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2019-2020年高考數學專題復習導練測 第二章 第3講 函數的奇偶性與周期性 理 新人教A版
一、選擇題
1．設f(x)為定義在R上的奇函數．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數)，則f(－1)等于( )．
A．3 B．1 C．－1 D．－3
解析 由f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.則b＝－1，
f(x)＝2x＋2x－1，f(－1)＝－f(1)＝－3.
答案 D
2．已知定義在R上的奇函數，f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為 ( )．
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析 (構造法)構造函數f(x)＝sin x，則有f(x＋2)＝sin＝－sin x＝－f(x)，所以f(x)＝sin x是一個滿足條件的函數，所以f(6)＝sin 3π＝0，故選B.
答案 B
3．定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＝f(x＋2)，當x∈[3,5]時，f(x)＝2－|x－4|，則下列不等式一定成立的是 ( )．
A．f>f B．f(sin 1)
f(sin 2)
解析 當x∈[－1,1]時，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|，
顯然當x∈[－1,0]時，f(x)為增函數；當x∈[0,1]時，f(x)為減函數，cos＝－，sin ＝>，又f＝f>f，所以f>f.
答案 A
4．已知函數f(x)＝則該函數是 ( )．
A．偶函數，且單調遞增 B．偶函數，且單調遞減
C．奇函數，且單調遞增 D．奇函數，且單調遞減
解析 當x>0時，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；當x<0時，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．當x＝0時，f(0)＝0，故f(x)為奇函數，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上為增函數，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上為增函數，又x≥0時1－2－x≥0，x<0時2x－1<0，故f(x)為R上的增函數．
答案 C
5．已知f(x)是定義在R上的周期為2的周期函數，當x∈[0,1)時，f(x)＝4x－1，則f(－5.5)的值為( )
A．2 B．－1 C．－ D．1
解析 f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1.
答案 D
6．設函數D(x)＝則下列結論錯誤的是 ( )．
A．D(x)的值域為{0,1} B．D(x)是偶函數
C．D(x)不是周期函數 D．D(x)不是單調函數
解析 顯然D(x)不單調，且D(x)的值域為{0,1}，因此選項A、D正確．若x是無理數，－x，x＋1是無理數；若x是有理數，－x，x＋1也是有理數．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．則D(x)是偶函數，D(x)為周期函數，B正確，C錯誤．
答案 C
二、填空題
7．若函數f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數，則實數a＝________.
解析 由題意知，函數f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數，則f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.
答案 0
8．已知y＝f(x)＋x2是奇函數，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________.
解析 因為y＝f(x)＋x2是奇函數，且x＝1時，y＝2，所以當x＝－1時，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
答案 －1
9．設奇函數f(x)的定義域為[－5,5]，當x∈[0,5]時，函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則使函數值y＜0的x的取值集合為________．
解析 由原函數是奇函數，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關于坐標原點對稱，由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，得它在[－5,0]上的圖象，如圖所示．由圖象知，使函數值y＜0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5)．
答案 (－2,0)∪(2,5)
10． 設f(x)是偶函數，且當x>0時是單調函數，則滿足f(2x)＝f的所有x之和為________．
解析 ∵f(x)是偶函數，f(2x)＝f，
∴f(|2x|)＝f，
又∵f(x)在(0，＋∞)上為單調函數，
∴|2x|＝，
即2x＝或2x＝－，
整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，
設方程2x2＋7x－1＝0的兩根為x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的兩根為x3，x4.
則(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8.
答案 －8
三、解答題
11．已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數，且對任意x，y，f(x)都滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)判斷函數f(x)的奇偶性．
解 (1)因為對定義域內任意x，y，f(x)滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)，所以令x＝y(tǒng)＝1，得f(1)＝0，令x＝y(tǒng)＝－1，得f(－1)＝0.
(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數．
12．已知函數f(x)對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求證f(x)是奇函數；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
(1)證明 令x＝y(tǒng)＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，
則f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)為奇函數．
(2)解 任取x1＜x2，則x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)為減函數．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.
所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.
13.已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，且f(x)的圖象關于x＝1對稱，當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1，
(1)求證：f(x)是周期函數；
(2)當x∈[1,2]時，求f(x)的解析式；
(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(xx)的值．
解析 (1)證明 函數f(x)為奇函數，則f(－x)＝－f(x)，函數f(x)的圖象關于x＝1對稱，則f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數．
(2) 當x∈[1,2]時，2－x∈[0,1]，
又f(x)的圖象關于x＝1對稱，則f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．
(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1
又f(x)是以4為周期的周期函數．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(xx)
＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.
14．已知函數f(x)的定義域為R，且滿足f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求證：f(x)是周期函數；
(2)若f(x)為奇函數，且當0≤x≤1時，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 014]上的所有x的個數．
(1)證明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是以4為周期的周期函數．
(2)解 當0≤x≤1時，f(x)＝x，
設－1≤x≤0，則0≤－x≤1，
∴f(－x)＝(－x)＝－x.
∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.
故f(x)＝x(－1≤x≤1)．
又設1
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函數的奇偶性與周期性
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