概率、隨機變量及分布列(一)

概率、隨機變量及分布列（一）一.知識回顧：1隨機事件的概率(1)隨機事件的概率范圍：0P(A)1；必然事件的概率為_；不可能事件的概率為_.(2)古典概型的概率：P(A)_. (3)幾何概型的概率：P(A)_.2離散型隨機變量的分布列：設(shè)離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則稱表Xx1x2xixnPp1p2pipn為離散型隨機變量X的概率分布列，它具有的性質(zhì)：（1）pi_0，i1,2，n；pi_（2）離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的_3離散型隨機變量的數(shù)字特征：（1）E(X)_為X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望)（2）D(X)_叫做隨機變量X的方差性質(zhì) : E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)；X10Ppq4.特殊分布（1）二點分布：如果隨機變量X的分布列為其中0<p<1，q1p，則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的_E(X)_ D(X)_（2）超幾何分布列:在含有M件次品數(shù)的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率為P(Xk)_，(k0,1,2，m)，其中mminM，n，且nN，MN，n、M、NN*.隨機變量X的分布列具有以下表格的形式X01mP則稱隨機變量X服從超幾何分布E(X)_二.典例分析：例1. (1)在1,2,3,4共4個數(shù)字中，任取兩個數(shù)字(允許重復(fù))，其中一個數(shù)字是另一個數(shù)字的2倍的概率是_(2)在區(qū)間3,3上隨機取一個數(shù)x，使得函數(shù)f(x)1有意義的概率為_例2. 一個袋子中裝有7個小球，其中紅球4個, 從袋子中任取4個小球(1)求取出紅球個的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）若紅球的編號分別為1,2,3,4，剩下3個黃球，編號分別為2,4,6求取出的小球中有相同編號的概率；記取出的小球的最大編號為Y，求隨機變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望課后作業(yè)：1. 從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點M(x，y)，則點M落在陰影部分的概率為_2在一次教師聯(lián)歡會上，到會的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機挑選一人表演節(jié)目若選到男教師的概率為，則參加聯(lián)歡會的教師共有_人3.在集合x|x，n1,2,3，10中任取一個元素，所取元素恰好滿足方程cos x的概率是_101P12qq24. 設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為則q的值為()A1 B1 C1 D15.若某一射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)X7”的概率是_6.在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示.通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).7某家電產(chǎn)品受在保修期內(nèi)維修費等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每件的利潤(單位:百元)與該產(chǎn)品首次出現(xiàn)故障的時間(單位:年)有關(guān).某廠家生產(chǎn)甲、乙兩種品牌,保修期均為2年.現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌家電中各隨機抽取50件,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時間x0<x11<x2x>20<x2x>2數(shù)量2345545每件利潤1231.82.9將頻率視為概率,解答下列問題:(1)從該廠生產(chǎn)的甲、乙品牌產(chǎn)品中隨機各抽取一件,求其至少有一件首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;(2)若該廠生產(chǎn)的家電均能售出,記生產(chǎn)一件甲品牌家電的利潤為X1,生產(chǎn)一件乙品牌家電的利潤為X2,分別求X1,X2的分布列;(3)該廠預(yù)計今后這兩種品牌家電銷量相當(dāng),由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌的家電.若從經(jīng)濟效益的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的家電?說明理由.答案：例1. （1） （2）例2 （2）(1)設(shè)取出的小球中有相同編號的事件為A，編號相同可分成一個相同和兩個相同P(A).(2)隨機變量X的可能取值為3,4,6.P(X3)，P(X4)，P(X6).所以隨機變量X的分布列為X346P所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)346.課后作業(yè)：1. 2. 120 3. 50.886. 9.解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=C84C105=518.(2)由題意知X可取的值為:0,1,2,3,4,則P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C64C41C105=521,P(X=2)=C63C42C105=1021,P(X=3)=C62C43C105=521,P(X=4)=C61C44C105=142.因此X的分布列為X01234P1425211021521142X的數(shù)學(xué)期望是E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1521+21021+3521+4142=2.7. 解(1)設(shè)“甲、乙品牌家電至少有一件首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A,則P(A)=1-45504550=19100.(2)依題意得,X1的分布列為X1123P125350910X2的分布列為X21.82.9P110910(3)由(2)得E(X1)=1125+2350+3910=14350=2.86(百元),E(X2)=1.8110+2.9910=2.79(百元).因為E(X1)>E(X2),所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌家電.