2019-2020年高考數(shù)學二模試卷 文(含解析).doc
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2019-2020年高考數(shù)學二模試卷 文(含解析) 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,滿分50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(5分)集合{x∈Z|﹣1≤x≤1}的子集個數(shù)為() A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2.(5分)若復數(shù)z滿足(1﹣i)z=i,其中i為虛數(shù)單位,則在復平面上復數(shù)z對應的點位于() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.(5分)已知向量,,則向量與的夾角為() A. B. C. D. 4.(5分)由不等式組確定的平面區(qū)域記為M,若直線3x﹣2y+a=0與M有公共點,則a的最大值為() A. ﹣3 B. 1 C. 2 D. 4 5.(5分)某班有49位同學玩“數(shù)字接龍”游戲,具體規(guī)則按如圖所示的程序框圖執(zhí)行(其中a為座位號),并以輸出的值作為下一個輸入的值,若第一次 輸入的值為8,則第三次輸出的值為() A. 8 B. 15 C. 29 D. 36 6.(5分)不可能以直線作為切線的曲線是() A. y=sinx B. C. y=lnx D. y=ex 7.(5分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,則A=() A. B. C. D. 8.(5分)已知函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a),(a,b∈R),則“a=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的() A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既充分也不必要條件 9.(5分)已知a,b,c均為直線,α,β為平面,下面關(guān)于直線與平面關(guān)系的命題: (1)任意給定一條直線與一個平面α,則平面α內(nèi)必存在與a垂直的直線; (2)a∥β,β內(nèi)必存在與a相交的直線; (3)α∥β,a?α,b?β,必存在與a,b都垂直的直線; (4)α⊥β,α∩β=c,a?α,b?β,若a不垂直c,則a不垂直b. 其中真命題的個數(shù)為() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.(5分)若集合P具有以下性質(zhì): ①0∈P,1∈P; ②若x,y∈P,則x﹣y∈P,且x≠0時,∈P. 則稱集合P是“Γ集”,則下列結(jié)論不正確的是() A. 整數(shù)集Z是“Γ集” B. 有理數(shù)集Q是“Γ集” C. 對任意的一個“Γ集”P,若x,y∈P,則必有xy∈P D. 對任意的一個“Γ集”P,若x,y∈P,且x≠0,則必有 二、填空題:本大題共3小題,考生作答4小題,每小題5分,滿分15分.(一)必做題(11~13題) 11.(5分)已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a4=12,3a2=a5,則a6=. 12.(5分)用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機涂色,每個矩形只涂一種顏色,則相鄰兩個矩形涂不同顏色的概率是. 13.(5分)在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,過x軸上的一個動點P引圓C的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,則線段AB長度的取值范圍是. (二)選做題(14~15題,考生只能從中選做一題)【極坐標與參數(shù)方程選講】 14.(5分)(坐標系與參數(shù)方程選做題)在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標,曲線C的極坐標方程為,則直線l和曲線C的公共點有個. 【幾何證明選講】 15.如圖,AB是圓O的直徑,CD⊥AB于D,且AD=2BD,E為AD的中點,連接CE并延長交圓O于F,若CD=,則EF=. 三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16.(12分)已知函數(shù). (1)求的值; (2)求函數(shù)f(x)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間. 17.(12分)寒假期間,很多同學都喜歡參加“迎春花市擺檔口”的社會實踐活動,下表是今年某個檔口某種精品的銷售數(shù)據(jù). 日期 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 銷售量(件) 白天 35 32 43 39 51 晚上 46 42 50 52 60 已知攤位租金900元/檔,售余精品可以以進貨價退回廠家. (1)畫出表中10個銷售數(shù)據(jù)的莖葉圖,并求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù); 明年花市期間甲、乙兩位同學想合租一個攤位銷售同樣的精品,其中甲、乙分別承包白天、晚上的精品銷售,承包時間段內(nèi)銷售所獲利潤歸承包者所有.如果其它條件不變,以今年的數(shù)據(jù)為依據(jù),甲、乙兩位同學應如何分擔租金才較為合理? 18.(14分)如圖,平面ABCD⊥平面PAB,且四邊形ABCD為正方形,△PAB為正三角形,M為PD的中點,E為線段BC上的動點. (1)若E為BC的中點,求證:AM⊥平面PDE; (2)若三棱錐A﹣PEM的體積為,求正方形ABCD的邊長. 19.(14分)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,數(shù)列{an}滿足a1=a,,其中a<0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,若當且僅當n=4時,Tn取得最小值,求a的取值范圍. 20.(14分)已知橢圓E:過點(0,﹣1),且離心率為. (1)求橢圓E的方程; (2)如圖,A,B,D是橢圓E的頂點,M是橢圓E上除頂點外的任意一點,直線DM交x軸于點Q,直線AD交BM于點P,設BM的斜率為k,PQ的斜率為m,則點N(m,k)是否在定直線上,若是,求出該直線方程,若不是,說明理由. 21.(14分)設常數(shù)a>0,λ∈R,函數(shù)f(x)=x2(x﹣a)﹣λ(x+a)3. (1)若函數(shù)f(x)恰有兩個零點,求λ的值; (2)若g(λ)是函數(shù)f(x)的極大值點,求g(λ)的取值范圍. 廣東省佛山市xx高考數(shù)學二模試卷(文科) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,滿分50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(5分)集合{x∈Z|﹣1≤x≤1}的子集個數(shù)為() A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 考點: 子集與真子集. 專題: 集合. 分析: 先求出集合中的元素的個數(shù),從而求出集合的子集的個數(shù). 解答: 解:集合{x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1,0,1}, ∴子集的個數(shù)是23=8, 故選:D. 點評: 本題考查了集合的子集的個數(shù),若集合有n個元素,則集合的子集有2n個,本題屬于基礎題. 2.(5分)若復數(shù)z滿足(1﹣i)z=i,其中i為虛數(shù)單位,則在復平面上復數(shù)z對應的點位于() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考點: 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算. 專題: 數(shù)系的擴充和復數(shù). 分析: 直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,求出z的坐標得答案. 解答: 解:由(1﹣i)z=i,得, ∴在復平面上復數(shù)z對應的點的坐標為(),位于第二象限. 故選:B. 點評: 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復數(shù)的基本概念,是基礎題. 3.(5分)已知向量,,則向量與的夾角為() A. B. C. D. 考點: 平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角. 專題: 計算題;平面向量及應用. 分析: 根據(jù)平面向量的坐標運算求出兩向量的夾角即可. 解答: 解:向量,, ∴cosθ===﹣, 又θ∈[0,π), ∴向量與的夾角為. 故選:C. 點評: 本題考查了利用平面向量的坐標運算求向量夾角的應用問題,是基礎題目. 4.(5分)由不等式組確定的平面區(qū)域記為M,若直線3x﹣2y+a=0與M有公共點,則a的最大值為() A. ﹣3 B. 1 C. 2 D. 4 考點: 簡單線性規(guī)劃. 專題: 不等式的解法及應用. 分析: 作出不等式對應的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,通過平移即可求a的最大值. 解答: 解:作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖:(陰影部分). 由3x﹣2y+a=0得y=x+, 平移直線y=x+, 由圖象可知當直線y=x+經(jīng)過點A時,直線y=x+的截距最大, 此時a最大. 由得,即A(1,0), 代入3x﹣2y+a=0得3+a=0. 解得a=﹣3, 即a的最大值為﹣3. 故選:A 點評: 本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用圖象平行,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法. 5.(5分)某班有49位同學玩“數(shù)字接龍”游戲,具體規(guī)則按如圖所示的程序框圖執(zhí)行(其中a為座位號),并以輸出的值作為下一個輸入的值,若第一次 輸入的值為8,則第三次輸出的值為() A. 8 B. 15 C. 29 D. 36 考點: 程序框圖. 專題: 算法和程序框圖. 分析: 由已知中的程序框圖,可知該程序的功能是利用條件結(jié)構(gòu),計算并輸出變量a的值,模擬程序的運行過程,可得答案. 解答: 解:輸入a=8后,滿足進條件,則輸出a=15, 輸入a=15后,滿足條件,則輸出a=29, 輸入a=29后,不滿足條件,則輸出a=8, 故第三次輸出的值為8, 故選:A 點評: 本題考查的知識點是程序框圖,模擬運行法是解答此類問題常用的方法,要注意分析模擬過程中變量值的變化情況. 6.(5分)不可能以直線作為切線的曲線是() A. y=sinx B. C. y=lnx D. y=ex 考點: 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程. 專題: 導數(shù)的概念及應用;直線與圓. 分析: 分別求出導數(shù),設出切點,求出切線的斜率,令它們?yōu)?,解方程即可判斷是否可能? 解答: 解:對于A.y=sinx的導數(shù)為y′=cosx,令切點為(m,n),則cosm=,m存在,則A可能; 對于B.y=的導數(shù)為y′=﹣,令切點為(m,n),則﹣=,即m∈?,則B不可能; 對于C.y=lnx的導數(shù)為y′=,令切點為(m,n),則=,解得m=2,則C可能; 對于D.y=ex的導數(shù)為y′=ex,令切點為(m,n),則em=,則m=ln,則D可能. 故選B. 點評: 本題考查導數(shù)的運用:求切線的方程,主要考查導數(shù)的幾何意義:函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處切線的斜率,考查運算能力,屬于基礎題. 7.(5分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,則A=() A. B. C. D. 考點: 余弦定理;正弦定理. 專題: 解三角形. 分析: 由條件利用正弦定理、誘導公式、兩角和的正弦公式求得cosA=,可得A的值. 解答: 解:△ABC中,由,利用正弦定理可得( sinC﹣sinB)cosA=sinAcosB, 即sinC?cosA=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC,∴cosA=,∴A=, 故選:C. 點評: 本題主要考查正弦定理的應用,誘導公式、兩角和的正弦公式,屬于基礎題. 8.(5分)已知函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a),(a,b∈R),則“a=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的() A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既充分也不必要條件 考點: 必要條件、充分條件與充要條件的判斷. 專題: 簡易邏輯. 分析: 根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合偶函數(shù)的定義進行判斷即可. 解答: 解:f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+a(2+b)x+2a2, 若a=0,則f(x)=bx2,為偶函數(shù), 若f(x)為偶函數(shù),則f(﹣x)=f(x), 則bx2﹣a(2+b)x+2a2=bx2+a(2+b)x+2a2, 即﹣a(2+b)=a(2+b), 即a(2+b)=0,解得a=0或b=﹣2,即必要性不成立, 即“a=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的充分不必要條件, 故選:A 點評: 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵. 9.(5分)已知a,b,c均為直線,α,β為平面,下面關(guān)于直線與平面關(guān)系的命題: (1)任意給定一條直線與一個平面α,則平面α內(nèi)必存在與a垂直的直線; (2)a∥β,β內(nèi)必存在與a相交的直線; (3)α∥β,a?α,b?β,必存在與a,b都垂直的直線; (4)α⊥β,α∩β=c,a?α,b?β,若a不垂直c,則a不垂直b. 其中真命題的個數(shù)為() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考點: 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系. 專題: 空間位置關(guān)系與距離. 分析: 利用空間線面關(guān)系性質(zhì)定理和判定定理對選項分別分析解答. 解答: 解:對于(1),任意給定一條直線與一個平面α,如果線面垂直,顯然命題成立;如果線面不垂直,則直線在平面內(nèi)必垂直射影,在平面一定能找到一條直線與射影垂直,根據(jù)射影定理,命題也成立;故任意給定一條直線與一個平面α,則平面α內(nèi)必存在與a垂直的直線是正確的; 對于(2),a∥β,則直線與平面內(nèi)直線一定沒有交點,所以β內(nèi)不存在與a相交的直線;故(2)錯誤; 對于(3),α∥β,a?α,b?β,與兩個平面垂直的直線,與直線a,b垂直,故必存在與a,b都垂直的直線;所以(3)正確; 對于(4),α⊥β,α∩β=c,a?α,b?β,若a不垂直c,則a不垂直于平面β,但是直線a可能與直線b垂直;故(4)錯誤; 故選:B. 點評: 本題考查了空間線面關(guān)系性質(zhì)定理和判定定理的運用,注意考慮特殊情況. 10.(5分)若集合P具有以下性質(zhì): ①0∈P,1∈P; ②若x,y∈P,則x﹣y∈P,且x≠0時,∈P. 則稱集合P是“Γ集”,則下列結(jié)論不正確的是() A. 整數(shù)集Z是“Γ集” B. 有理數(shù)集Q是“Γ集” C. 對任意的一個“Γ集”P,若x,y∈P,則必有xy∈P D. 對任意的一個“Γ集”P,若x,y∈P,且x≠0,則必有 考點: 命題的真假判斷與應用. 專題: 簡易邏輯. 分析: A.當x=2時,?Z,即可判斷出正誤; B.?x,y∈P,則x﹣y∈P,且x≠0時,∈P,即可判斷出正誤; C.由已知可得:?x,y∈P,則x﹣y∈P,可得x+y∈P.若x,y中有0或1時,顯然xy∈P.下設x,y均不為0,1.由定義可知:x﹣1,,∈P.可得∈P.從而得到x2∈P.2xy=(x+y)2﹣x2﹣y2∈A.于是∈P.=∈P,可得 xy∈P. D.對任意的一個“Γ集”P,若x,y∈P,且x≠0,則∈P,由C可知:必有=,即可判斷出正誤. 解答: 解:A.當x=2時,?Z,所以整數(shù)集Z不是“Γ集”; B.?x,y∈P,則x﹣y∈P,且x≠0時,∈P,因此有理數(shù)集Q是“Γ集”; C.由已知可得:?x,y∈P,則x﹣y∈P,取x=0,可得﹣y∈P,∴x﹣(﹣y)=x+y∈P. 若x,y中有0或1時,顯然xy∈P. 下設x,y均不為0,1.由定義可知:x﹣1,,∈P.∴∈A,即∈P.∴x(x﹣1)∈P.因此x(x﹣1)+x∈P,即x2∈P. 同理可得y2∈P.若x+y=0或x+y=1,則顯然(x+y)2∈P.若x+y≠0,或x+y≠1,則(x+y)2∈P.∴2xy=(x+y)2﹣x2﹣y2∈A.∴∈P.=∈P, ∴xy∈P.即C為真命題. D.對任意的一個“Γ集”P,若x,y∈P,且x≠0,則∈P,由C可知:必有=,因此正確. 綜上可知:只有A不正確. 故選:A. 點評: 本題考查了新定義、集合的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于難題. 二、填空題:本大題共3小題,考生作答4小題,每小題5分,滿分15分.(一)必做題(11~13題) 11.(5分)已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a4=12,3a2=a5,則a6=11. 考點: 等差數(shù)列的通項公式. 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 由題意可得首項和公差的方程組,解方程組由等差數(shù)列的通項公式可得. 解答: 解:設等差數(shù)列{an}的公差為d, ∵a3+a4=12,3a2=a5, ∴2a1+5d=12,3(a1+d)=a1+4d, 聯(lián)立解得a1=1,d=2, ∴a6=a1+5d=11 故答案為:11 點評: 本題考查等差數(shù)列的通項公式,涉及方程組的解法,屬基礎題. 12.(5分)用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機涂色,每個矩形只涂一種顏色,則相鄰兩個矩形涂不同顏色的概率是. 考點: 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 專題: 概率與統(tǒng)計. 分析: 所有可能的基本事件共有8個,相鄰兩個矩形涂不同顏色的有2種情況,即得答案. 解答: 解:記兩種不同的顏色分別為1,2,則所有可能的基本事件共有8個, 如圖所示. 記“相鄰兩個矩形涂不同顏色”為事件A,由圖知, 事件A的基本事件有2個,所以P(A)=. 故答案為:. 點評: 本題考查分步計數(shù)的原理的運用,屬基礎題. 13.(5分)在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,過x軸上的一個動點P引圓C的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,則線段AB長度的取值范圍是[,2). 考點: 圓的切線方程. 專題: 直線與圓. 分析: 利用直線和圓的位置關(guān)系,以及數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論. 解答: 解:圓心C(1,2),半徑R=1, 要使AB長度最小,則∠ACB最小,即∠PCB最小, 即PC最小即可, 則當P位于P(1,0)時,滿足條件, 此時CP=2,則∠PCB=60,∠ACB=120,即AB=, 當點P在x軸正半軸或者負半軸上無限取值時,∠ACO→180, 此時AB→直徑2, 故≤AB<2, 故答案為:[,2) 點評: 本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)的應用,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強,有一定的難度. (二)選做題(14~15題,考生只能從中選做一題)【極坐標與參數(shù)方程選講】 14.(5分)(坐標系與參數(shù)方程選做題)在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標,曲線C的極坐標方程為,則直線l和曲線C的公共點有1個. 考點: 簡單曲線的極坐標方程;直線的參數(shù)方程. 專題: 直線與圓. 分析: 把參數(shù)方程化為普通方程,得到方程表示一條直線.把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程,表示一個圓.圓心到直線的距離等于半徑,可得直線和圓相切,從而得到結(jié)論. 解答: 解:把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去參數(shù)化為直角坐標方程為 x﹣y+4=0,表示一條直線. 曲線C的極坐標方程為,即 ρ2=4ρ(+),即 x2+y2=4y+4x, 即 (x﹣2)2+(y﹣2)2=8,表示以(2,2)為圓心,以r=2為半徑的圓. 圓心到直線的距離等于 d==2=半徑r,故直線和圓相切,故直線l和曲線C的公共點的個數(shù)為 1, 故答案為 1. 點評: 本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法,把極坐標方程化為直角坐標方程的方法,點到直線的距離公式的應用,直線和圓的位置關(guān)系的判定,屬于基礎題. 【幾何證明選講】 15.如圖,AB是圓O的直徑,CD⊥AB于D,且AD=2BD,E為AD的中點,連接CE并延長交圓O于F,若CD=,則EF=. 考點: 與圓有關(guān)的比例線段;相似三角形的性質(zhì). 專題: 選作題;推理和證明. 分析: AB是圓O的直徑,可得∠ACB=90.利用射影定理可得CD2=AD?DB.已知AD=2DB,得DB=1,已知E為AD的中點,可得ED=1.在Rt△CDE中,利用勾股定理可得CE.利用△ACE∽△FBE可得:EA?EB=EC?EF,即可求得EF. 解答: 解:在Rt△ABC中,CD⊥AB于D,∴CD2=AD?BD=2BD2=2, ∴DB=1, ∵E為AD的中點, ∴AE=ED=1, ∴, 又△ACE∽△FBE,∴. 故答案為:. 點評: 熟練掌握圓的性質(zhì)、射影定理、勾股定理、相交弦定理是解題的關(guān)鍵. 三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16.(12分)已知函數(shù). (1)求的值; (2)求函數(shù)f(x)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間. 考點: 三角函數(shù)中的恒等變換應用;正弦函數(shù)的圖象. 專題: 三角函數(shù)的求值;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 分析: (1)首先利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù),進一步求出函數(shù)的值. (2)利用正弦型函數(shù)的解析式,進一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域,最后利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解答: 解:(1) =2() =2sin(2x+), 所以:f()=2sin(π+)=﹣. (2)由于:x∈R,且f(x)=2sin(2x+), 所以函數(shù)的值域為:f(x)∈[﹣2,2]. 令: 整理得:,(k∈Z) 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為:[](k∈Z) 點評: 本題考查的知識要點:三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換,利用正弦型函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域,利用整體思想求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.主要考查學生的應用能力. 17.(12分)寒假期間,很多同學都喜歡參加“迎春花市擺檔口”的社會實踐活動,下表是今年某個檔口某種精品的銷售數(shù)據(jù). 日期 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 銷售量(件) 白天 35 32 43 39 51 晚上 46 42 50 52 60 已知攤位租金900元/檔,售余精品可以以進貨價退回廠家. (1)畫出表中10個銷售數(shù)據(jù)的莖葉圖,并求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù); 明年花市期間甲、乙兩位同學想合租一個攤位銷售同樣的精品,其中甲、乙分別承包白天、晚上的精品銷售,承包時間段內(nèi)銷售所獲利潤歸承包者所有.如果其它條件不變,以今年的數(shù)據(jù)為依據(jù),甲、乙兩位同學應如何分擔租金才較為合理? 考點: 莖葉圖;眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù). 專題: 計算題;概率與統(tǒng)計. 分析: (1)以十位數(shù)為莖,個位數(shù)為葉,畫出莖葉圖, 根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),計算中位數(shù)與平均數(shù)即可; (2)計算今年花市期間白天與晚上的平均銷售量,按此比例收取甲、乙二同學的租金比較合理. 解答: 解:(1)以十位數(shù)為莖,個位?數(shù)為葉,畫出莖葉圖,如圖所示; 這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是=44.5, 平均數(shù)是=45; (2)由題意,今年花市期間該攤位所售精品的銷售量與時間段有關(guān), 明年合租攤位的租金較為合理的分攤方法是根據(jù)今年的平均銷售量按比例分擔, 因為今年白天的平均銷售量為=40(件/天), 今年晚上的平均銷售量為=50(件/天); 所以甲同學應分擔的租金為900=400(元), 乙同學應分擔的租金為900=500(元). 點評: 本題考查了莖葉圖的應用問題,也考查了中位數(shù)與平均數(shù)的計算問題,是基礎題目. 18.(14分)如圖,平面ABCD⊥平面PAB,且四邊形ABCD為正方形,△PAB為正三角形,M為PD的中點,E為線段BC上的動點. (1)若E為BC的中點,求證:AM⊥平面PDE; (2)若三棱錐A﹣PEM的體積為,求正方形ABCD的邊長. 考點: 棱柱、棱錐、棱臺的體積;直線與平面垂直的判定. 專題: 空間位置關(guān)系與距離. 分析: (1)取AP的中點O,連接MO,BO.又DM=MP,利用正方形的性質(zhì)與三角形中位線定理可得:四邊形MOBE為平行四邊形,EM∥OB.由△PAB為正三角形,可得BO⊥AP,利用面面線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得:AD⊥平面ABP,得到AD⊥OB,因此OB⊥平面PAD,OB⊥AM,.由AP=AD,M為PD的中點,可得AM⊥PD.即可證明:AM⊥平面PDE; (2)BC∥AD,可得:BC∥平面PAD.由(I)可知:OB⊥平面PAD,故OB為三棱錐E﹣APM的高,設正方形ABCD的邊長為a,利用VE﹣APM=?OB=.又VE﹣APM=VA﹣EPM,即可解出. 解答: (1)證明:取AP的中點O,連接MO,BO.又DM=MP, ∴,又, ∴, ∴四邊形MOBE為平行四邊形, ∴EM∥OB. ∵△PAB為正三角形,∴BO⊥AP, 由四邊形ABCD為正方形,∴AD⊥AB, ∵平面ABCD⊥平面ABP,平面ABCD∩平面ABP=AB,AD?平面ABCD, ∴AD⊥平面ABP,OB?平面PAB,∴AD⊥OB, 又PA∩AD=A,∴OB⊥平面PAD. 又AM?平面PAD,∴OB⊥AM,即EM⊥AM. 又AP=AD,M為PD的中點,∴AM⊥PD. 又EM∩PD=M,∴AM⊥平面PDE; (2)解:BC∥AD,BC?平面PAD,AD?平面PAD. ∴BC∥平面PAD.由(I)可知:OB⊥平面PAD,故OB為三棱錐E﹣APM的高, 設正方形ABCD的邊長為a,則VE﹣APM=?OB==. 又VE﹣APM=VA﹣EPM,∴,解得a=3. 即正方形的邊長a=2. 點評: 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、正方形與正三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式,考查了空間想象能力、推理能力與計算能力,屬于中檔題. 19.(14分)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,數(shù)列{an}滿足a1=a,,其中a<0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,若當且僅當n=4時,Tn取得最小值,求a的取值范圍. 考點: 數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式. 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: (1)由,其中a<0,利用遞推式可得:.利用等比數(shù)列的通項公式即可得出. (2)=+n﹣1,又a<0,可得數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列.由當且僅當n=4時,Tn取得最小值,可得T3>T4,T4<T5,可得b4<0,b5>0.解出即可. 解答: 解:(1)由,其中a<0, ∴當n≥2時,, ∴an=(2n﹣1)an﹣(2n﹣1﹣1)an﹣1,化為. ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項為a,公比為, ∴. (2)=+n﹣1,又a<0, ∴數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列. 當且僅當n=4時,Tn取得最小值, ∴T3>T4,T4<T5, 解得b4<0,b5>0. 又當b4<0,b5>0時,數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列,可知:Tn取得最小值時,n=4. 即當且僅當n=4時,Tn取得最小值的充要條件為當b4<0,b5>0. 由b4<0,b5>0,解得﹣64<a<﹣24, ∴a的取值范圍是(﹣64,﹣24). 點評: 本題考查了等比數(shù)列的定義通項公式、數(shù)列的單調(diào)性、對數(shù)的運算性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題. 20.(14分)已知橢圓E:過點(0,﹣1),且離心率為. (1)求橢圓E的方程; (2)如圖,A,B,D是橢圓E的頂點,M是橢圓E上除頂點外的任意一點,直線DM交x軸于點Q,直線AD交BM于點P,設BM的斜率為k,PQ的斜率為m,則點N(m,k)是否在定直線上,若是,求出該直線方程,若不是,說明理由. 考點: 橢圓的簡單性質(zhì). 專題: 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: (1)由已知得b和,結(jié)合隱含條件a2=b2+c2求得a,b的值,則橢圓方程可求; (2)由題意求出A,B,D的坐標,得到直線AD的方程,再設出直線BP方程,聯(lián)立兩直線方程求得P的坐標,聯(lián)立直線BP的方程與橢圓方程求得M的坐標,再由M,D,Q三點共線求得Q的坐標,代入兩點求斜率公式得到直線PQ的斜率,整理后即可得到關(guān)于k,m的等式,則可求得點N(m,k)所在定直線方程. 解答: 解:(1)依題意,b=1,,又a2=b2+c2, ∴3a2=4c2=4(a2﹣b2)=4a2﹣4,即a2=4. ∴橢圓E的方程為:; (2)由(1)知,A(﹣2,0),B(2,0),D(0,1), ∴直線AD的方程為y=, 由題意,直線BP的方程為y=k(x﹣2),k≠0且k, 由,解得P(), 設M(x1,y1),則由,消去y整理得(4k2+1)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0. ∴,即,. 即M(), 設Q(x2,0),則由M,D,Q三點共線得:kDM=kDQ,即, ∴,則, ∴PQ的斜率m=. ∴2k+1=4m,即點N(m,k)在定直線4x﹣2y﹣1=0上. 點評: 本題考查了橢圓方程的求法,考查了橢圓的簡單性質(zhì),訓練了直線和圓錐曲線位置關(guān)系的應用,(2)的求解著重體現(xiàn)了“舍而不求”和整體運算思想方法,屬中高檔題. 21.(14分)設常數(shù)a>0,λ∈R,函數(shù)f(x)=x2(x﹣a)﹣λ(x+a)3. (1)若函數(shù)f(x)恰有兩個零點,求λ的值; (2)若g(λ)是函數(shù)f(x)的極大值點,求g(λ)的取值范圍. 考點: 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值;函數(shù)零點的判定定理;利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性. 專題: 計算題;分類討論;函數(shù)的性質(zhì)及應用;導數(shù)的綜合應用. 分析: (1)分類討論,當λ=1時,f(x)=x2(x﹣a)﹣(x+a)3=﹣a(4x2+3ax+a2);由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷;當λ≠1時,則必有一個零點是極值點;不妨設該零點為x0, 從而可得f(x0)=x02(x0﹣a)﹣λ(x0+a)3=0,再求導得f′(x0)=3x02﹣2ax0﹣3λ(x0+a)2=0,從而解得x0=0或x0=;再檢驗即可; (2)求導f′(x)=3x2﹣2ax﹣3λ(x+a)2=3(1﹣λ)x2﹣2a(1+3λ)x﹣3λa2,分類討論; ①當λ=1時,f′(x)=﹣8ax﹣3a2;從而確定極大值點g(λ)=﹣a; ②當λ≠1時,1﹣λ≠0,令△=4a2(1+3λ)2+36(1﹣λ)λa2=4a2(1+15λ),討論二次項系數(shù)及判斷式的正負以確定f′(x)的正負,從而確定極大值點g(λ);可得λ>﹣且λ≠1時,g(λ)=a;再利用換元法令=t,則λ=,(t>0且t≠4);從而得g(λ)=h(t)=a;從而求取值范圍. 解答: 解:(1)當λ=1時,f(x)=x2(x﹣a)﹣(x+a)3 =﹣a(4x2+3ax+a2); ∵﹣a<0,△=(3a)2﹣16a2=﹣7a2<0, ∴f(x)<0恒成立;故沒有零點; 當λ≠1時,函數(shù)f(x)恰有兩個零點; 則必有一個零點是極值點; 不妨設該零點為x0, 則f(x0)=x02(x0﹣a)﹣λ(x0+a)3=0, 即x02(x0﹣a)=λ(x0+a)3,① 又f′(x)=3x2﹣2ax﹣3λ(x+a)2 故f′(x0)=3x02﹣2ax0﹣3λ(x0+a)2=0,② 由①②化簡可得, x0=0或x0=; 經(jīng)檢驗,當x0=0時成立,此時λ=0; 當x0=時也成立,此時λ=﹣; 故λ=0或λ=﹣; (2)∵f′(x)=3x2﹣2ax﹣3λ(x+a)2 =3(1﹣λ)x2﹣2a(1+3λ)x﹣3λa2; ①當λ=1時,f′(x)=﹣8ax﹣3a2; 則x<﹣a時,f′(x)>0,x>﹣a時,f′(x)<0; 故g(λ)=﹣a; ②當λ≠1時,1﹣λ≠0,令△=4a2(1+3λ)2+36(1﹣λ)λa2=4a2(1+15λ), (i)當λ≤﹣時,1﹣λ>0且△≤0,故f′(x)≥0, 函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無極值點; (ii)當﹣<λ<1時,1﹣λ>0且△>0, 由f′(x)=0解得, x1=a,x2=a; 注意到x1<x2,且x<x1時,f′(x)>0,x1<x<x2時,f′(x)<0,x>x2時,f′(x)>0; 故g(λ)=a; (iii)當λ>1時,1﹣λ<0且△>0, 由f′(x)=0解得, x1=a,x2=a; 注意到x1>x2,且x<x2時,f′(x)<0,x2<x<x1時,f′(x)>0,x>x1時,f′(x)<0; 故g(λ)=a; 綜上所述,λ>﹣且λ≠1時, g(λ)=a; 令=t,則λ=,(t>0且t≠4); 將λ=代入g(λ)=a得, g(λ)=h(t)=a; 當λ=1時,t=4,g(λ)=﹣a,上式也成立; ∵h(t)=a=(﹣1+)a是(0,+∞)上的減函數(shù), 由t>0得﹣a<h(t)<, 即g(λ)的取值范圍是(﹣a,). 點評: 本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的思想應用,本題難點在于分類討論的情況比較多,討論的依據(jù)也比較多,屬于難題.- 配套講稿:
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