已知a、b、c三個量中的兩個，只要確定焦點的位置就可以求出橢圓的方程；讓學生自己分析，鞏固定義，學習求橢圓方程的方法，學生要學會“先定位，再定量”；互為逆向思維的例題，可以加深學生對方程和系數的理解；學習并回憶數形結合的思想，方程的思想 （六）變式訓練，探索創(chuàng)新 1. 已知：橢圓的中心在原點，焦距為6，且經過點（0，4），求它的標準方程。 2。已知：橢圓經過點A(2, ),B(-3, )，求它的標準方程。 3。已知：焦點在x軸上的橢圓焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，求此焦點與長軸較近的端點距離為的橢圓的標準方程。 4。在橢圓上求一點，使它到右焦點的距離等于它到左焦點距離的4倍。 5。在橢圓 上動點P(x,y)與定點M(m,0) (0
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