《常微分方程》答案_習(xí)題4.2

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1、 習(xí)題4.2 1. 解下列方程 （1） 解：特征方程 故通解為x= (2) 解：特征方程 有三重根 故通解為x= （3） 解：特征方程 有三重根，2，-2 故通解為 （4） 解：特征方程有復(fù)數(shù)根-1+3i,-1-3i 故通解為 (5) 解：特征方程有復(fù)數(shù)根 故通解為 (6) 解：特征方程有根a,-a 當(dāng)時(shí)，齊線性方程的通解為s= 代入原方程解得 故通解為s=- 當(dāng)a=0時(shí),代入原方程解得 故通解為s=- (7) 解：特征方程有根2,兩重根1 齊線性方程的通解為x= 又因?yàn)?不

2、是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解為x=-4-t (8) 解：特征方程 故齊線性方程的通解為x= 取特解行如代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解為x=+ (9) 解：特征方程有復(fù)數(shù)根 故齊線性方程的通解為 取特解行如代入原方程解得A= 故通解為 (10) 解：特征方程有根-2,1 故齊線性方程的通解為x= 因?yàn)?-2i不是特征根 取特解行如代入原方程解得A= 故通解為x= （11） 解：特征方程有復(fù)數(shù)根 故齊線性方程的通解為 1是特征方程的根，故代入原方程解得A= 故通解為+ （12） 解：特征方程

3、有2重根-a 當(dāng)a=-1時(shí)，齊線性方程的通解為s=, 1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A= 通解為s=, 當(dāng)a-1時(shí)，齊線性方程的通解為s=, 1不是特征方程的根，故代入原方程解得A= 故通解為s=+ （13） 解：特征方程有根-1,-5 故齊線性方程的通解為x= 2不是特征方程的根，故代入原方程解得A= 故通解為x=+ （14） 解：特征方程有根-1+i,-1-i 故齊線性方程的通解為 不是特征方程的根, 取特解行如代入原方程解得A= 故通解為+ (15) 解：特征方程有根i,- i 故齊線性方程的通解為 ,i,是方程的解 代入原方程解得

4、A= B=0 故 代入原方程解得 A= B=0 故 故通解為 習(xí) 題 6-1 1． 求出齊次線性微分方程組 的通解，其中A（t）分別為： （1） ；（2） ；（3）。 （1）方程組的分量形式為： ， 從后一式容易求出的通解為 ，其中K為任意常數(shù)，可分別取和 ，代入前一式得到兩個(gè)相應(yīng)的特解，和 這樣就求得方程組的一個(gè)解矩陣為 又 。因此，是方程組的一個(gè)基解矩陣，根據(jù)定理6.1 ,方程的通解為 ① ② （2）方程的分量形式為 由①、②可和 由觀察法知，，為此方程的兩個(gè)特解，將其代入②式可得兩個(gè)相應(yīng)的特解，將其代

5、入②式可得兩個(gè)相應(yīng)的特解：，。這樣就求得方程組的一個(gè)解矩陣為 又 ，因此中方程組的一個(gè)基解矩陣。故方程組的通解為 ③ ② ① （3）程組的分量形式為： 解 ①+③得 解 ①-③得 解之得 由④、⑤可得 又由②得 由此可求得方程組的一個(gè)解矩陣 顯然，，因此是方程組的一個(gè)基解矩陣，故方程組的通解為 3．試證向量函數(shù)組 ， ， 在任意區(qū)間 上線性相關(guān)，則存在不全為零的三個(gè)常數(shù) 使得 即 ①而①式之左端是一個(gè)不高于二次的多項(xiàng)式，它最多只可能有二個(gè)零點(diǎn)，同此這與①式在上恒等于零矛盾，從而得證。 4．試證基解矩陣完全決定

6、齊次線性方程組即如果方程組 與 有一個(gè)相同的基解矩陣，則 證：設(shè)這兩個(gè)方程組的相同基解矩陣為 那么，必有 ,故可逆,設(shè)逆矩陣為,同而 證畢 6．設(shè)當(dāng)時(shí)，非齊次線性方程組 （1）中的不恒為零。證明（1）有且至多有 n+1個(gè)線性無關(guān)解。 證 設(shè)是方程組（1）的相應(yīng)齊次方程組的n個(gè)線性無關(guān)的解，是（1）任意一個(gè)特解，則 是(1)的n+1個(gè)線性無關(guān)解.這是因?yàn)?若存在常數(shù) 使得 則一定有 否則有 這與為(1)的解矛盾，因此， 假設(shè)可知 故，所以（1）n+1個(gè)線性無關(guān)的解。 又設(shè) 是（1）在(a,b)上的任一解，是（1）的n+1個(gè)線性無關(guān)的解，

7、那么， 是(1)的對(duì)應(yīng)齊次方程組 （2） 的解，而（2）最多有n個(gè)線性無關(guān)的解，所以必存在不全為零的常數(shù) 使得 即 顯然，， 否則，存在不全為零的常數(shù) 使得 這與線性無關(guān)矛盾，故 這說明（1）的任一解，都可由這n+1個(gè)線性無關(guān)的解的線性表出，同時(shí)也說明（1）的任意n+2個(gè)解線性相關(guān)，故方程組（1）在（a，b）上至多有n+1個(gè)線性無關(guān)解。 習(xí)題6—2 1． 求出常系數(shù)齊次性微分方程組的通解，其中的矩陣A分別為 1） 2）

8、3） 4） 5） 解：1） 特征方程 即 矩陣A有特征根， 對(duì)應(yīng)于所有的特征向量滿足即。取，則 那么對(duì)應(yīng)的實(shí)值解為； 對(duì)應(yīng)的特征向量滿足即，取，則，那么對(duì)應(yīng)的實(shí)值解為 。于是該方程組的通解為 2）特征方程為 即 矩陣A有特征根 對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 取，則 即么對(duì)應(yīng)的特解為 由此得所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特解為（對(duì)2X2的方程組取一個(gè)特解的實(shí)部和虛部就可，因?yàn)樘摳际浅蓪?duì)出現(xiàn)的。） 它們?cè)谏暇€性無關(guān)，故得方程組的通解： 3

9、） 即 矩陣A有特征根 ，。 對(duì)應(yīng)于 ，特征向量應(yīng)滿足 又（只能進(jìn)行行變換） 因此與相應(yīng)的特征向量可取為， 對(duì)于二重特征根，可以算出 因此，方程 有二個(gè)線性無關(guān)的解為 ， 注意到，就可得到 從而可行基解矩陣 因此所求通解為 ，即 4）特征方程 即 矩陣A有特征根：，， 對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 解之得 取 則 故相應(yīng)的解為 相應(yīng)于 的特征向量應(yīng)滿足 取 ，， 那么對(duì)應(yīng)的復(fù)解為 分別取實(shí)

10、部，部可得方程組的兩個(gè)實(shí)解 , 易知它們?cè)谏鲜蔷€性無關(guān)的，于是方程組的通解為 5）特征方程為 矩陣A的特征根為， 對(duì)應(yīng)于，相應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 可以算出 解之得， 則那么相應(yīng)的解為 對(duì)應(yīng)于三重特征根，可以算出 因此，方程有三個(gè)線性無關(guān)解為 ， ， 注意到，可得 由以上結(jié)果，可得方程組的一個(gè)基解矩陣 因此所求方程組的通解為 或 2．求出常系數(shù)非齊次線性方程組，的通解，其中： 3），； 4）， ； 5）， 。 3）解先求對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解 特征方程 ，特征根為 對(duì)于

11、二重特征根，可以算出 因此方程 有二個(gè)線性無關(guān)的解 由此可得齊次線性方程組的一個(gè)基解矩陣 故非齊次方程組的通解為 容易求出 故 于是非齊次方程組的通解為 4）先求對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解 特征方程為 特征根為 ， ， 對(duì)應(yīng)于的特征向量為 對(duì)應(yīng)于的特征向量為應(yīng)滿足 解之得 ，令，則 其相應(yīng)的復(fù)值解為： 分別取實(shí)部和虛部，可得齊次方程組的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)解, 從而可得齊次方程組的一個(gè)基解矩陣 容易求得 這個(gè)矩陣的逆的算法： 這里是只能通過行變換將

12、矩陣先變成下三角，再變成對(duì)角陣即可。自己認(rèn)真算，我都能算對(duì)，大家一定可以的，復(fù)習(xí)高等代數(shù)了。 我仔細(xì)算了一下，要是將齊次方程的通解寫出來，再用常數(shù)變易法求出特解方程組的階數(shù)高的時(shí)候比求矩陣的逆還復(fù)雜，所以還是建議大家用求矩陣的逆的方法來算吧。 故 則 所以非齊次線性方程組的通解為 (5)先求對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解 特征方程 特征方程根為 。對(duì)于三重特重根 ，可以算出 因此方程 有三個(gè)線性無關(guān)的解 ， ，，， 由此可得齊次線性方程的一個(gè)基解矩陣 從而容易求得 又 故

13、故非齊次線性方程組的通解為 由于特征向量取的不同，結(jié)果肯能也不一樣。但是課本答案出現(xiàn)肯定是不正確的。 3．求出微分方程組 滿足初值條件 的解，其中： （1）， ， ； （2）， ， ； （3）， ， 解 （1）齊次方程組的特征方程為 特征根 ： 對(duì)于二重特征根 ，可以算出 同此方程 有二個(gè)線性無關(guān)解， 由此可得齊次方程組的一個(gè)基解矩陣 從而可求得 故 所以 故非齊次線性方程組的通解為 由初始條件

14、 解之得 ， 故初值問題的解為 （2）齊次方程組的特征方程為 特征根為 ， 對(duì)應(yīng) 的特征向量應(yīng)滿足 取，則 故 從而可得齊次方程組的一個(gè)基解矩陣 容易求得 而 又 故非齊次線性方程的通解為 由初始條 有 解之得 故初值問題的解為 或 (3) 齊次方程組的特征方程為 特征根 對(duì)應(yīng) 的特征向量應(yīng)滿足 取 ,則 那么相應(yīng)的解為 對(duì)應(yīng) 的特征向量應(yīng)滿足 , 取 ,則 那么相應(yīng)的解為 從而得齊

15、次線性方程組的基解矩陣為 容易求得 由于 又 故非齊線性方程組通解為 由初值條件 ，得 解之得 因此值問題解為 或 4.證明:常系數(shù)齊次方程組 的任何解當(dāng) 時(shí)都趨于零,當(dāng)僅當(dāng)它的系數(shù)矩陣A的所有特征根都具有負(fù)的實(shí)部. 證 必要性:設(shè)特征根為 ,與之對(duì)應(yīng)的方程組的解可表為 。 1）當(dāng) 即 為實(shí)數(shù)時(shí)，的每一分量或者為一常向量，或者為的多項(xiàng)式的向量函數(shù)。此時(shí)總有當(dāng) 時(shí), 或者是常向量。那么只有當(dāng) 時(shí), ,故必為負(fù)實(shí)數(shù). 2）當(dāng) 時(shí), 為復(fù)數(shù), 則此時(shí) 其中 的向量多項(xiàng)式,當(dāng)時(shí), ,那么,若使當(dāng)時(shí),有成立,只有,于是,必為負(fù)實(shí)數(shù)。 充分性：若系數(shù)矩陣A的所有特征根都具有負(fù)的實(shí)部，設(shè)特征根為，與之對(duì)應(yīng)的解為 （1）當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)，由解的結(jié)構(gòu)知，是關(guān)于的一個(gè)多項(xiàng)式的向量函數(shù)，而已知 ，其中為任意自然數(shù)，故形如（1）的解當(dāng)時(shí)，。 （3）當(dāng)時(shí)，是復(fù)數(shù)，由解的結(jié)構(gòu)，此時(shí)（1）中的，其中是的多項(xiàng)式向量函數(shù)，又由于 故形如（1）的解，當(dāng)時(shí)，。