《常微分方程》全套課件（完整版）

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1、 第 一 章 初 等 積 方 法 第 五 章 定 性 與 穩(wěn) 定 性 概 念 第 三 章 線 性 微 分 方 程 第 二 章 基 本 定 理 第 四 章 線 性 微 分 方 程 組第 六 章 一 階 偏 微 方 程 初 步 第 1講 微 分 方 程 與 解微 分 方 程 什 么 是 微 分 方 程 ？ 它 是 怎 樣 產(chǎn) 生 的 ？ 這 是 首 先 要 回 答 的 問 題 . 300多 年 前 ， 由 牛 頓 (Newton,1642-1727)和 萊 布 尼 茲(Leibniz,1646-1716)所 創(chuàng) 立 的 微 積 分 學(xué) ， 是 人 類 科 學(xué) 史 上 劃時(shí) 代 的 重 大 發(fā) 現(xiàn)

2、， 而 微 積 分 的 產(chǎn) 生 和 發(fā) 展 ， 又 與 求 解 微 分 方程 問 題 密 切 相 關(guān) .這 是 因 為 ， 微 積 分 產(chǎn) 生 的 一 個(gè) 重 要 動 因 來 自于 人 們 探 求 物 質(zhì) 世 界 運(yùn) 動 規(guī) 律 的 需 求 .一 般 地 ， 運(yùn) 動 規(guī) 律 很 難全 靠 實(shí) 驗(yàn) 觀 測 認(rèn) 識 清 楚 ， 因 為 人 們 不 太 可 能 觀 察 到 運(yùn) 動 的 全過 程 .然 而 ， 運(yùn) 動 物 體 (變 量 )與 它 的 瞬 時(shí) 變 化 率 (導(dǎo) 數(shù) )之 間 ，通 常 在 運(yùn) 動 過 程 中 按 照 某 種 己 知 定 律 存 在 著 聯(lián) 系 ， 我 們 容 易捕 捉 到

3、 這 種 聯(lián) 系 ， 而 這 種 聯(lián) 系 ， 用 數(shù) 學(xué) 語 言 表 達(dá) 出 來 ， 其 結(jié)果 往 往 形 成 一 個(gè) 微 分 方 程 .一 旦 求 出 這 個(gè) 方 程 的 解 ， 其 運(yùn) 動 規(guī)律 將 一 目 了 然 .下 面 的 例 子 ， 將 會 使 你 看 到 微 分 方 程 是 表 達(dá) 自然 規(guī) 律 的 一 種 最 為 自 然 的 數(shù) 學(xué) 語 言 . 例 1 物 體 下 落 問 題 設(shè) 質(zhì) 量 為 m的 物 體 ， 在 時(shí) 間 t=0時(shí) ， 在 距地 面 高 度 為 H處 以 初 始 速 度 v(0) = v0垂 直 地 面下 落 ， 求 ss此 物 體 下 落 時(shí) 距 離 與 時(shí)

4、間 的 關(guān) 系 . 解 如 圖 1-1建 立 坐 標(biāo) 系 ， 設(shè) 為 t時(shí) 刻 物 體的 位 置 坐 標(biāo) .于 是 物 體 下 落 的 速 度 為 加 速 度 為 質(zhì) 量 為 m的 物 體 ， 在 下 落 的 任 一 時(shí) 刻 所 受 到 的 外力 有 重 力 mg和 空 氣 阻 力 ， 當(dāng) 速 度 不 太 大 時(shí) ， 空 氣阻 力 可 取 為 與 速 度 成 正 比 .于 是 根 據(jù) 牛 頓 第 二 定 律 F = ma (力 =質(zhì) 量 加 速 度 ) 可 以 列 出 方 程 (1.1)其 中 k 0為 阻 尼 系 數(shù) ， g是 重 力 加 速 度 . (1.1)式 就 是 一 個(gè) 微 分 方

5、 程 ， 這 里 t是 自變 量 ， x是 未 知 函 數(shù) ， 是 未 知 函 數(shù) 對 t導(dǎo) 數(shù) .現(xiàn) 在 ， 我 們 還 不 會 求 解 方 程 (1.1)， 但 是 ，如 果 考 慮 k=0的 情 形 ， 即 自 由 落 體 運(yùn) 動 ， 此時(shí) 方 程 (1.1)可 化 為 （ 1.2） 將 上 式 對 t積 分 兩 次 得 (1.3)一 般 說 來 ， 微 分 方 程 就 是 聯(lián) 系 自 變 量 、 未 知 函 數(shù)以 及 未 知 函 數(shù) 的 某 些 導(dǎo) 數(shù) 之 間 的 關(guān) 系 式 .如 果 其 中的 未 知 函 數(shù) 只 與 一 個(gè) 自 變 量 有 關(guān) ， 則 稱 為 常 微 分方 程 ；

6、如 果 未 知 函 數(shù) 是 兩 個(gè) 或 兩 個(gè) 以 上 自 變 量 的函 數(shù) ， 并 且 在 方 程 中 出 現(xiàn) 偏 導(dǎo) 數(shù) ， 則 稱 為 偏 微 分方 程 .本 書 所 介 紹 的 都 是 常 微 分 方 程 ， 有 時(shí) 就 簡 稱微 分 方 程 或 方 程 . 例 如 下 面 的 方 程 都 是 常 微 分 方 程 (1.4)(1.5) (1.6) (1.7) 在 一 個(gè) 常 微 分 方 程 中 ， 未 知 函 數(shù) 最 高 階 導(dǎo) 數(shù) 的 階 數(shù) ， 稱為 方 程 的 階 .這 樣 ， 一 階 常 微 分 方 程 的 一 般 形 式 可 表 為(1.8)如 果 在 (1.8)中 能 將

7、y解 出 ， 則 得 到 方 程 (1.9) (1.10)或 (1.8)稱 為 一 階 隱 式 方 程 ,(1.9)稱 為 一 階 顯 式 方 程 ， (1.10)稱 為 微 分 形 式 的 一 階 方 程 . n 階 隱 式 方 程 的 一 般 形 式 為 （ 1.11） n 階 顯 式 方 程 的 一 般 形 式 為 (1.12) 在 方 程 (1.11)中 ， 如 果 左 端 函 數(shù) F對 未 知 函 數(shù) y和 它 的 各 階 導(dǎo) 數(shù)y,y,y(n)的 全 體 而 言 是 一 次 的 ， 則 稱 為 線 性 常 微 分 方 程 ， 否 則 稱 它 為非 線 性 常 微 分 方 程 .這

8、樣 ， 一 個(gè) 以 y為 未 知 函 數(shù) ， 以 x為 自 變 量 的 n階 線 性微 分 方 程 具 有 如 下 形 式 ： 顯 然 ， 方 程 (1.4)是 一 階 線 性 方 程 ； 方 程 (1.5)是 一 階 非 線 性 方 程 ； 方 程(1.6)是 二 階 線 性 方 程 ； 方 程 (1.7)是 二 階 非 線 性 方 程 . 通 解 與 特 解 （ 1.13） 微 分 方 程 的 解 就 是 滿 足 方 程 的 函 數(shù) ， 可 定 義 如 下 . 定 義 1. 設(shè) 函 數(shù) 在 區(qū) 間 I上 連 續(xù) ， 且 有 直到 n階 的 導(dǎo) 數(shù) .如 果 把 代 入 方 程 (1.11)

9、， 得 到 在區(qū) 間 I上 關(guān) 于 x的 恒 等 式 ， 則 稱 為 方 程 (1.11)在 區(qū) 間 I上 的 一 個(gè) 解 . 這 樣 ， 從 定 義 1.1可 以 直 接 驗(yàn) 證 ： 1. 函 數(shù) y = x2+C是 方 程 (1.4)在 區(qū) 間 (-， +)上 的 解 ， 其 中 C是 任 意 的 常 數(shù) . 2. 函 數(shù) 是 方 程 (1.5)在 區(qū) 間 （ -1,+1） 上 的 解 ， 其中 C是 任 意 常 數(shù) .又 方 程 (1.5)有 兩 個(gè) 明 顯 的 常 數(shù) 解 y = ， 這 兩 個(gè) 解 不 包 含 在 上 述 解 中 . 2. 函 數(shù) 是 方 程 (1.5)在 區(qū) 間 （

10、 -1,+1）上 的 解 ， 其 中 C是 任 意 常 數(shù) .又 方 程 (1.5)有 兩 個(gè) 明 顯的 常 數(shù) 解 y = ， 這 兩 個(gè) 解 不 包 含 在 上 述 解 中 . 3. 函 數(shù) 是 方 程 (1.6)在 區(qū) 間 (-，+)上 的 解 ， 其 中 和 是 獨(dú) 立 的 任 意 常 數(shù) . 4. 函 數(shù) 是 方 程 ( . )在 區(qū) 間 (-， +)上 的 解 ， 其 中 和 是 獨(dú) 立 的 任 意 常 數(shù) . 這 里 ， 我 們 僅 驗(yàn) 證 3， 其 余 留 給 讀 者 完 成 .事 實(shí) 上 ，在 (-， +)上 有 事 實(shí) 上 ， 在 (-， +)上 有 所 以 在 （ ， ）

11、 上 有 從 而 該 函 數(shù) 是 方 程 (1.6)的 解 . 從 上 面 的 討 論 中 ， 可 以 看 到 一 個(gè) 重 要 事 實(shí) ， 那 就 是 微 分 方 程 的 解 中可 以 包 含 任 意 常 數(shù) ， 其 中 任 意 常 數(shù) 的 個(gè) 數(shù) 可 以 多 到 與 方 程 的 階 數(shù) 相 等 ，也 可 以 不 含 任 意 常 數(shù) .我 們 把 n階 常 微 分 方 程 (1.11)的 含 有 n個(gè) 獨(dú) 立 的 任 意常 數(shù) C1， C2， ， Cn的 解 ， 稱 為 該 方 程 的 通 解 ， 如 果 方 程 (1.11)的 解不 包 含 任 意 常 數(shù) ， 則 稱 它 為 特 解 .由

12、隱 式 表 出 的 通 解 稱 為 通 積 分 ， 而 由 隱式 表 出 的 特 解 稱 為 特 積 分 . 由 上 面 的 定 義 ， 不 難 看 出 ， 函 數(shù) 和 分 別 是 方 程 (1.4)， (1.5)和 (1.6)的 通解 ， 函 數(shù) 是 方 程 (1.7)的 通 積 分 ， 而 函 數(shù) y = 是 方 程 (1.7)的 特 解 .通 常 方 程 的 特 解 可 對 通 解 中 的 任 意常 數(shù) 以 定 值 確 定 ， 這 種 確 定 過 程 ， 需 要 下 面 介 紹 的 初 始 值 條件 ， 或 簡 稱 初 值 條 件 . 初 值 問 題 例 1中 的 函 數(shù) (1.3)顯

13、然 是 方 程 (1.2)的 通 解 ， 由 于 C_1 和 C_2是 兩 個(gè) 任 意 常 數(shù) ， 這 表 明 方 程 (1.2)有 無 數(shù) 個(gè) 解 ， 解 的圖 像 見 下 面 的 圖 a和 圖 b所 示 . 而 實(shí) 際 經(jīng) 驗(yàn) 表 明 ， 一 個(gè) 自 由 落 體 運(yùn) 動 僅 能 有 一 條 運(yùn) 動 軌 跡 .產(chǎn) 生 這 種 多 解 性 的 原 因 是 因 為 方 程 (1.2)所 表 達(dá) 的 是 任 何 一 個(gè)自 由 落 體 ， 在 任 意 瞬 時(shí) t所 滿 足 的 關(guān) 系 式 ， 并 未 考 慮 運(yùn) 動 的 初始 狀 態(tài) ， 因 此 ， 通 過 積 分 求 得 的 其 通 解 (1.3)

14、所 描 述 的 是 任 何一 個(gè) 自 由 落 體 的 運(yùn) 動 規(guī) 律 .顯 然 ， 在 同 一 初 始 時(shí) 刻 ， 從 不 同 的高 度 或 以 不 同 初 速 度 自 由 下 落 的 物 體 ， 應(yīng) 有 不 同 的 運(yùn) 動 軌 跡 .為 了 求 解 滿 足 初 值 條 件 的 解 ， 我 們 可 以 把 例 1中 給 出 的 兩 個(gè)初 始 值 條 件 ， 即 初 始 位 置 x(0)= H 初 始 速 度 代 入 到 通 解 中 ， 推 得 于 是 ， 得 到 滿 足 上 述 初 值 條 件 的 特 解 為 (1.14) 它 描 述 了 初 始 高 度 為 H， 初 始 速 度 為 v0的

15、自 由 落 體 運(yùn) 動 規(guī) 律 . 求 微 分 方 程 滿 足 初 值 條 件 的 解 的 問 題 稱 為 初 值 問 題 . 于 是 我 們 稱 (1.14)是 初 值 問 題 的 解 . 對 于 一 個(gè) n 階 方 程 ， 初 值 條 件 的 一 般 提 法 是 其 中 x_0是 自 變 量 的 某 個(gè) 取 定 值 ， 而是 相 應(yīng) 的 未 知 函 數(shù) 及 導(dǎo) 數(shù) 的 給 定 值 .方 程 (1.12)的 初 值 問 題 常 記 為 (1.16 (1.15)(1.16) 初 值 問 題 也 常 稱 為 柯 西 （ Cauchy） 問 題 . 對 于 一 階 方 程 ， 若 已 求 出 通

16、解 ， 只 要 把 初 值條 件 代 入 通 解 中 ， 得 到 方 程 從 中 解 出 C， 設(shè) 為 C_0， 代 入 通 解 ， 即 得 滿 足 初 值 條件 的 解 . 對 于 n 階 方 程 ， 若 已 求 出 通 解 后 ，代 入 初 值 條 件 (1.15)， 得 到 n個(gè) 方 程 式 (1.17) 如 果 能 從 (1.17)式 中 確 定 出 ， 代回 通 解 ， 即 得 所 求 初 值 問 題 的 . 例 2 求 方 程 的 滿 足 初 值 條 件 的 解 . 解 方 程 通 解 為 求 導(dǎo) 數(shù) 后 得 將 初 值 條 件 代 入 ，得 到 方 程 組 解 出 C_1和 C_

17、2得 故 所 求 特 解 為 積 分 曲 線 為 了 便 于 研 究 方 程 解 的 性 質(zhì) ， 我 們 常 常 考 慮 解 的 圖 象 .一 階 方 程 (1.9)的 一 個(gè)特 解 的 圖 象 是 xoy平 面 上 的 一 條 曲 線 ， 稱 為 方 程 (1.9)的 積 分 曲 線 ， 而 通 解 的 圖 象是 平 面 上 的 一 族 曲 線 ， 稱 為 積 分 曲 線 族 .例 如 ， 方 程 (1.4)的 通 解 +C是 xoy平 面 上的 一 族 拋 物 曲 線 .而 是 過 點(diǎn) (0， 0)的 一 條 積 分 曲 線 .以 后 ， 為 了 敘 述 簡 便 ， 我 們 對解 和 積

18、分 曲 線 這 兩 個(gè) 名 詞 一 般 不 加 以 區(qū) 別 .對 于 二 階 和 二 階 以 上 的 方 程 ， 也 有 積分 曲 線 和 積 分 曲 線 族 的 概 念 ， 只 不 過 此 時(shí) 積 分 曲 線 所 在 的 空 間 維 數(shù) 不 同 ， 我 們 將在 第 4章 詳 細(xì) 討 論 . 最 后 ， 我 們 要 指 出 ， 本 書 中 按 習(xí) 慣 用代 替 而 分 別 代 表 本 節(jié) 要 點(diǎn) ： 1 常 微 分 程 的 定 義 ， 方 程 的 階 ， 隱 式 方 程 ， 顯 式 方 程 ， 線 性 方 程 ， 非 線 性 方 程 . 2 常 微 分 方 程 解 的 定 義 ， 通 解 ，

19、 特 解 ， 通 積 分 ， 特 積 分 . 3 初 值 問 題 及 初 值 問 題 解 的 求 法 . 4 解 的 幾 何 意 義 ， 積 分 曲 線 . 第 2講 變 量 可 分 離 方 程 1 什 么 是 變 量 可 分 離 方 程 ？ （ 1.18）或 （ 1.19） 1 什 么 是 變 量 可 分 離 方 程 ？ 1.2.1 顯 式 變 量 可 分 離 方 程 的 解 法 . 1. 在 方 程 (1.18)中 ， 假 設(shè) g(y)是 常 數(shù) ， 不 妨 設(shè) g(y)=1.此時(shí) 方 程 (1.18)變 為 (1.20) 設(shè) f(x)在 區(qū) 間 (a,b)上 連 續(xù) ， 那 么 ， 求

20、方 程 (1.20)的 解 就 成 為 求f(x)的 原 函 數(shù) (不 定 積 分 )的 問 題 .于 是 由 積 分 上 限 所 確 定 的 函數(shù) (1.21) 就 是 方 程 (1.21)的 通 解 ， 其 中 C是 一 個(gè) 任 意 常 數(shù) ， 是 一個(gè) 固 定 數(shù) ， 是 自 變 量 . 2.假 設(shè) g(y)不 是 常 數(shù) ， 仍 設(shè) f(x)在 區(qū) 間 (a,b)上 連 續(xù) ， 而 g(y)在 區(qū) 間 上 連 續(xù) . 若 y=y(x) 是 方 程 (1.18)的 任 意 一 個(gè) 解 ， 且 滿足 y(x_0)=y_0， 則 由 解 的 定 義 ， 有 恒 等 式 (1.22) 假 設(shè)

21、g(y)0， 于 是 可 用 分 離 變 量 法 把 方 程 寫 成 (1.23) 將 上 式 兩 端 積 分 ， 得 到 恒 等 式 (1.24) 上 面 的 恒 等 式 表 明 ， 當(dāng) g(y)0時(shí) ， 方 程 (1.18)的 任 意 一 個(gè) 解必 定 滿 足 下 面 的 隱 函 數(shù) 方 程 (1.25) 反 之 ， 若 是 隱 函 數(shù) 方 程 (1.25)的 解 ， 則 有 恒 等 式 (1.24)成 立 ， 由 (1.24)的 兩 邊 對 x求 導(dǎo) 數(shù) ， 就 推 出 (1.23)成 立 ， 從 而 (1.22)成 立 ，這 就 表 明 了 隱 函 數(shù) 方 程 (1.25)的 解也 是

22、 微 分 方 程 (1.18)的 解 . 在 具 體 求 解 方 程 時(shí) ， 往 往 把 (1.24)寫 成 不 定 積 分 形 式 （ 1.26）由 上 面 的 證 明 可 知 ， 當(dāng) g(y)0時(shí) ， 微 分 方 程 (1.18)與 隱 函 數(shù) 方 程 (1.26)是同 解 方 程 ， 即 若 由 (1.26)解 出 ， 則 它 是 (1.18)的 通 解 ， 由 于 (1.26)是 通 解 的 隱 式 表 達(dá) 式 ， 所 以 (1.26)亦 稱 為 方 程 (1.18)的 通 積 分 .在 求 解 過 程 中 ，對 于 通 積 分 (1.26)應(yīng) 該 盡 量 把 它 演 算 到 底 ，

23、即 用 初 等 函 數(shù) 表 達(dá) 出 來 ，但 是 ， 并 不 勉 強(qiáng) 從 其 中 求 出 解 的 顯 式 表 達(dá) 式 .如 果 積 分 不 能 用 初 等 函 數(shù) 表 達(dá)出 來 ， 此 時(shí) 我 們 也 認(rèn) 為 微 分 方 程 (1.18)已 經(jīng) 解 出 來 了 ，因 為 從 微 分 方 程 求 解 的 意 義 上 講 ， 留 下 的 是 一 個(gè) 積 分 問 題 ， 而 不是 一 個(gè) 方 程 問 題 了 . 3. 若 存 在 ， 使 ， 則 易 見是 方 程 (1.18)的 一 個(gè) 解 ， 這 樣 的 解 稱 為 常 數(shù) 解 .Y(x)=y_0 1.2.2 微 分 形 式 變 量 可 分 離 方

24、 程 的 解 法 方 程 是 變 量 可 分 離 方 程 的 微 分 形 式 表 達(dá) 式 .這 時(shí) ， x和 y在 方 程 中 的 地 位 是 “ 平 等 ” 的 ， 即 x與 y都 可 以被 認(rèn) 為 是 自 變 量 或 函 數(shù) . 在 求 常 數(shù) 解 時(shí) ， 若 ， 則 y=y_0為 方程 (1.19)的 解 .同 樣 ， 若 ， 則 x=x_2也 是 方程 (1.19)的 解 . 當(dāng) 時(shí) ， 用 它 除 方 程 (1.19)兩 端 ， 分離 變 量 ， 得 上 式 兩 端 同 時(shí) 積 分 ， 得 到 方 程 (1.19)的 通 積 分 本 節(jié) 要 點(diǎn) ： 1 變 量 可 分 離 方 程 的

25、 特 征 2 分 離 變 量 法 的 原 理 ： 微 分 方 程 （ 1.18）與 分 離 變 量 后 的 積 分 方 程 （ 1.26） 當(dāng) 時(shí)是 同 解 方 程 3 變 量 可 分 離 方 程 一 定 存 在 常 數(shù) 解y=y_0, 并 且 滿 足 第 3講 齊 次 微 分 方 程 1 什 么 是 齊 次 方 程 ？ 上 一 節(jié) ， 介 紹 了 變 量 可 分 離 方 程 的 解 法 .有 些 方 程 ， 它 們形 式 上 雖 然 不 是 變 量 可 分 離 方 程 ， 但 是 經(jīng) 過 變 量 變 換 之 后 ，就 能 化 成 變 量 可 分 離 方 程 ， 本 節(jié) 介 紹 兩 類 可 化

26、 為 變 量 可 分 離的 方 程 . 如 果 一 階 顯 式 方 程 （ 1.9）的 右 端 函 數(shù) 可 以 改 寫 為 的 函 數(shù) ， 那 么 稱 方 程 (1.9)為 一 階 齊 次微 分 方 程 .所 以 它 們 都 是 一 階 齊 次 方 程 因 此 ， 一 階 齊 次 微 分 方 程 可 以寫 為 (1.27) 1.3.1 齊 次 方 程 的 解 法 方 程 (1.27)的 特 點(diǎn) 是 它 的 右 端 是 一 個(gè) 以 為變 元 的 函 數(shù) ， 經(jīng) 過 如 下 的 變 量 變 換 ， 它 能 化為 變 量 可 分 離 方 程 . 令 則 有 代 入 方 程 (1.27)得 （ 1.2

27、8） 方 程 (1.28)是 一 個(gè) 變 量 可 分 離 方 程 ， 當(dāng) 時(shí) ， 分 離變 量 并 積 分 ， 得 到 它 的 通 積 分 （ 1.29） 或 即 其 中 以 代 入 ， 得 到 原 方 程 (1.27)的 通 積 分 若 存 在 常 數(shù) ， 使 ， 則 ， 是 (1.28)的 解 ， 由 ， 得 是 原 方 程 (1.27)的 解 . 在 一 般 情 況 下 ， 如 何 判 斷 方 程 (1.9)是 齊 次 方 程 呢 ? 這 相 當(dāng) 于 考 慮 ， 什么 樣 的 二 元 函 數(shù) 能 化 成 形 狀 為 的 函 數(shù) .下 面 我 們 說 明 零 次 齊 次函 數(shù) 具 有 此

28、性 質(zhì) . 所 謂 對 于 變 元 x和 y是 零 次 齊 次 式 ， 是 指 對 于 任 意 的 常 數(shù) ，有 恒 等 式 因 此 ， 令 ， 則 有 因 此 ， 所 謂 齊 次 方 程 ， 實(shí) 際 上 就 是 方 程 (1.9)的 右 端 函 數(shù) 是 一 個(gè) 關(guān) 于 變 元 x， y的 零 次 齊 次 式 . 如 果 我 們 把 齊 次 方 程 稱 為 第 一 類 可 化 為 變 量 分 離 的 方 程 ， 那 么 我 們下 面 要 介 紹 第 二 類 這 種 方 程 . 1.3.2 第 二 類 可 化 為 變 量 可 分 離 的 方 程 形 如 (1.30) 的 方 程 是 第 二 類

29、可 化 為 變 量 可 分 離 的 方 程 .其 中 ， 顯 然 ， 方 程 (1.30)的 右 端 函 數(shù) ， 對 于 x， y并 不是 零 次 齊 次 函 數(shù) ， 然 而 函 數(shù) （ 1.31） 則 為 零 次 齊 次 函 數(shù) .事 實(shí) 上 ， 我 們 有 下 面 我 們 將 通 過 變 量 變 換 把 (1.30)中 的 C1及 C2消 去 ， 將 方 程 (1.30)的 右 端 函 數(shù) 化成 (1.31)的 形 式 ， 從 而 把 方 程 (1.30)化 成 齊 次 方 程 . 令 ( 為 待 定 常 數(shù) ) 則 代 入 (1.30)得 選 取 使 得 (1.32) (1.32)是 一

30、 個(gè) 線 性 非 齊 次 方 程 組 ， 它 的 解 與 系 數(shù) 行 列 式 有 關(guān) . 如 果 則 (1.32)有 唯 一 組 解 ， 把 取 為 這 組 解 ， 于 是(1.30)就 化 成 齊 次 方 程 求 出 這 個(gè) 方 程 解 ， 并用 變 換 代 回 ， 即 可 得 (1.30)的 解 .上 面 的 作 法 其 實(shí) 就 是 解 析 幾 何 中 的 坐 標(biāo) 平 移 .當(dāng) 時(shí) ，直 線 與 直 線 相 交 于 一 點(diǎn) ， 將 二 式 聯(lián) 立 求 得 交 點(diǎn) ( )， 再 作 坐 標(biāo)平 移 ， 就 把 原 點(diǎn) 移 到 ( ).又 由 于 在 坐 標(biāo) 平 移 變 換 下 有 成 立 ，

31、這 樣 (1.30)就 變 成 齊 次 方 程 了 . 如 果 ， 則 (1.32)沒 有 唯 一 組 解 ， 上 述 方 法 不 可 行 ， 下 面 我 們 要 說 明 ， 此 時(shí) 方程 (1.30)也 可 化 為 變 量 可 分 離 方 程 求 解 . 實(shí) 際 上 由 ， 有 成 立 . 下 面 僅 以 來 討 論 ， (以 討 論 相 同 ). 1) ， 此 時(shí) (1.30)為 令 ， 則 得 到 關(guān) 于 z的 變 量 可 分 離 方 程 2) 中 至 多 有 一 個(gè) 為 零 .當(dāng) 時(shí) ， 由 (1.33)必 有 ， 方 程 (1.30)成 為 這 是 一 個(gè) 變 量 可 分 離 方 程

32、 . 3) 當(dāng) 且 時(shí) ， 由 (1.33)有 于 是 ， 原 方 程 (1.30)成 為 令 則 代 入 上 面 方 程 ， 得 到 一 個(gè) 關(guān) 于 z的 方 程 這 也 是 一 個(gè) 變 量 可 分 離 方 程 本 節(jié) 要 點(diǎn) ： 1 一 階 顯 式 方 程 是 齊 次 方 程 右 端 函 數(shù) 是 一 個(gè) 零 次 齊 次 函 數(shù) 2 齊 次 方 程 解 法 的 本 質(zhì) 是 ， 方 程 （ 1.27）通 過 變 量 替 換 化 為 變 量 可 分 離 方 程 求 解 3 方 程 （ 1.30） 的 解 法 是 齊 次 方 程 解 法 的 擴(kuò) 展 ，把 一 個(gè) 不 是 齊 次 方 程 的 方 程

33、 ， 選 通 過 變 量 替 換 化 成 齊 次 方 程 ， 再 按 齊 次 方 程 求 解 1.4 一 階 線 性 微 分 方 程 本 節(jié) 討 論 一 階 線 性 方 程 的 解 法 以 及 某 些 可 以 化 成 線 性 方 程 的 類 型 .一 階 線 性 微 分 方 程 的 形 式 是 （ 1.34） 如 果 ， 即 (1.35)稱 為 一 階 線 性 齊 次 方 程 .如 果 不 恒 為 零 ， 則 稱 (1.34)為 一 階 線 性 非 齊 次 方程 . 1.4.1 一 階 線 性 非 齊 次 方 程 的 通 解 先 考 慮 線 性 齊 次 方 程 (1.35)， 注 意 這 里

34、“ 齊 次 ” 的 含 意 與 1.3節(jié) 中 的 不 同 ，這里 指 的 是 在 (1.34)中 不 含 “ 自 由 項(xiàng) ” ， 即 顯 然 ， (1.35)是 一 個(gè) 變 量 可 分 離 方 程 ， 由 1.2節(jié) 易 知 它 的 通 解 是 (1.36)下 面 使 用 常 數(shù) 變 易 法 再 求 線 性 非 齊 次 方 程 (1.34)的 解 .其 想 法 是 ： 當(dāng) C 為 常 數(shù) 時(shí) ，函數(shù) (1.36)的 導(dǎo) 數(shù) ， 恰 等 于 該 函 數(shù) 乘 上 - p(x),從 而 (1.36)為 齊 次 方 程 (1.35)的 解 .現(xiàn) 在 要 求 非 齊 次 方 程 (1.34)的 解 ， 則

35、 需 要 該 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 還 要 有 一 項(xiàng) 等 于 . 為 此 ，聯(lián) 系 到 乘 積 導(dǎo) 數(shù) 的 公 式 ， 可 將 (1.36)中 的 常 數(shù) C 變 易 為 函 數(shù) C(x)， 即 令 (1.37) 為 方 程 (1.34)的 解 ， 其 中 C(x)待 定 .將 (1.37)代 入(1.34)， 有 即 積 分 后 得 把 上 式 代 入 (1.37)， 得 到 (1.34)的 通 解 公 式 為 (1.38)在 求 解 具 體 方 程 時(shí) ， 不 必 記 憶 通 解 公 式 ， 只 要 按常 數(shù) 變 易 法 的 步 驟 來 求 解 即 可 . 1.4.2 伯 努 利 (Ber

36、noulli)方 程 形 如 (1.44)的 方 程 ， 稱 為 伯 努 利 方 程 . 伯 努 利 方 程 (1.44)是 一 種 非 線 性 的 一 階 微 分 方 程 ， 但 是 經(jīng) 過 適 當(dāng) 的 變 量 變 換 之 后 ， 它 可 以 化 成 一 階 線性 方 程 . 在 (1.44)兩 端 除 以 ， 得 (1.45)為 了 化 成 線 性 方 程 ， 令 則 代 入 (1.45)得 這 樣 ， 就 把 (1.44)化 成 以 z為 未 知 函 數(shù) 的 線 性 方 程 了 . 本 節(jié) 要 點(diǎn) ： 1 線 性 非 齊 次 方 程 的 解 法 本 質(zhì) 是 常 數(shù) 變 易 法 ，這 種

37、方 法 首 先 由 拉 格 朗 日 提 出 ， 在 常 微 分 方 程 的 解法 上 占 有 重 要 地 位 2 由 常 數(shù) 變 易 法 求 得 的 通 解 表 達(dá) 式 （ 1.38） 或特 解 表 達(dá) 式 （ 1.43） 能 幫 助 我 們 證 明 解 的 某 些 漸 近性 質(zhì) 3 伯 努 利 方 程 實(shí) 質(zhì) 上 是 一 個(gè) 可 以 通 過 變 量 替 換化 為 線 性 方 程 的 非 線 性 方 程 1.5 全 微 分 方 程 及 積 分 因 子 1.5.1 全 微 分 方 程 如 果 微 分 形 式 的 一 階 方 程 的 左 端 恰 好 是 一 個(gè) 二 元 函 數(shù) 的 全 微 分 ，

38、即 則 稱 (1.10)是 全 微 分 方 程 或 恰 當(dāng) 方 程 ， 而 函 數(shù) 稱 為 微 分 式 (1.46)的 原 函 數(shù) . 例 如 方 程 (1.47)就 是 一 個(gè) 全 微 分 方 程 .因 為 它 的 左 端 恰 是 二 元 函 數(shù) 的 全 微 分 . 全 微 分 方 程 如 何 求 解 呢 ? 先 看 一 下 方 程 (1.47),由 于 它 的 左 端 是 二 元 函 數(shù) 的 全 微分 ， 從 而 方 程 可 寫 成 （ 1 10） 若 是 (1.47)的 解 ， 應(yīng) 有 恒 等 式 從 而 （ 1.48） 由 此 解 出 這 說 明 ， 全 微 分 方 程 (1.47)的

39、 任 一 解 包 含 在 表 達(dá) 式 (1.48)中 . 一 般 地 ， 有如 下 定 理 定 理 1.1 假 如 是 微 分 (1.46)的 一 個(gè) 原 函 數(shù) ， 則 全 微 分 方程 (1.10)的 通 積 分 為 （ .49）其 中 C 為 任 意 常 數(shù) . 證 明 先 證 (1.10)的 任 一 解 均 滿 足 方 程 (1.49). 因 為 為(1.10)的 解 ， 故 有 恒 等 式 因 為 為 (1.10)的 原 函 數(shù) ， 所 以 有 從 而 于 是 滿 足 (1.49). 再 證 明 (1.49)所 確 定 的 任 意 隱 函 數(shù) 均 為 (1.10)的 解 .因 為 是

40、 由 (1.49)所 確 定的 隱 函 數(shù) ， 所 以 存 在 常 數(shù) C， 使 將 上 式 微 分 并 應(yīng) 用 是 (1.46)的 原 函 數(shù) 的 性 質(zhì) ， 即 有 從 而 是 方 程 (1.10)的 解 ， 定 理 證 畢 .根 據(jù) 上 述 定 理 ， 為 了 求 解 全 微 分 方 程 (1.10)， 只 須 求 出 它 的 一 個(gè) 原 函 數(shù) ， 就 可以 得 到 它 的 通 積 分 . 下 面 介 紹 兩 種 求 原 函 數(shù) 的 方 法 . 1.求 原 函 數(shù) 的 直 接 觀 察 法 在 某 些 簡 單 情 形 下 ， 可 以 由 觀 察 方 程 (1.10)直 接 求 出 它 的

41、 一 個(gè) 原 函 數(shù) ， 從 而得 到 它 的 通 積 分 .這 要 求 熟 記 一 些 常 見 的 二 元 函 數(shù) 的 全 微 分 公 式 . 2 求 原 函 數(shù) 的 一 般 方 法 . 定 理 1.2 如 果 方 程 (1.10)中 的 ， 在 矩 形 區(qū) 域 上 連 續(xù) 可 微 ， 則 方 程 (1.10)是 全 微 分 方 程 的 充 要 條 件 是 ： 在 R上 有 （ 1.50） 證 明 必 要 性 ， 設(shè) (1.10)是 全 微 分 方 程 ， 則 存 在 原 函 數(shù) ， 使 得 所 以 將 以 上 二 式 分 別 對 y和 x求 偏 導(dǎo) 數(shù) ， 得 到 因 為 M ， N 連

42、續(xù) 可 微 ， 所 以 成 立 ， 即 (1.50)成 立 .充 分 性 ， 設(shè) (1.50)在 區(qū) 域 R內(nèi) 成 立 ， 現(xiàn) 在 求 一 個(gè) 二 元 函 數(shù) ， 使 它 滿足 即 由 第 一 個(gè) 等 式 ， 應(yīng) 有 其 中 為 y 的 任 意 可 微 函 數(shù) ， 為 了 使 ， 再滿 足 必 須 適 當(dāng) 選 取 ， 使 滿 足 由 參 變 量 積 分 的 性 質(zhì) 和 條 件 (1.50)， 上 式 即 為 參 變 量 積 分 的 分 析 性 質(zhì) : 參 變 量 積 分 （ 1） ; 是 參 變 量 若 及 在 矩 形 上 連 續(xù) ， 則 參 變 量 積 分 （ 1） 定 義 的 函 數(shù) 在

43、區(qū) 間 上 可 微 ， 并 且 或 從 而 應(yīng) 取 積 分 后 得 到 因 為 只 要 一 個(gè) 就 夠 了 ， 故 取 .于 是 ， 函 數(shù) (1.51)就 是 所 求 的 原 函 數(shù) ， 而 全 微 分 方 程 (1.10)的 通 積 分 是 (1.52)定 理 1.2 不 但 給 出 了 判 斷 方 程 (1.10)為 全 微 分 方 程 的 充 要 條 件 ， 而 且 給出 了 當(dāng) 判 別 式 (1.50)成 立 時(shí) ， (1.51)式 就 是 (1.10)左 端 的 原 函 數(shù) ， 而(1.52)就 是 (1.10)的 通 積 分 . 1.5.2 積 分 因 子 以 上 我 們 給 出

44、 了 全 微 分 方 程 的 求 解 公 式 ， 但 是 ， 方 程 (1.10)未 必 都 是全 微 分 方 程 ， 例 如 ， 下 面 這 個(gè) 簡 單 方 程 (1.54)就 不 是 全 微 分 方 程 ， 因 為 如 果 ， 將 上 面 這 個(gè) 方 程 兩 端 同 乘 以 ， 得 到 方 程 (1.55) 這 是 一 個(gè) 全 微 分 方 程 ， 因 為 此 時(shí) 有 通 常 我 們 稱 為 方 程 (1.54)的 積 分 因 子 ， 因 為 它 可 使方 程 (1.54)變 成 全 微 分 方 程 (1.55).一 般 地 ， 我 們 有 下 面 的 定 義 . 假 如 存 在 這 樣 的

45、 連 續(xù) 可 微 函 數(shù) ， 使 方 程 (1.56)成 為 全 微 分 方 程 ， 我 們 就 把 稱 為 方 程 (1.10)的 一 個(gè) 積 分 因 子 . 易 于 看 到 ， 當(dāng) 時(shí) ， 方 程 (1.10)與 (1.56)是同 解 的 .于 是 ， 為 了 求 解 (1.10)， 只 須 求 解 (1.56)就可 以 了 ， 但 是 如 何 求 得 積 分 因 子 呢 ?下 面 就 來 研 究求 積 分 因 子 的 方 法 . 方 程 (1.56)是 全 微 分 方 程 的 充 要 條 件 為 展 開 并 整 理 后 ， 上 式 化 成 （ 1 57） 一 般 地 說 ， 偏 微 分

46、方 程 (1.57)是 不 易 求 解 的 .不 過 ， 對 于 某 些特 殊 情 況 ， (1.57)的 求 解 問 題 還 是 比 較 容 易 的 .下 面 我 們 給 出兩 種 特 殊 的 積 分 因 子 的 求 法 . 1 方 程 (1.10)存 在 只 與 x有 關(guān) 的 積 分 因 子 的 充 要 條 件 是 只 與 x有 關(guān) ， 且 此 時(shí) 有 (1.58) 證 明 必 要 性 ， 若 方 程 (1.10)存 在 只 與 x有 關(guān) 的 積 分 因 子 ，則 有 ,這 樣 (1.57)成 為 即 (1.59)因 為 (1.59)左 端 只 與 x 有 關(guān) ， 所 以 它 的 右 端

47、也 只 與 x 有 關(guān) . 充 分 性 ， 如 果 只 與 x 有 關(guān) ， 且 是 方 程 (1.59)的 解 ， 即 不 難 驗(yàn) 證 ， 就 是 (1.10)的 一 個(gè) 積 分 因 子 . 證 畢 . 2 方 程 (1.10)存 在 只 與 y 有 關(guān) 的 積 分 因 子 的 充 要 條 件 是 只 與 y 有 關(guān) ， 且 此 時(shí) 有 (1.60)證 明 與 1 相 似 證 明 . 本 節(jié) 要 點(diǎn) : 1 全 微 分 方 程 的 解 法 本 質(zhì) 是 求 一 個(gè) 全 微 分 的 原 函 數(shù) 問 題 2 求 原 函 數(shù) 的 常 用 方 法 觀 察 法 ， 適 用 于 簡 單 方 程 公 式 法

48、， （ 1.51） 式 3 積 分 因 子 的 求 法 要 求 掌 握 公 式 （ 1.58） 和 公 式 （ 1.60） ， 即會 求 只 與 x 有 關(guān) 或 只 與 y 有 關(guān) 的 積 分 因 子 1.6 一 階 隱 式 微 分 方 程 前 面 幾 節(jié) 介 紹 的 是 求 解 顯 式 方 程 （ 1.9）的 一 些 初 等 積 分 法 .本 節(jié) 要 討 論 如 何 求 解 隱 式 方 程 （ 1.8）方 程 (1.8)也 稱 為 導(dǎo) 數(shù) 未 解 出 的 一 階 方 程 . 求 解 方 程 (1.8)的 問 題 分 兩 種 情 況 考 慮 ： 1 假 如 能 從 (1.8)中 把 解 出 ，

49、 就 得 到 一 個(gè) 或 幾 個(gè) 顯 式 方 程 如 果 能 用 初 等 積 分 法 求 出 這 些 顯 式 方 程 的 解 ， 那 么 就 得 到 方 程 (1.8)的 解 . 例 1 求 解 方 程 解 方 程 左 端 可 以 分 解 因 式 ， 得 從 而 得 到 兩 個(gè) 方 程 這 兩 個(gè) 方 程 都 可 以 求 積 ， 得 到 它 們 都 是 原 方 程 的 解 . 2 如 果 在 (1.8)中 不 能 解 出 y時(shí) ， 則 可 用 下 面 介 紹 的 “ 參數(shù) 法 ” 求 解 ， 本 節(jié) 主 要 介 紹 其 中 兩 類 可 積 類 型 ， 類 型 類 型 類 型 的 特 點(diǎn) 是 ，

50、 方 程 中 不 含 y 或 x ； 類 型 的 特 點(diǎn) 是 y 可 以 解 出 或 x 可 以 解 出 . 首 先 ， 考 慮 類 型 中 的 方 程 （ 1.61）我 們 已 經(jīng) 知 道 ， 方 程 (1.61)的 一 個(gè) 解 ， 在 平 面 上的 圖 象 是 一 條 曲 線 ， 而 曲 線 是 可 以 用 參 數(shù) 表 示 的 ， 稱 為 參數(shù) 形 式 解 ， 即 是 定 義 在 區(qū) 間 上 的 可 微 函 數(shù) 使 得 在 上 恒 成 立 . 顯 然 ， 如 果 能 從 方 程 (1.61)中 求 出 解 ， 再 把 它 參 數(shù) 化 ， 就 可 以 得 到 (1.61)的參 數(shù) 形 式 解

51、 ， 但 這 是 沒 有 什 么 意 義 的 .下 面 介 紹 的 參 數(shù) 法 ， 是 在 方 程 (1.61)中 當(dāng) 解 不 出來 時(shí) ， 先 把 方 程 (1.61)化 成 等 價(jià) 的 參 數(shù) 形 式 ， 然 后 根 據(jù) 某 種 恒 等 式 ， 可 以 求 出 原 方 程(1.61)的 參 數(shù) 形 式 解 .這 種 求 解 過 程 就 稱 為 參 數(shù) 法 .具 體 作 法 如 下 ：(1)方 程 (1.61)化 成 參 數(shù) 形 式 從 幾 何 上 看 ， 表 示 平 面 上 的 曲 線 ， 可 以 把 這 曲 線 表 示 為 適 當(dāng) 的 參 數(shù) 形式 （ 1.62）這 里 t 是 參 數(shù)

52、， 當(dāng) 然 有 （ 1.63）成 立 . (2)求 (1.61)的 參 數(shù) 形 式 解 由 于 (1.62)和 沿 著 (1.61)的 任 何 一 條 積 分 曲 線 上 恒 滿 足 基 本 關(guān) 系 式 這 樣 ， 把 (1.62)代 入 上 式 ， 得 上 式 兩 端 積 分 ， 得 到 于 是 ， 得 到 方 程 (1.61)的 參 數(shù) 形 式 通 解 （ 1.64） 不 難 驗(yàn) 證 ： 將 (1.64)代 入 (1.61)得 到 (1.63)， 這 說 明 (1.64)確 實(shí) 是 (1.61)的 參 數(shù) 形 式 通 解 . 同 理 ， 可 以 討 論 類 型 的 方 程 不 難 驗(yàn) 證

53、： 將 (1.64)代 入 (1.61)得 到 (1.63)， 這 說 明 (1.64)確 實(shí) 是 (1.61)的 參 數(shù) 形 式通 解 . 同 理 ， 可 以 討 論 類 型 的 方 程 (1.65)設(shè) 其 可 以 表 示 的 參 數(shù) 形 式 由 于 有 積 分 ， 得 從 而 (1.65)的 參 數(shù) 形 式 通 解 為 現(xiàn) 在 ， 考 慮 類 型 中 的 方 程 （ 1.66）從 幾 何 上 看 ， 方 程 (1.66)表 示 空 間 中 的 曲 面 ，令 ， 有 ， 這 樣 (1.66)的 參 數(shù) 形 式 是 (1.67）同 樣 ， 由 基 本 關(guān) 系 式 有 將 (1.67)代 入 上

54、 式 ， 得 或 （ 1.68） 這 是 一 個(gè) 關(guān) 于 自 變 量 為 x ， 未 知 函 數(shù) 為 p 的 方 程 .如 果 能 求 得 通 解 代 入 到 (1.67)的 第 三 個(gè) 方 程 中 ， 即 得 (1.66)的 通 解 如 果 只 能 求 得 (1.68)的 通 積 分 則 它 與 (1.67)的 第 三 個(gè) 方 程 聯(lián) 立 ， 為 (1.66)的 參 數(shù) 形 式 解 ， 若 能 消 去 參 數(shù) p ， 可 得(1.66)的 通 解 或 通 積 分 . 在 上 述 求 解 過 程 中 ， 請 讀 者 注 意 ： 當(dāng) 從 方 程(1.68)中 解 出 時(shí) ， 只 要 將 其 代

55、入 (1.67)的第 三 式 ， 就 得 到 (1.66)的 通 解 了 ， 而 不 要 再 將 p 認(rèn)為 y， 再 積 分 來 求 y 這 是 為 什 么 呢 ?因 為 用 參 數(shù)法 求 解 方 程 (1.66)的 實(shí) 質(zhì) 意 義 在 于 ： 當(dāng) 從 (1.66)中不 能 解 出 時(shí) ， 通 過 參 數(shù) 法 ， 把 求 解 (1.66)化 為一 個(gè) 以 x為 自 變 量 ， 以 為 未 知 函 數(shù) 的 方 程 (1.68)， 一 旦 從 (1.68)中 解 得 ， 那 么 它 當(dāng) 然 滿 足 (1.67)中 的 第 三 式 ， 即 有 ， 而 這 相 當(dāng) 于 在 (1.66)中 先 把 解

56、出 ， 又 由 于 方 程 (1.66)形 式 的 特 殊 性 ， 使 得 成 為 了 原 方程 (1.66)的 通 解 . 同 理 ， 可 以 考 慮 類 型 的 方 程 (1.69) 設(shè) 其 參 數(shù) 形 式 為 （ 1.70）由 其 本 關(guān) 系 式 ， 有 將 (1.70)代 入 上 式 ， 得 或 （ 1.71） 如 果 能 從 (1.71)解 出 通 解 ， 代 入 到 (1.70)第 三 式 ， 即 得 (1.69)的 通 積 分 如 果 從 (1.71)中 解 出 通 積 分 將 它 與 (1.70)第 三 式 聯(lián) 立 ， 將 它 與 (1.70)第 三 式 聯(lián) 立 ， 消 去 p

57、 ， 可 得 (1.69)的 通 積 分 （ 隱 函 數(shù) 存 在 定 理 及 求 導(dǎo) 公 式 )， 隱 函 數(shù) 存 在 定 理 及 求 導(dǎo) 公式 隱 函 數(shù) 方 程 （ 1） 設(shè) 在 點(diǎn) 的 某 一 領(lǐng) 域 內(nèi) 滿 足 具 有 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ； ； ， 則 方 程 （ 1） 在 的 某領(lǐng) 域 內(nèi) 恒 能 唯 一 確 定 一 個(gè) 單 值 連 續(xù) 且 有 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) 的 函 數(shù) ， 滿 足 ， 并 且 （ 2） （ 2） 稱 為 隱 函 數(shù) 求 導(dǎo) 公 式 .方 程 (1.73)稱 為 克 萊 洛 (Clairaut)方 程 .由 (1.75)式 可 知 ， 它 的通 解 恰 好 是 在

58、 方 程 (1.73)中 用 C取 代 y而 成 . 本 節(jié) 要 點(diǎn) ： 1 求 解 隱 式 方 程 時(shí) ， 首 先 考 慮 用 第 一 種 解 法 ， 即 盡 可能 化 成 顯 式 方 程 求 解 ，其 次 再 考 慮 用 參 數(shù) 法 求 解 2 理 解 好 參 數(shù) 解 法 原 理 ， 類 型 和 類 型 解 法 的 原 理是 一 樣 的 例 如 方 程 參 數(shù) 解 法 的 原 理 是 ： （ 1） 方 程 （ 1.61）與 其 參 數(shù) 化 方 程 (1.62)在 平 面 上 等 價(jià) （ 2） 由 解 出 （ 1.62） 的 解 (1.64) (3)（ 1.64） 是 （ 1.61） 的 參

59、 數(shù) 形 式 解 ， 因 為 3 類 型 方 程 解 法 的 基 本 思 想 是 ， 先 通 過 等 價(jià) 關(guān) 系 解得 ， 然 后 代 入 原 方 程 ， 從 而 得 到 到 原 方 程 的 通 解 3 類 型 方 程 解 法 的 基 本 思 想 是 ，先 通 過 等 價(jià) 關(guān) 系 解 得 y， 然 后 代 入 原 方 程 ，從 而 得 到 到 原 方 程 的 通 解 第 7講 幾 種 可 降 階 的 高 階 方 程 幾 種 可 降 階 的 高 階 方 程 本 節(jié) 要 介 紹 三 種 高 階 方 程 的 解 法 ， 這 些 解 法 的 基 本 思 想 就 是 把 高階 方 程 通 過 某 些 變

60、 換 降 為 較 低 階 方 程 加 以 求 解 ， 所 以 稱 為 “ 降 階 法 ” . 1.7.1 第 一 種 可 降 階 的 高 階 方 程 方 程 （ 1.78） 這 種 方 程 的 特 點(diǎn) 是 方 程 中 出 現(xiàn) 的 最 低 階 的 導(dǎo) 數(shù) 為 .這 時(shí) 只 要 令 (1.78)中 就 化 成 （ 1.79） 如 果 (1.79)能 求 出 通 解 則 由 對 積 分 ， 就 可 以 求 出 y來 了 . 第 二 種 可 降 階 的 高 階 方 程 方 程 這 類 方 程 的 特 點(diǎn) 是 不 顯 含 自 變 量 x， 這 時(shí) ， 總可 以 利 用 代 換 ， 使 方 程 降 低 一

61、 階 .以 二 階 方程 為 例 .令 ， 于 是 有 代 入 原 方 程 ， 就 有 這 是 一 個(gè) 關(guān) 于 未 知 函 數(shù) p 的 一 階 方 程 .如 果由 它 可 求 得 則 有 這 是 一 個(gè) 關(guān) 于 的 變 量 可 分 離 方 程 ， 可 求得 通 積 分 . 1.7.3 恰 當(dāng) 導(dǎo) 數(shù) 方 程 假 如 方 程 （ 1.80） 的 左 端 恰 為 某 一 函 數(shù) 對 x的 導(dǎo)數(shù) ， 即 (1.80)可 化 為 則 (1.80)稱 為 恰 當(dāng) 導(dǎo) 數(shù) 方 程 . 這 類 方 程 的 解 法 與 全 微 分 方 程 的 解 法 相類 似 ， 顯 然 可 降 低 一 階 ， 成 為 之

62、后 再 設(shè) 法 求 解 這 個(gè) 方 程 . 初 等 積 分 法 小 結(jié) 1 5種 基 本 解 法 分 量 變 量 法 常 數(shù) 變 易 法 積 分 因 子 法 ： 化 為 全 微 分 方 程 參 數(shù) 法 降 階 法 2 初 等 積 分 法 的 歷 史 地 位 自 1676年 微 分 方 程 的 研 究 工 作 開 始 ， 其 后 100多 年 間 是 初 等 積 分 發(fā) 展 的 重 要 時(shí) 期 1841年 法 國 數(shù) （ Liouville） 指 出 ： 絕 大 多 數(shù) 常 微分 方 程 不 能 用 初 等 積 分 求 解 ， 例 如 方 程 就 不 能 用 初 等 積 分 求 解 這 說 明

63、初 等 積 分 法 有 相 當(dāng)?shù)?局 限 性 但 是 ， 初 等 積 分 法 至 今 不 失 其 重 要 性 ， 一 直 被認(rèn) 為 是 常 微 分 方 程 中 非 常 有 用 的 解 題 方 法 之 一 ， 也是 初 學(xué) 者 的 基 本 訓(xùn) 練 之 一 第 8講 應(yīng) 用 舉 例 一 般 說 來 ， 用 常 微 分 方 程 去 解 決 某 些 實(shí) 際 問 題 的 過 程 分 以 下 三 個(gè) 步 驟 ： I 建 立 方 程 對 所 研 究 問 題 ， 根 據(jù) 已 知 定 律 或 公 式 以 及 某 些 等 量關(guān) 系 列 出 微 分 方 程 和 相 應(yīng) 初 值 條 件 II 求 解 方 程 III

64、分 析 問 題 通 過 已 求 得 的 解 的 性 質(zhì) ， 分 析 實(shí) 際 問 題 . 1.8.1 等 角 軌 線 我 們 來 求 這 樣 的 曲 線 或 曲 線 族 ， 使 得 它 與 某 已 知 曲 線 族 的 每 一 條曲 線 相 交 成給 定 的 角 度 .這 樣 的 曲 線 稱 為 己 知 曲 線 的 等 角 軌 線 .當(dāng) 所 給 定 的 角 為 直 角時(shí) ， 等 角 軌 線 就 稱 為 正 交 軌 線 .等 角 軌 線 在 其 它 很 多 學(xué) 科 (如 天 文 、 氣 象等 )中 都 有 應(yīng) 用 .下 面 就 來 介 紹 求 等 角 軌 線 的 方 法 . 首 先 把 問 題 進(jìn)

65、一 步 提 明 確 一 些 設(shè) 在 (x, y)平 面 上 ， 給 定 一 個(gè) 單 參 數(shù) 曲 線 族 (C)： .求 這 樣 的 曲 線 ， 使 得 l與 (C) 中 每 一 條 曲 線 的 交 角 都 是 定 角 (圖 1-3). 圖 1-3 設(shè) l 的 方 程 為 .為 了 求 ， 我 們 先 來 求 出 所 應(yīng) 滿 足 的 微 分 方 程 ， 也 就 是 要 先 求 得 的關(guān) 系 式 .條 件 告 訴 我 們 l與 (C) 的 曲 線 相 交 成 定 角 ，于 是 ， 可 以 想 見 ， y_1 和 y_1 必 然 應(yīng) 當(dāng) 與 (C)中 的曲 線 y=y(x)及 其 切 線 的 斜 率

66、 y 有 一 個(gè) 關(guān) 系 .事 實(shí) 上 ，當(dāng) 時(shí) ， 有 或 (1.81) 當(dāng) 時(shí) ， 有 (1.82) 又 因 為 在 交 點(diǎn) 處 ， ,于 是 ， 如 果 我 們 能 求 得 的 關(guān)系， 即 曲 線 族 (C) 所 滿 足 的 微 分 方 程 (1.8) 只 要 把 y=y_1 和 (1.81)或 (1.82)代 入 (1.8)， 就 可 求 得 x,y_1.y_1 所 應(yīng) 滿 足的 方 程 了 . 如 何 求 (1.8)呢 ? 采 用 分 析 法 . 設(shè) y=y(x) 為 (C ) 中 任 一 條 曲 線 ， 于 是 存 在 相 應(yīng) 的 C， 使 得 因 為 要 求 x,y,y 的 關(guān) 系 ， 將 上 式 對 x求 導(dǎo) 數(shù) ， 得 (1.84) 這 樣 ， 將 上 兩 式 聯(lián) 立 ， 即 由 (1.85 消 去 C， 就 得 到 x,y(x),y(x)所 應(yīng) 當(dāng) 滿 足 的 關(guān) 系 這 個(gè) 關(guān) 系 稱 為 曲 線 族 (C) 的 微 分 方 程 . 于 是 ， 等 角 軌 線 ( )的 微 分 方 程 就 是 (1.86)而 正 交 軌 線 的 微 分 方 程 為 (1.87)