2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題34 空間中線線角、線面角的求法黃金解題模板.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題34 空間中線線角、線面角的求法黃金解題模板 【高考地位】 立體幾何是高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)重點(diǎn)，空間中線線角、線面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有兩種方法：其一是一般方法，即按照“作——證——解”的順序進(jìn)行；其一是空間向量法，即建立直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解. 在高考中常常以解答題出現(xiàn)，其試題難度屬中高檔題. 【方法點(diǎn)評(píng)】 類型一 空間中線線角的求法 方法一 平移法 使用情景：空間中線線角的求法 解題模板：第一步 首先將兩異面直線平移到同一平面中； 第二步 然后運(yùn)用余弦定理等知識(shí)進(jìn)行求解； 第三步 得出結(jié)論. 例1正四面體中， 分別為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為 A. B. C. D. 【答案】B 平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．計(jì)算異面直線所成的角通常轉(zhuǎn)化為解三角形的問題處理，要注意異面直線所成角的范圍為。 【變式演練1】如圖，四邊形是矩形， 沿直線將翻折成，異面直線與所成的角為, 則（ ） A． B． C. D． 【答案】B 考點(diǎn)：異面直線所成角的定義及運(yùn)用. 【變式演練2】【xx年衡水聯(lián)考】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)， 分別是側(cè)面與底面的中心，則下列命題中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（ ） ①平面； ②異面直線與所成角為； ③與平面垂直； ④． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】對(duì)于①，∵DF，DF平面， 平面，∴平面，正確； 對(duì)于②，∵DF，∴異面直線與所成角即異面直線與所成角，△為等邊三角形，故異面直線與所成角為，正確； 對(duì)于③，∵⊥， ⊥CD，且CD=D，∴⊥平面，即⊥平面正確； 對(duì)于④，，正確， 故選：A 【變式演練3】設(shè)三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，若該棱柱的所有頂點(diǎn)都在體積為的球面上，則直線與直線所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【變式演練4】如圖所示，正四棱錐的底面面積為，體積為， 為側(cè)棱的中點(diǎn)，則與所成的角為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 方法二 空間向量法 使用情景：空間中線線角的求法 解題模板：第一步 首先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)； 第二步 然后求出所求異面直線的空間直角坐標(biāo)； 第三步 再利用即可得出結(jié)論. 例2、如圖，直三棱柱中，，，點(diǎn)在線段上. （1）若是中點(diǎn)，證明：平面； （2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值 【答案】（1）詳見解析（2） （II）,故如圖建立空間直角坐標(biāo)系 ,, ， 令平面的法向量為，由，得 設(shè) 所以, ，設(shè)直線與平面所成角為 故當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為. 考點(diǎn)：線面平行判定定理，利用空間向量求線面角 【思路點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 例3、如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，分別為線段的中點(diǎn)，在五棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面與棱分別交于點(diǎn)． （1）求證：； （2）若底面，且，求直線與平面所成角的大?。? 【答案】（1）詳見解析（2） 考點(diǎn)：線面平行判定定理，利用空間向量求線面角 【思路點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 【變式演練4】已知正四面體中，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為______． 【答案】 考點(diǎn)：異面直線及其所成的角 【變式演練5】如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，,.若，分別是棱，上的點(diǎn)，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，設(shè)，所成的角為，則． 考點(diǎn)： 線面角. 類型二 空間中線面角的求法 方法一 垂線法 使用情景：空間中線面角的求法 解題模板：第一步 首先根據(jù)題意找出直線上的點(diǎn)到平面的射影點(diǎn)； 第二步 然后連接其射影點(diǎn)與直線和平面的交點(diǎn)即可得出線面角； 第三步 得出結(jié)論. 例3如圖，四邊形是矩形，，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，平面. （Ⅰ）求證：面； （Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）． 證法2：（坐標(biāo)法）證明，得，往下同證法1． 證法3：（向量法）以為基底， ∵， ∴ ∴，往下同證法1． （2）在中， 在中， 在中，， ∴ 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則 ，∴ ，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則 考點(diǎn)：線面垂直的判定，直線與平面所成的角． 【點(diǎn)評(píng)】解決直線與平面所成的角的關(guān)鍵是找到直線上的點(diǎn)到平面的射影點(diǎn)，構(gòu)造出線面角. 【變式演練6】已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,在底面內(nèi)的射影為的中心,則與底面所成角的正弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 考點(diǎn):直線與平面所成的角． 【變式演練7】在四面體中，，，且，為中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 考點(diǎn)：1．平面與平面垂直；2．直線與平面所成的角． 方法二 空間向量法 使用情景：空間中線面角的求法 解題模板：第一步 首先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)； 第二步 然后求出所求異面直線的空間直角坐標(biāo)以及平面的法向量坐標(biāo)； 第三步 再利用即可得出結(jié)論. 例4 [xx衡水金卷大聯(lián)考]如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，側(cè)面平面，且 ，動(dòng)點(diǎn)在棱上，且. （1）試探究的值，使平面，并給予證明； （2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值. （2）取的中點(diǎn),連接.則. ∵平面平面，平面平面，且， ∴平面. ∵，且， ∴四邊形為平行四邊形，∴. 又∵，∴. 由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 則，，，，，. 當(dāng)時(shí)，有， 【變式演練8】【xx浙江嘉興市第一中模擬】如圖，四棱錐,底面為菱形，平面，，為的中點(diǎn)，. （I）求證：直線平面； （II）求直線與平面所成角的正弦值. 【解析】 （I）證明：， 又 又平面, 直線平面. （方法二）如圖建立所示的空間直角坐標(biāo)系. . 設(shè)平面的法向量， .所以直線與平面所成角的正弦值為 【高考再現(xiàn)】 1. 【xx課標(biāo)II，理10】已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【考點(diǎn)】 異面直線所成的角；余弦定理；補(bǔ)形的應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下： ①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角； ②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角； ③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形； ④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角。求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍。 2. 【xx浙江，9】如圖，已知正四面體D–ABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，AP=PB，，分別記二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角為α，β，γ，則 A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α 【答案】B 3. 【xx課標(biāo)3，理16】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與b成30角； ②當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與b成60角； ③直線AB與a所成角的最小值為45； ④直線AB與a所成角的最小值為60. 其中正確的是________.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)） 【答案】②③ 【解析】 試題分析：由題意， 是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線，由 ，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點(diǎn)B，作 ，交底面圓 于點(diǎn)D，如圖所示，連結(jié)DE，則DE⊥BD， ，連結(jié)AD，等腰△ABD中， ,當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)， ，故 ，又在 中， ， 過點(diǎn)B作BF∥DE，交圓C于點(diǎn)F，連結(jié)AF，由圓的對(duì)稱性可知 , 為等邊三角形， ，即AB與b成60角，②正確，①錯(cuò)誤. 由最小角定理可知③正確； 很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，直線 與 所成的最大角為90，④錯(cuò)誤. 正確的說法為②③. 【考點(diǎn)】 異面直線所成的角 4. 【xx北京，理16】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4． （I）求證：M為PB的中點(diǎn)； （II）求二面角B-PD-A的大?。? （III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值． 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，， ，. 設(shè)平面的法向量為，則，即. 令，則，.于是. 平面的法向量為，所以. 由題知二面角為銳角，所以它的大小為. 5. 【xx浙江，19】（本題滿分15分）如圖，已知四棱錐P–ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)． （Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值． 【解析】 【考點(diǎn)】求線面角 6. 【xx江蘇，22】 如圖, 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=, . （1）求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值； 【考點(diǎn)】空間向量、異面直線所成角 【名師點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 7.【xx天津，文17】如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，. （I）求異面直線與所成角的余弦值； （II）求證：平面； （Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值. 【反饋練習(xí)】 1. 【xx河北邢臺(tái)市育才中學(xué)模擬】如圖，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為分別是四邊形和正方形的中心，則直線與的夾角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則： 本題選擇B選項(xiàng). 點(diǎn)睛：異面直線所成的角與其方向向量的夾角：當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；否則向量夾角的補(bǔ)角是異面直線所成的角. 2．【山西大學(xué)附中xx屆高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題】已知三棱錐的各棱長(zhǎng)均相等， 是的中心， 是的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 故答案選 點(diǎn)睛：本題考查異面直線所成角的問題，根據(jù)條件先通過直線的平行構(gòu)造出異面直線所成角的平面角，然后進(jìn)行解三角形，注意題目中一些數(shù)量關(guān)系 3．【xx黑龍江齊齊哈爾市第八中學(xué)模擬】已知正方體，E是棱CD的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 4. 【xx湖南五市十校教研教改共同體聯(lián)考】如圖，四邊形與均為菱形， ，且. （1）求證： 平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 則. 5．【xx湖北八校第一次聯(lián)考】四棱錐中， ∥， ， ， 為的中點(diǎn). （1）求證：平面平面； （2）求與平面所成角的余弦值. 面面, 在面射影為， 的大小為與面改成角的大小,設(shè)，則， ,即與改成角的余弦值為. 6．【xx河南鄭州市第一中學(xué)模擬】如圖，在四棱柱為長(zhǎng)方體，點(diǎn)是上的一點(diǎn). （2）若， ，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 則 令，則， ， 所以 所以當(dāng)，即，時(shí)， 取得最大值1. 7．【xx廣西玉林市陸川中學(xué)期中】如圖所示， 與四邊形所在平面垂直，且. （1）求證： ； （2）若為的中點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成角為，求. 8. 【xx吉林舒蘭第一高級(jí)中模擬】如圖，在四棱錐中， 平面， ， ， ， ， 為線段上的點(diǎn)． （1）證明： 平面； （2）若是的中點(diǎn)，求與平面所成的角的正切值． 【解析】（1）證明：∵在四棱錐中， 平面， ∴.∵， . 9. 【xx廣雅中學(xué)、東華中學(xué)、河南名校聯(lián)考】如圖，在三棱柱中， 平面，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上， 平面. （1）求證： ； （2）求直線與平面所成的角的正弦值. (2)令，則，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，得， 設(shè)是平面的一個(gè)法向量， 則， 令，得， 又,設(shè)直線與平面所成的角為， 則. 10. 【xx河南中原名校聯(lián)考】在三棱柱中，側(cè)面為矩形， ， ， 是的中點(diǎn)， 與交于點(diǎn)，且平面． （1）證明：平面平面； （2）若， 的重心為，求直線與平面所成角的正弦值． 設(shè)平面的法向量為， ， ， 由可得整理得 令，則， ，∴， 設(shè)直線與平面所成角，則 ， 所以直線與平面所成角的正弦值為． 點(diǎn)睛：本題考查了空間線線垂直，線面垂直，面面垂直，以及用坐標(biāo)法求線與面所成角的三角函數(shù)值，屬于中檔題.解題時(shí)，首先觀察圖形，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，通過計(jì)算得到向量坐標(biāo)，利用相關(guān)平行、垂直、夾角的公式計(jì)算即可，注意運(yùn)算得準(zhǔn)確性. 11.【xx貴州黔東南州聯(lián)考】如圖所示，在四棱錐中，四邊形為菱形， 為正三角形，且分別為的中點(diǎn)， 平面， 平面． （1）求證： 平面； （2）求與平面所成角的正弦值． （2）解： 12.【xx廣西欽州市質(zhì)檢】如圖，四棱錐底面為正方形，已知平面，，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn). （1）求證：直線平面； （2）求直線與平面所成的角的余弦值. （2）由于，以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則，，，，， 則. 設(shè)平面的法向量為. 所以. 令，所以. 所以平面的法向量為. 則向量與的夾角為，則. 則與平面夾角的余弦值為.