離散傅里葉變換DFT.ppt

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第三章 DFT 離散傅里葉變換,3-7 抽樣Z變換--頻域抽樣理論,3-8 利用DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的逼近,3-6 DFT的性質(zhì),3-5 DFT--有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示,3-3 周期序列的DFS,3-4 DFS的性質(zhì),3-2 傅氏變換的幾種可能形式,3-1 引言,點(diǎn)擊進(jìn)入,目 錄,, 3.1 引 言,在第2章中討論了序列的傅里葉變換和Z變換。由于數(shù)字計(jì)算機(jī)只能計(jì)算有限長(zhǎng)離散序列，因此有限長(zhǎng)序列在數(shù)字信號(hào)處理中就顯得很重要， 當(dāng)然可以用Z變換和傅里葉變換來(lái)研究它， 但是，這兩種變換無(wú)法直接利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。針對(duì)序列“有限長(zhǎng)”這一特點(diǎn)，可以導(dǎo)出一種更有用的變換：離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform， 簡(jiǎn)寫(xiě)為DFT）。它本身也是有限長(zhǎng)序列。,作為有限長(zhǎng)序列的一種傅里葉表示法，離散傅里葉變換除了在理論上相當(dāng)重要之外，而且由于存在有效的快速算法——快速離散傅里葉變換，因而在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心作用。  有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換（DFT）和周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）本質(zhì)上是一樣的。為了討論離散傅里葉級(jí)數(shù)與離散傅里葉變換，我們首先來(lái)回顧并討論傅里葉變換的幾種可能形式。,一.DFT是重要的變換 1.分析有限長(zhǎng)序列的有用工具。 2.在信號(hào)處理的理論上有重要意義。 3.在運(yùn)算方法上起核心作用，譜分析、 卷積、相關(guān)都可以通DFT在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。,返回目錄,二.DFT是現(xiàn)代信號(hào)處理橋梁 DFT要解決兩個(gè)問(wèn)題： 一是離散與量化， 二是快速運(yùn)算。,信號(hào)處理,,DFT(FFT),,傅氏變換,離散量化,,連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率—傅里葉變換,連續(xù)時(shí)間、離散頻率—傅里葉級(jí)數(shù),離散時(shí)間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換,離散時(shí)間、離散頻率—離散傅里葉變換,3-2傅里葉變換的幾種可能形式,一、連續(xù)時(shí)間，連續(xù)頻率——傅里葉變換(FT),這是連續(xù)時(shí)間，非周期信號(hào)x(t)的傅里葉變換。它得到連續(xù)的、非周期的頻譜密度函數(shù)X(j?)。,二、連續(xù)時(shí)間，離散頻率——傅里葉級(jí)數(shù)(FS),這是連續(xù)時(shí)間，周期信號(hào)x(t)的傅立葉變換。它得到離散的、非周期的頻譜密度函數(shù)X(j?)。例如信號(hào)x(t)=sin100?t只有一個(gè)頻率分量。,X(jK?0)是頻譜相鄰兩譜線間角頻率的間隔，K為諧波序號(hào)。,三、離散時(shí)間，連續(xù)頻率——序列的傅里葉變換(DTFT),由第一章采樣定理的知識(shí)，我們知道：時(shí)域離散，將導(dǎo)致頻域周期化，且這個(gè)周期是?s。,四、離散時(shí)間，離散頻率——離散傅里葉變換(DFT),上面所講的三種傅里葉變換至少在一個(gè)域內(nèi)是連續(xù)的，不適于計(jì)算機(jī)運(yùn)算。最好是時(shí)域和頻域均為離散的，才方便用計(jì)算機(jī)運(yùn)算。,思路：從序列的傅里葉變換出發(fā)，若時(shí)域?yàn)殡x散的序列，則頻 域是連續(xù)周期的；若此時(shí)我們對(duì)頻域的連續(xù)信號(hào)抽樣， 人為的使其離散化，這樣，頻域的離散又導(dǎo)致時(shí)域的周 期化。于是有：,四種傅里葉變換形式的歸納,各種形式的傅里葉變換, 3.3 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS),設(shè) 是一個(gè)周期為N的周期序列， 即,r為任意整數(shù),周期序列不是絕對(duì)可和的，所以不能用Z變換表示，因?yàn)樵谌魏蝯值下，其Z變換都不收斂，也就是,但是，正如連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示一樣， 周期序列也可以用離散傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，該級(jí)數(shù)相當(dāng)于成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列（正弦型序列）之和。也就是說(shuō)，復(fù)指數(shù)序列的頻率是周期序列 的基頻（2π/N）的整數(shù)倍。這些復(fù)指數(shù)序列ek(n)的形式為,（3-1）,式中, k, r為整數(shù)。,由式（3-1）可見(jiàn)，復(fù)指數(shù)序列ek(n)對(duì)k呈現(xiàn)周期性，周期也為N。也就是說(shuō), 離散傅里葉級(jí)數(shù)的諧波成分只有N個(gè)獨(dú)立量，這是和連續(xù)傅里葉級(jí)數(shù)的不同之處（后者有無(wú)窮多個(gè)諧波成分），因而對(duì)離散傅里葉級(jí)數(shù)，只能取k=0 到N-1的N個(gè)獨(dú)立諧波分量， 不然就會(huì)產(chǎn)生二義性。因而 可展成如下的離散傅里葉級(jí)數(shù)，即,（3-2）,式中，求和號(hào)前所乘的系數(shù)1/N是習(xí)慣上已經(jīng)采用的常數(shù)， 是k次諧波的系數(shù)。,下面我們來(lái)求解系數(shù) ，這要利用復(fù)正弦序列的正交特性，即,（3-3）,將式（3-2）兩端同乘以 ，然后從n=0 到N-1的一個(gè)周期內(nèi)求和，則得到,把r換成k可得,（3-4）,這就是求k=0 到N-1的N個(gè)諧波系數(shù) 的公式。同時(shí)看出 也是一個(gè)以N為周期的周期序列，即,這和離散傅里葉級(jí)數(shù)只有N個(gè)不同的系數(shù) 的說(shuō)法是一致的?？梢钥闯?，時(shí)域周期序列 的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域（即其系數(shù) 也是一個(gè)周期序列。因而 與 是頻域與時(shí)域的一個(gè)周期序列對(duì)， 式（3-2）與式（3-4）一起可看作是一對(duì)相互表達(dá)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）對(duì)。  為了表示方便，常常利用復(fù)數(shù)量WN來(lái)寫(xiě)這兩個(gè)式子。WN定義為,（3-5）,WN的性質(zhì),1.周期性,2.共軛對(duì)稱(chēng)性,3.可約性,4.正交性,使用WN， 式（2-4）及式（2-2）可表示為:,（3-6）,（3-7）,式中，DFS［］表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換，IDFS［］表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。 從上面看出，只要知道周期序列一個(gè)周期的內(nèi)容，其他的內(nèi)容也都知道了。 所以，這種無(wú)限長(zhǎng)序列實(shí)際上只有一個(gè)周期中的N個(gè)序列值有信息。 因而周期序列和有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。,例3-1 設(shè) 為周期脈沖串,（3-8）,因?yàn)閷?duì)于0≤n≤N-1， , 所以利用式（2-6）求出 的DFS系數(shù)為,（3-9）,在這種情況下，對(duì)于所有的k值 均相同。于是，將式（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式,（3-10）,例3-2 已知周期序列 如圖3-2所示，其周期N=10, 試求解它的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 。,圖3-2 例3-2的周期序列 （周期N=10）,由式（3-6）,（3-11）,這一有限求和有閉合形式,（3-12）,圖 3-3 圖3-2所示序列的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 的幅值,式（3-6）中的周期序列 可看成是對(duì) 的第一個(gè)周期x(n)作Z變換，然后將Z變換在Z平面單位圓上按等間隔角2π/N采樣而得到的。令,通常稱(chēng)x(n)為 的主值區(qū)序列，則x(n)的Z變換為,（3-13）,把式（3-13）與式（3-6）比較可知,（3-14）,可以看出，當(dāng)0≤k≤N-1 時(shí)， 是對(duì)X(z)在Z平面單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣，在此區(qū)間之外隨著k的變化， 的值呈周期變化。 圖3-4畫(huà)出了這些特點(diǎn)。,由于單位圓上的Z變換即為序列的傅里葉變換，所以周期序列 也可以解釋為 的一個(gè)周期x(n)的傅里葉變換的等間隔采樣。 因?yàn)?（3-15）,比較式（3-15）和式（3-6），可以看出,這相當(dāng)于以2π/N的頻率間隔對(duì)傅里葉變換進(jìn)行采樣。,（3-16）,例3-3 為了舉例說(shuō)明傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 和周期信號(hào) 的一個(gè)周期的傅里葉變換之間的關(guān)系，我們?cè)俅窝芯繄D2-2所示的序列 。 在序列 的一個(gè)周期中：,（3-17）,則 的一個(gè)周期的傅里葉變換是,（3-18）,可以證明，若將ω=2πk/10 代入式（2-18）， 即,圖 3-5 對(duì)圖3-2所示序列的一個(gè)周期作傅里葉變換的幅值,圖 3-6 圖3-3和圖3-5的重疊圖，它表明一個(gè)周期序列 的DFS系數(shù)等于主值區(qū)序列的傅里葉變換的采樣,,其中，a,b為任意常數(shù)。,3-4 DFS的性質(zhì),一.線性,如果,則有,以下性質(zhì)均在條件：x1(n)和x2(n)都是周期為N的周期序列,二.序列的移位,則有：,如果,證明：,令i=m+n,則 n=i-m。,n=0 時(shí)，i=m; n=N-1時(shí)，i=N-1+m,所以,* 和 都是以N為周期的周期函數(shù)。,三.調(diào)制特性 如果 則有,證明：,時(shí)域乘以虛指數(shù)( )的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。,四.周期卷積和*** 重點(diǎn)*** 1.如果 則：,周期卷積是線性卷積的周期延拓-------Go!!,線性卷積的長(zhǎng)度及周期卷積代替線性卷積的條件-----GO!,圓周卷積的定義及求解過(guò)程----GO!!,利用DFS求解線性卷積的步驟—Go!!,周期卷積的方法舉例—說(shuō)明它仍然是同周期的DFS 并引導(dǎo)出與線性卷積的關(guān)系—next page,2.兩個(gè)周期序列的周期卷積過(guò)程*** （1）畫(huà)出 和 的圖形； （2）將 翻摺,得到 可計(jì)算出：,返回目錄,,,,返回目錄,,,,,,,,,,,,,0 1 2 3 4 5,計(jì)算區(qū),0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,,,（3）將 右移一位、得到,可計(jì)算出：,返回目錄,,,返回目錄,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,（4）將 再右移一位、得到 可計(jì)算出：,返回目錄,（5）以此類(lèi)推，,返回目錄,,,n,,,,,計(jì)算區(qū),返回目錄,3. 頻域卷積定理 如果 ，則,證明從略。,3-5 有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換（DFT）,DFT的定義 上一節(jié)我們討論的周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義， 因而它和有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。本節(jié)將根據(jù)周期序列和有限長(zhǎng)序列之間的關(guān)系，由周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式推導(dǎo)得到有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示即離散傅里葉變換（DFT）。 設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，即x(n)只在n=0到N-1點(diǎn)上有值，其他n時(shí)，x(n)=0。即,為了引用周期序列的概念，我們把它看成周期為N的周期序列 的一個(gè)周期，而把 看成x(n)的以N為周期的周期延拓， 即表示成:,這個(gè)關(guān)系可以用圖2-8來(lái)表明。通常把 的第一個(gè)周期n=0 到n=N-1 定義為“主值區(qū)間”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主值區(qū)間上的序列。而稱(chēng) 為x(n)的周期延拓。對(duì)不同r值x(n+rN)之間彼此并不重疊，故上式可寫(xiě)成,用((n))N表示（n mod N），其數(shù)學(xué)上就是表示“n對(duì)N取余數(shù)”， 或稱(chēng)“n對(duì)N取模值”。 令,0≤n1≤N-1, m為整數(shù),則n1為n對(duì)N的余數(shù)。,例如， 是周期為N=9的序列，則有：,利用前面的矩形序列RN(n)，式可寫(xiě)成,同理，頻域的周期序列 也可看成是對(duì)有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓，而有限長(zhǎng)序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即:,我們?cè)倏幢磉_(dá)DFS與IDFS：,這兩個(gè)公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值區(qū)間進(jìn)行，它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可以得到有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換的定義:,0≤k≤N-1,0≤n≤N-1,x(n)和X(k)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換對(duì)。我們稱(chēng)上面第一式為x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換(DFT), 稱(chēng)式第二式為X(k)的N點(diǎn)離散傅里葉反變換(IDFT)。已知其中的一個(gè)序列，就能唯一地確定另一個(gè)序列。這是因?yàn)閤(n)與X(k)都是點(diǎn)數(shù)為N的序列，都有N個(gè)獨(dú)立值（可以是復(fù)數(shù)），所以信息當(dāng)然等量。  此外，值得強(qiáng)調(diào)得是，在使用離散傅里葉變換時(shí)，必須注意所處理的有限長(zhǎng)序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來(lái)表示的。 換句話說(shuō)，離散傅里葉變換隱含著周期性。,例1 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N點(diǎn)DFT。  解 單位脈沖序列的DFT很容易由DFT的定義式（2-30）得到：,k=0, 1, …, N-1,δ(n)的X(k)如圖2-9。這是一個(gè)很特殊的例子，它表明對(duì)序列δ(n)來(lái)說(shuō)，不論對(duì)它進(jìn)行多少點(diǎn)的DFT，所得結(jié)果都是一個(gè)離散矩形序列。,圖2-9 序列δ(n)及其離散傅里葉變換,例 2 已知x(n)=cos(nπ/6)是一個(gè)長(zhǎng)度N=12的有限長(zhǎng)序列， 求它的N點(diǎn)DFT。  解 由DFT的定義式（2-30）,利用復(fù)正弦序列的正交特性，再考慮到k的取值區(qū)間，可得,圖 2-10 有限長(zhǎng)序列及其DFT,例 3已知如下X(k):,求其10點(diǎn)IDFT。,解 X(k)可以表示為,X(k)=1+2δ(k) 0≤k≤9,寫(xiě)成這種形式后，就可以很容易確定離散傅里葉反變換。 由于一個(gè)單位脈沖序列的DFT為常數(shù)：, 3-5 DFT--有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示 一.預(yù)備知識(shí) 1.余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式 如果 ， m為整數(shù)；則有： 此運(yùn)算符表示n被N除，商為m，余數(shù)為 。 是 的解,或稱(chēng)作取余數(shù),或說(shuō)作n對(duì)N取模值, 或簡(jiǎn)稱(chēng)為取模值,n模N。,返回目錄,例如： (1) (2),返回目錄,先取模值，后進(jìn)行函數(shù)運(yùn)作; 而 視作將 周期延拓。,2.,返回目錄,二.有限長(zhǎng)序列x(n)和周期序列 的關(guān)系,周期序列 是有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓。,有限長(zhǎng)序列x(n)是周期序列 的主值序列。,返回目錄,如：,,,N-1,n,x(n),0,0,N-1,定義從n=0 到（N-1）的第一個(gè)周期為主值序列或區(qū)間。,返回目錄,三.周期序列 與有限長(zhǎng)序列X(k)的關(guān)系,,同樣， 周期序列 是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓。,而有限長(zhǎng)序列X(k)是周期序列 的主值序列。,返回目錄,四.從DFS到DFT,,從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間 進(jìn)行。,因此可得到新的定義，即有限序的離散傅氏變換(DFT)的定義。,返回目錄,或者：,,本節(jié)結(jié)束返回目錄,3.6 離散傅里葉變換的性質(zhì),本節(jié)討論DFT的一些性質(zhì)，它們本質(zhì)上和周期序列的DFS概念有關(guān)，而且是由有限長(zhǎng)序列及其DFT表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，用DFT［］表示N點(diǎn)DFT，且設(shè):,DFT［x1(n)］=X1(k) DFT［x2(n)］=X2(k),線性,式中，a, b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。 ,2. 和 的長(zhǎng)度N1和N2不等時(shí)， 選擇 為變換長(zhǎng)度,短者 進(jìn)行補(bǔ)零達(dá)到N點(diǎn)。線性性質(zhì)仍然成立,這里包括三層意思： (1) 先將x(n)進(jìn)行周期延拓 (2)再進(jìn)行移位 (3)最后取主值序列：,二、序列的圓周移位,1.定義,一個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位定義為,,,由于我們?nèi)≈髦敌蛄?，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時(shí)，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來(lái)。如果把x(n)排列一個(gè)N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于x(n)在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱(chēng)作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時(shí)，看到就是周期序列 : 。,2.圓周移位的含義,3. 時(shí)域圓周移位定理 設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)圓周移位，即,則圓周移位后的DFT為,證 利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。,再利用DFS和DFT關(guān)系,這表明，有限長(zhǎng)序列的圓周移位在離散頻域中引入一個(gè)和頻率成正比的線性相移 ，而對(duì)頻譜的幅度沒(méi)有影響。,4. 頻域圓周移位定理 對(duì)于頻域有限長(zhǎng)序列X(k)，也可看成是分布在一個(gè)N等分的圓周上，所以對(duì)于X(k)的圓周移位，利用頻域與時(shí)域的對(duì)偶關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)：  若,則,這就是調(diào)制特性。它說(shuō)明，時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。,三、共軛對(duì)稱(chēng)性,1.周期序列共軛對(duì)稱(chēng)分量與共軛反對(duì)稱(chēng)分量,同樣，有,周期為N的周期序列的共軛對(duì)稱(chēng)分量與共軛反對(duì)稱(chēng)分量分別定義為:,2.有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量與圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量,由于,所以,這表明長(zhǎng)為N的有限長(zhǎng)序列可分解為兩個(gè)長(zhǎng)度相同的兩個(gè)分量。,有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量與圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量分別定義為:,3.共軛對(duì)稱(chēng)特性之一,證明：,,,,4.共軛對(duì)稱(chēng)特性之二,證明：,可知：,5.共軛對(duì)稱(chēng)特性之三,證明：,,,,,6.共軛對(duì)稱(chēng)特性之四,證明：,7.共軛對(duì)稱(chēng)特性之五、六,,8.X(k)圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量與圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量的對(duì)稱(chēng)性,,,9.實(shí)、虛序列的對(duì)稱(chēng)特性,當(dāng)x(n)為實(shí)序列時(shí)，根據(jù)特性之三，則 X(k)=Xep(k) 又據(jù)Xep(k)的對(duì)稱(chēng)性：,當(dāng)x(n)為純虛序列時(shí)，根據(jù)特性之四，則 X(k)=Xop(k) 又據(jù)Xop(k)的對(duì)稱(chēng)性：,,,,,,總結(jié)：共軛對(duì)稱(chēng)性,純虛序列的共軛對(duì)稱(chēng)性,實(shí)數(shù)序列的共軛對(duì)稱(chēng)性,例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，試用一次 N點(diǎn)DFT運(yùn)算來(lái)計(jì)算它們各自的DFT:,例：求序列：x(n) = ?(n)+2 ?(n-1)+ 3?(n-2)+4 ?(n-3) 的4點(diǎn)DFT。,例：求序列：x(n) = ?(n)+2 ?(n-1)+ 3?(n-2)+4 ?(n-3) 的8點(diǎn)DFT。,四、 DFT形式下的帕塞伐定理,證,如果令y(n)=x(n)，則式變成,即,這表明一個(gè)序列在時(shí)域計(jì)算的能量與在頻域計(jì)算的能量是相等的。 ,四.圓周卷積和*** 1.時(shí)域卷積定理 設(shè) 和 均為長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列， 且 ，,如果 ，則,證明：,相當(dāng)于將 作周期卷積和后， 再取主值序列。,將 周期延拓：,則有：,在主值區(qū)間，所以：,同樣可證：,圓周卷積過(guò)程： 1）補(bǔ)零(當(dāng)兩序列不等長(zhǎng)時(shí)) 2）周期延拓(有限長(zhǎng)序列變周期序列) 3）翻褶，取主值序列(周期序列的翻褶) 4）圓周移位 5）相乘相加,,,,,,,,,0,m,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,m,,,,,0,m,,,,,,,,,,,,,,,0,m,,,,,最后結(jié)果：,五.有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積*** 1.線性卷積的長(zhǎng)度 的長(zhǎng)度為 的長(zhǎng)度為 它們線性卷積為,的非零區(qū)間為 的非零區(qū)間為 兩不等式相加得 也就是 不為零的區(qū)間，為 長(zhǎng)。 例如:,,,,,,1,0,1,2,n,,,,,,1,0,1,2,n,,3,,,,,,m,,,,,,n,2,1,0,,3,,,,1,4,5,2,3,3,2,1,2.有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積,時(shí)域圓周卷積在頻域上相當(dāng)于兩序列的DFT的乘積，而計(jì)算DFT可以采用它的快速算法——快速傅里葉變換（FFT）（見(jiàn)第4章）， 因此圓周卷積與線性卷積相比，計(jì)算速度可以大大加快。 但是實(shí)際問(wèn)題大多總是要求解線性卷積。例如，信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)，其輸出就是輸入信號(hào)與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的線性卷積， 如果信號(hào)以及系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)都是有限長(zhǎng)序列， 那么是否能用圓周卷積運(yùn)算來(lái)代替線性卷積運(yùn)算而不失真呢？下面就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。 設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0≤n≤N1-1），x2(n)是N2點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0≤n≤N2-1）。,（1）先看它們的線性卷積,x1(m)的非零區(qū)間為,0≤m≤N1-1,x2(n-m)的非零區(qū)間為,0≤n-m≤N2-1,(2-43),將兩個(gè)不等式相加，得到,0≤n≤N1+N2-2,在上述區(qū)間外，不是x1(m)=0就是x2(n-m)=0，因而y1(n)=0。所以y1(n)是N1+N2-1 點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，即線性卷積的長(zhǎng)度等于參與卷積的兩序列的長(zhǎng)度之和減1。例如，圖2-16 中，x1(n)為N1=4 的矩形序列（圖2-16（a）），x2(n)為N2=5 的矩形序列（圖2-16（b）），則它們的線性卷積y1(n)為N=N1+N2-1=8 點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（圖 2-16（c））。,（2-44）,為了分析其圓周卷積，我們先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓,它們的周期卷積序列為,（2-45）,前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2-1個(gè)非零值。因此可以看到， 如果周期卷積的周期LN1+N2-1，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交疊起來(lái)，從而出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有在L≥N1+N2-1 時(shí)，才沒(méi)有交疊現(xiàn)象。這時(shí), 在y1(n)的周期延拓 中， 每一個(gè)周期L內(nèi)，前N1+N2-1個(gè)序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-(N1+N2-1)個(gè)點(diǎn)上的序列值則是補(bǔ)充的零值。  圓周卷積正是周期卷積取主值序列,因此,所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為,（2-47）,滿(mǎn)足此條件后就有,即 x1(n) ○x2(n)=x1(n)*x2(n),L,圖2-16（d）、（e）、（f）正反映了（2-46）式的圓周卷積與線性卷積的關(guān)系。在圖2-16（d）中，L=6小于N1+N2-1=8，這時(shí)產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，其圓周卷積不等于線性卷積；而在圖2-16（e）、（f）中, L=8和L=10，這時(shí)圓周卷積結(jié)果與線性卷積相同，所得y(n)的前8點(diǎn)序列值正好代表線性卷積結(jié)果。 所以只要L≥N1+N2-1，圓周卷積結(jié)果就能完全代表線性卷積。,圖2-16 線性卷積與圓周卷積,圖2-16 線性卷積與圓周卷積,例 2-8 一個(gè)有限長(zhǎng)序列為,（1） 計(jì)算序列x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換。  （2） 若序列y(n)的DFT為,式中，X(k)是x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換，求序列y(n)。,（3）若10點(diǎn)序列y(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換是,式中, X(k)是序列x(n)的10點(diǎn)DFT，W(k)是序列w(n)的10點(diǎn)DFT,求序列y(n)。,解  （1） 由式（2-30）可求得x(n)的10點(diǎn)DFT,（2）X(k)乘以一個(gè)WNkm形式的復(fù)指數(shù)相當(dāng)于是x(n)圓周移位m點(diǎn)。 本題中m=-2, x(n)向左圓周移位了2點(diǎn)， 就有,y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8),（3）X(k)乘以W(k)相當(dāng)于x(n)與w(n)的圓周卷積。為了進(jìn)行圓周卷積，可以先計(jì)算線性卷積再將結(jié)果周期延拓并取主值序列。 x(n)與w(n)的線性卷積為 z(n)=x(n)*w(n)=｛1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2｝ 圓周卷積為,在 0≤n≤9 求和中，僅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，對(duì)n=0, 1, 2, …, 9求和，得到：,所以10點(diǎn)圓周卷積為,y(n)=｛3, 3, 1, 1， 1, 3, 3, 2, 2, 2｝,3.7 抽樣Z變換--頻域抽樣理論 討論： 時(shí)域抽樣: 對(duì)一個(gè)頻帶有限的信號(hào),根據(jù)抽樣定理對(duì)其進(jìn)行抽樣,所得抽樣信號(hào)的頻譜是原帶限信號(hào)頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)。 頻域抽樣: 對(duì)一有限序列(時(shí)間有限序列)進(jìn)行DFT所得x(k)就是序列傅氏變換的采樣.所以DFT就是頻域抽樣。,,頻域抽樣定理要研究的問(wèn)題,M點(diǎn),N點(diǎn),問(wèn)題:,能否由頻域抽樣X(jué)(k)恢復(fù)序列x(n) 能否由頻域抽樣X(jué)(k)恢復(fù)序列x(z)或 若能恢復(fù)其條件是什么？如何推導(dǎo)內(nèi)插恢復(fù)公式?,2、由頻域抽樣恢復(fù)序列,一個(gè)絕對(duì)可和的非周期序列x(n)的Z變換為,由于x(n)絕對(duì)可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對(duì)X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到,對(duì) 進(jìn)行反變換,并令其為 ,則,,,,,x(n)為無(wú)限長(zhǎng)序列—混疊失真 x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為M 1) N≥M ，不失真 2) NM， 混疊失真,頻率采樣定理,若序列長(zhǎng)度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù):,時(shí)，才有,即可由頻域采樣X(jué)(k)不失真地恢復(fù)原信號(hào)x(n) ，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。,,,,3、用頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式,,,,,,,4、用頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式,,,,3.8 利用DFT計(jì)算模擬信號(hào)的傅里葉變換（級(jí)數(shù)）對(duì),信號(hào)的頻譜分析：計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換,,,,,,1、對(duì)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的DFT逼近,1）將 x(t) 在 t 軸上等間隔 T 分段,2）將 x(n) 截短成有限長(zhǎng)序列t=0~T0，N個(gè)抽樣點(diǎn)。,3）頻域抽樣：一個(gè)周期分N段，采樣間隔 ，時(shí)域周期延拓， 周期為,,,,2、對(duì)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的DFT逼近過(guò)程 1）時(shí)域抽樣 2）時(shí)域截?cái)?3）頻域抽樣,近似逼近：,,,,3、頻率響應(yīng)的混疊失真及參數(shù)的選擇,同時(shí)提高信號(hào)最高頻率和頻率分辨率，需增加采樣點(diǎn)數(shù)N。,信號(hào)最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾,,,,,例：有一調(diào)幅信號(hào) 用DFT做頻譜分析，要求能分辨xa(t)的所 有頻率分量，問(wèn) (1)抽樣頻率應(yīng)為多少赫茲? (2)抽樣時(shí)間間隔應(yīng)為多少秒? (3)抽樣點(diǎn)數(shù)應(yīng)為多少點(diǎn)？,（1）抽樣頻率應(yīng)為,解：,（2）抽樣時(shí)間間隔應(yīng)為,,,,,,,,,（1）混迭 對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)進(jìn)行數(shù)字處理前，要進(jìn)行采樣 采樣序列的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓，周期為fs，如采樣率過(guò)低，不滿(mǎn)足采樣定理，fs2fh，則導(dǎo)致頻譜混迭，使一個(gè)周期內(nèi)的譜對(duì)原信號(hào)譜產(chǎn)生失真，無(wú)法恢復(fù)原信號(hào)，進(jìn)一步的數(shù)字處理失去依據(jù)。,,（2） 泄漏 處理實(shí)際信號(hào)序列 x（n）時(shí)，一般總要將它截?cái)酁橐挥邢揲L(zhǎng)序列，長(zhǎng)為N點(diǎn)，相當(dāng)于乘以一個(gè)矩形窗 w(n)=RN(n)。 矩形窗函數(shù)，其頻譜有主瓣，也有許多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，當(dāng)窗口趨于無(wú)窮大時(shí)，就是一個(gè)沖擊函數(shù)。 我們知道，時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)頻域的卷積，所以，加窗后的頻譜實(shí)際是原信號(hào)頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜的卷積，卷積的結(jié)果使頻譜延伸到了主瓣以外，且一直延伸到無(wú)窮。當(dāng)窗口無(wú)窮大時(shí)，與沖擊函數(shù)的卷積才是其本身，這時(shí)無(wú)畸變，否則就有畸變。,,例如，信號(hào)為 ，是一單線譜，但當(dāng)加窗后，線譜與抽樣函數(shù)進(jìn)行卷積，原來(lái)在Ω0處的一根譜線變成了以Ω0為中心的，形狀為抽樣函數(shù)的譜線序列，原來(lái)在一個(gè)周期（Ωs）內(nèi)只有一個(gè)頻率上有非零值，而現(xiàn)在 一個(gè)周期內(nèi)幾乎所有頻率上都有非零值，即 的頻率成份從Ω0處“泄漏”到其它頻率處去了。 考慮各采樣頻率周期間頻譜“泄漏”后的互相串漏，卷積后還有頻譜混迭現(xiàn)象產(chǎn)生。,,,（3）柵欄效應(yīng) N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間 [0，2π] 上對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，得到的是若干個(gè)離散的頻譜點(diǎn) X（k），且它們限制在基頻的整數(shù)倍上，這就好像在柵欄的一邊通過(guò)縫隙看另一邊的景象一樣，只能在離散點(diǎn)處看到真實(shí)的景象，其余部分頻譜成分被遮擋， 所以稱(chēng)之為柵欄效應(yīng)。 減小柵欄效應(yīng)方法：尾部補(bǔ)零，使譜線變密，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)，原來(lái)漏掉的某些頻譜分量就可能被檢測(cè)出來(lái)。,(4) DFT的分辨率,填補(bǔ)零值可以改變對(duì)DTFT的采樣密度，人們常常有一種誤解，認(rèn)為補(bǔ)零可以提高DFT的頻率分辨率。事實(shí)上我們通常規(guī)定DFT的頻率分辨率為 ，這里的N是指信號(hào)x(n)的有效長(zhǎng)度，而不是補(bǔ)零的長(zhǎng)度。不同長(zhǎng)度的x(n)其DTFT的結(jié)果是不同的；而相同長(zhǎng)度的x(n)盡管補(bǔ)零的長(zhǎng)度不同其DTFT的結(jié)果應(yīng)是相同的，他們的DFT只是反映了對(duì)相同的DTFT采用了不同的采樣密度。,,參數(shù)選擇的一般原則：,若已知信號(hào)的最高頻率 ，為防止混疊，選定采樣頻率 ； 根據(jù)頻率分辯率 ，確定所需DFT的長(zhǎng)度 (3) 和N確定以后，即可確定相應(yīng)模擬信號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度 這里T是采樣周期。,,,,,,,(5)周期信號(hào)的譜分析,對(duì)于連續(xù)的單一頻率周期信號(hào) ， 為信號(hào)的頻率。 可以得到單一譜線的DFT結(jié)果，但這是和作DFT時(shí)數(shù)據(jù)的截取長(zhǎng)度選得是否恰當(dāng)有關(guān)，截取長(zhǎng)度N選得合理， 可完全等于 的采樣。,,,,,,6,,,8,,,10,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,k,X(k),(a),(b),(c),(d),不同截取長(zhǎng)度的正弦信號(hào)及其DFT結(jié)果,