2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十 立體幾何(含解析).doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十 立體幾何(含解析) 抓住3個(gè)高考重點(diǎn) 重點(diǎn)1 三視圖與空間幾何體的表面積和體積 1.三視圖的畫(huà)法 三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線,畫(huà)幾何體的三視圖的要求是正視圖、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正,正視圖、側(cè)視圖高平齊,俯視圖、側(cè)視圖寬相等.畫(huà)出的三視圖要檢驗(yàn)是否符合“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的基本特征, 對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體的組合體,首先要弄清它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的,再畫(huà)出它的三視圖. 2.由三視圖還原直觀圖的方法 (1)還原后的幾何體一般為較熟悉的柱、錐、臺(tái)、球的組合體. (2)圖中實(shí)線和虛線實(shí)際是原幾何體中的可視線與被遮擋線. (3)想象物體原形,畫(huà)出草圖后進(jìn)行三視圖還原,并與所給三視圖比較,再準(zhǔn)確畫(huà)出原幾何體. 3幾何體表面積的求解方法 4.幾何體體積的求解方法 [高考??冀嵌萞 角度1 在一個(gè)幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為( ). 解析:由幾何體的正視圖和俯視圖可知,該幾何體應(yīng)為一個(gè)半圓錐和一個(gè)有一側(cè)面(與半圓錐的軸截面為同一三角形)垂直于底面的三棱錐的組合體,故其側(cè)視圖應(yīng)為D. 角度2若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是( ). 解析:所給選項(xiàng)中,A、C選項(xiàng)的正視圖、俯視圖不符合,D選項(xiàng)的側(cè)視圖不符合,只有選項(xiàng)B符合. 角度3一個(gè)空間幾何體得三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( ) A. B. C. D. 點(diǎn)評(píng):考查三視圖的識(shí)別以及空間多面體表面積的求法. 解析:三視圖可知幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底為2, 下底為4,高為4,兩底面積和為, 四個(gè)側(cè)面的面積為, 所以幾何體的表面積為.故選C. 角度4一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:)則該幾何體的 體積為_(kāi)_______. 解析:由三視圖可知該幾何體是組合體,下面是長(zhǎng)方體,長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、1, 上面是一個(gè)圓錐,底面圓半徑為1,高為3, 所以該幾何體的體積為().答案 角度5已知兩個(gè)圓錐有公共底面,且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上,若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的 ,則這兩個(gè)圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 . 點(diǎn)評(píng):本題考查球內(nèi)接圓錐問(wèn)題,屬于較難的題目。 解析:作圖分析,由圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的得 所以, 從而小圓錐的高為大圓錐的高為,所以比值為 角度6如圖,四棱錐中,底面,,點(diǎn)在線段上,且. (Ⅰ)求證:平面; (Ⅱ)若,,,,求四棱錐的體積. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力、抽象根據(jù)能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,滿分12分。 解析:因?yàn)榈酌?,平面? 所以. 因?yàn)椋?,所以.又? 所以平面. (Ⅱ)由(Ⅰ),, 在中,,, 又因?yàn)椋瑒t,又,, 所以四邊形為矩形.四邊形為梯形. 因?yàn)?,所以,? . 重點(diǎn)2 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系 1.證明直線與平面平行垂直的判定與證明 4.面面垂直的判定與證明的常用方法 2.證明面面平行的常用方法 3.直線與平面 5.合理選擇適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用空間向量進(jìn)行證明,求解異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角、點(diǎn)到平面的距離. [高考常考角度] 角度1已知,,是空間中三條不同的直線,則下列命題正確的是( ) A. , B. , C. ,,共面 D. ,,共點(diǎn),,共面 解析:在空間中,垂直于同一直線的兩條直線不一定平行,故A錯(cuò); 兩平行線中的一條垂直于第三條直線,則另一條也垂直于第三條直線,B正確; 相互平行的三條直線不一定共面,如三棱柱的三條側(cè)棱,故C錯(cuò); 共點(diǎn)的三條直線不一定共面,如三棱錐的三條側(cè)棱,故D錯(cuò).故選B 角度2下列命題中錯(cuò)誤的是( ) A.如果平面⊥平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面 B.如果平面不垂直于平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 C.如果平面⊥平面,平面⊥平面那么⊥平面 D.如果平面⊥平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面 解析:對(duì)于D,若平面⊥平面,則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面β,甚至可能平行于平面β, 其余選項(xiàng)均是正確的. 故選D 角度3如圖,在四棱錐中,平面⊥平面,,分別是的中點(diǎn).求證: (1)直線∥平面; (2)平面⊥平面. 解析:(1)如圖,在△PAD中,因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AP,AD的中點(diǎn), 所以EF∥PD. 又因?yàn)槠矫鍼CD,PD?平面PCD, 所以直線EF∥平面PCD. (2)連接BD.因?yàn)锳B=AD,∠BAD=60,所以△ABD為正三角形. 因?yàn)镕是AD的中點(diǎn),所以BF⊥AD. 因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BF⊥平面PAD. 又因?yàn)锽F?平面BEF, 所以平面BEF⊥平面PAD. 角度4如圖,在中,是上的高,沿把折起,使. (1)證明:平面平面; (2)若,求三棱錐的表面積. 解析:(1)證明:∵折起前AD是BC邊上的高, ∴當(dāng)△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB. 又DB∩DC=D,∴AD⊥平面BDC. ∵AD?平面ABD,∴平面ABD⊥平面BDC. (2)由(1)知,DA⊥DB,DC⊥DA, ∵DB=DA=DC=1,DB⊥DC, ∴AB=BC=CA=. 從而S△DAB=S△DBC=S△DCA=11=, S△ABC=sin60=, ∴三棱錐的表面積 角度5如圖,在四面體中,點(diǎn)D,E,F(xiàn),G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn). (Ⅰ)求證:DE∥平面BCP; (Ⅱ)求證:四邊形DEFG為矩形; (Ⅲ)是否存在點(diǎn)Q,到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等?說(shuō)明理由. 解析:(Ⅰ)證明:因?yàn)镈,E分別為AP,AC的中點(diǎn),所以DE∥PC. 又因?yàn)槠矫鍮CP, 所以DE∥平面BCP. (Ⅱ)證明:因?yàn)镈,E,F(xiàn),G分別為AP,AC,BC,PB的中點(diǎn), 所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF. 所以四邊形DEFG為平行四邊形. 又因?yàn)镻C⊥AB,所以DE⊥DG. 所以四邊形DEFG為矩形. (Ⅲ)存在點(diǎn)Q滿足條件,理由如下:連接DF,EG,設(shè)Q為EG的中點(diǎn). 由(Ⅱ)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG. 分別取PC,AB的中點(diǎn)M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN. 與(Ⅱ)同理,可證四邊形MENG為矩形,其對(duì)角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q, 且QM=QN=EG,所以Q為滿足條件的點(diǎn). 重點(diǎn)3 空間角的求解 1.角的范圍:異面直線所成的角的范圍是,直線與平面所成的角的范圍是, 二面角的范圍是 2.角的求解 (1)異面直線所成的角:(綜合法)將異面直線平移到一個(gè)平面,通過(guò)解三角形求解;(向量法)若異面直線的方向向量分別為,設(shè)異面直線所成的角為,則 (2)直線與平面所成的角:(綜合法)通過(guò)垂線找射影及角,再通過(guò)解三角形求解;(向量法)求出平面的法向量,直線的方向向量,設(shè)線面所成的角為,則. (3)二面角的大?。海ňC合法)通過(guò)線面關(guān)系找出二面角的平面角,再通過(guò)解三角形求解;(向量法)求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量,設(shè)二面角大小為,若為銳角,則. 若為鈍角,則. [高考??冀嵌萞 角度1如圖,在長(zhǎng)方體中,、分別是棱、上的點(diǎn), , (1)求異面直線與所成角的余弦值; (2)證明平面 (3)求二面角的正弦值。 解析:本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,滿分12分。 (綜合法)(1)設(shè)AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 如圖,連結(jié)B1C,BC1,設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C,由,可知. 故是異面直線與所成的角,易知, 所以 ,所以異面直線與所成角的余弦值為 (2)證明:連接AC,設(shè)AC與DE交點(diǎn)N,因?yàn)椋? 所以,從而,又由于,所以, 故,又因?yàn)榍遥浴推矫?,從? 連接,同理可證⊥平面,從而, 所以,因?yàn)椋? 所以平面 (3)連接,由(2)可知⊥平面,又平面, 平面, 所以, 故為二面角的平面角 易知,所以, 又 所以, 在,在中, 連結(jié),在 , 所以 所以二面角的正弦值為 (向量法)如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),依題意得,,, (1)解:易得, 于是 所以異面直線與所成角的余弦值為 (2)證明:已知, , 于是, 因此,,,又 所以平面 (3)解:設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由, 令,則,, 由(2)可知,為平面的一個(gè)法向量。 于是,從而 所以二面角的正弦值為. 角度2如圖,四棱錐中,,,側(cè)面為等邊三角形, . (Ⅰ)證明:平面 (Ⅱ)求與平面所成角的大小. (綜合法)解析:(Ⅰ)方法一:計(jì)算, 于是,利用勾股定理,可知 同理,可證 又 因此,平面 方法二:取的中點(diǎn),連接,則四邊形為矩形,.連接,則. 又,故,所以,即. 由,得平面,所以. 又 所以平面 (Ⅱ)由平面知,平面ABCD⊥平面SDE. 作,垂足為,則⊥平面ABCD,. 作FG⊥BC,垂足為G,則FG=DC=1.連接SG,則SG⊥BC. 又BC⊥FG,SG∩FG=G, 故BC⊥平面SFG,平面SBC⊥平面SFG.作FH⊥SG,H為垂足,則FH⊥平面SBC. FH==,即F到平面SBC的距離為. 由于ED∥BC,所以ED∥平面SBC,E到平面SBC的距離d也為. 設(shè)AB與平面SBC所成的角為α,則sinα==. 點(diǎn)評(píng):求與平面所成角,如果要找出在平面上的射影,有點(diǎn)難。 (向量法)解析:方法一:取中點(diǎn)為,連結(jié),則 故平面,,平面平面,交線為 過(guò)作,則平面,作交于 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 , 所以SD⊥平面SAB. 又 , 則,, 設(shè)是平面的一個(gè)法向量,由, 令則, 所以與平面所成角為 方法二:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),射線CD為x軸正半軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系C-xyz, 則,又設(shè),則. (Ⅰ) 由得 由得,又由得, 即,故。 于是 故,又 所以平面 (Ⅱ)設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量,則 又故 取得,又 , 所以與平面所成角為 突破3個(gè)高考難點(diǎn) 難點(diǎn)1 探究與球有關(guān)的組合體問(wèn)題 與球有關(guān)的組合體問(wèn)題,一種是內(nèi)切,一種是外接,解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖.如球內(nèi)切于正方體,切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心,正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑,球與旋轉(zhuǎn)體的組合,通常作它們的軸截面解題,球與多面體的組合,通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心、“切點(diǎn)”或“接點(diǎn)”作出截面圖. 典例1 四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為,點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則該球的體積為_(kāi)________. 解析: 如圖所示,根據(jù)對(duì)稱性,只要在四棱錐的高線SE上找到一個(gè)點(diǎn) 使得,則四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)就在同一個(gè)球面上.在中, ,故.設(shè)球的半徑為,則 中,,,即點(diǎn)E即為球心, 故這個(gè)球的體積 典例2 如圖所示,在等腰梯形中,為的中點(diǎn),將與分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成的三棱錐的外接球的體積. 解析:平面圖形中,, 所以折疊后得到一個(gè)正四面體. 方法一:如圖,作平面,垂足為 三棱錐是正四面體, F即為△DEC的中心,且外接球的球心在線段AF上. 取EC的中點(diǎn)G,連接DG、AG,過(guò)球心作OH上平面AEC,則垂足為△AEC的外心. 又△AEC為等邊三角形, 點(diǎn)H在線段AG上,且 外接球半徑可利用求得 故 外接球體積為 方法二:如圖所示,把正四面體放在正方體中,顯然,正四面體的外接球就是正方體的外接球, 正四面體的棱長(zhǎng)為1,正方體的棱長(zhǎng)為, 故外接球直徑,所以外接球體積為 難點(diǎn)2 平面圖形翻折問(wèn)題的求解 將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起,使其成為空間圖形,這類問(wèn)題稱之為平面圖形翻折問(wèn)題.平面圖形經(jīng)過(guò)翻折成為空間圖形后,原有的性質(zhì)有的發(fā)生了變化,有的沒(méi)有發(fā)生變化,弄清它們是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,一般地,翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化,解決這類問(wèn)題就是要據(jù)此研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和幾何量的度量值,這是解決翻折問(wèn)題的主要方法. 典例 如圖,在中,,為邊上一動(dòng)點(diǎn),交于點(diǎn),現(xiàn)將沿翻折至使平面平面 (1)當(dāng)棱錐的體積最大時(shí),求的長(zhǎng); (2)若點(diǎn)為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),求證: 點(diǎn)評(píng):本題考查的空間里的翻折問(wèn)題,考查空間思維能力,考查空間幾何體的體積計(jì)算、考查空間直線的位置關(guān)系的證明,考查函數(shù)與方程的思想、考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)等。 解析:(1)設(shè), 為等腰直角三角形, 令 , 則 的變化如下表: ↗ 極大值 ↘ 由上表易知:當(dāng)時(shí),有取最大值。 (2)證明:如圖,取F為A′B的中點(diǎn),連接PF,F(xiàn)E. 則有EFBC,PDBC,所以四邊形PDEF為平行四邊形. 所以DE∥PF. 又A′P=PB,所以PF⊥A′B.故DE⊥A′B. 難點(diǎn)3 立體幾何中的探索問(wèn)題 立體幾何中的探索性問(wèn)題的主要類型有:(1)探索條件,即探索能使結(jié)論成立的條件是什么;(2)探索結(jié)論,即在給定的條件下,命題的結(jié)論是什么. 方法一 綜合法 方法二 空間向量法 典例1如圖,在三棱錐中,為的中點(diǎn),平面,垂足落在線段上.已知 (Ⅰ)證明:; (Ⅱ)在線段上是否存在點(diǎn),使得二面角為直二面角? 若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解析:(綜合法)(Ⅰ)由AB =AC,D是BC的中點(diǎn),得AD⊥BC. 由PO⊥平面ABC,得PO⊥BC. 因?yàn)?,所以BC⊥平面PAD, 故BC⊥PA. (Ⅱ)如圖,在平面PAB內(nèi)作BM⊥PA 與于M,連接CM 由(Ⅰ)知AP⊥BC,因?yàn)椋蔄P⊥平面BMC. 又AP平面APC,所以平面BMC⊥平面APC. 在中, 在中, 在中, 在中, 又 ,從而 綜上所述,存在點(diǎn)M符合題意, (向量法)(Ⅰ)證明:如圖,以O(shè)為原點(diǎn),以射線OP為z軸的正半軸, 建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則 ,,由此可得, 所以,即. (Ⅱ)假設(shè)存在符合題意的點(diǎn),設(shè) 則 ,. 設(shè)平面BMC的法向量=(x1,y1,z1),平面APC的法向量=(x2,y2,z2). 由 得即可取=(0,1,). 由 即得可?。?5,4,-3). 由,得4-3=0,解得,故. 綜上所述,存在點(diǎn)M符合題意,. 規(guī)避4個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 共面條件理解有誤 典例 設(shè)分別是正方體的棱、的中點(diǎn),試作出平面與正方體的截面. 易失分提示:本題易出現(xiàn)的問(wèn)題是誤認(rèn)為即為所求截面. 解析:取的中點(diǎn)G,G的中點(diǎn)F,連接AG、NF, 延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接交于點(diǎn),連接, 則五邊形即為所求截面,如圖所示. 下面證五點(diǎn)共面, 易證 在△ADG中,AN=ND,GF=FD,F(xiàn)N∥ AG. 又,故與確定平面平面 故五點(diǎn)共面 易失分點(diǎn)2 異面直線所成的角理解錯(cuò)誤 典例 已知在空間四邊形ABCD中,AB=CD =3,點(diǎn)E、F分別是邊BC和AD上的點(diǎn),并且, 求異面直線與所成角的大?。? 易失分提示:對(duì)異面直線所成角的概念和范圍不熟悉,誤認(rèn)為依據(jù)題意作出的(點(diǎn)G為線段BD上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn))的大小就是所求異面直線與所成角的大小. 解析:在BD上取靠近B的三等分點(diǎn)G,連接FG、GE,如圖所示. 在中, 同理,在中, 就是異面直線AB與CD所成的角或其補(bǔ)角. 在中,由 在中,由 在中,由,故 因此異面直線與所成角的大小為 易失分點(diǎn)3 空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系不清 典例 已知是三個(gè)互不重合的平面,是一條直線,給出下列四個(gè)命題: ①若,則; ②若,則;‘ ③若上有兩個(gè)點(diǎn)到的距離相等,則; ④若則 其中正確命題的序號(hào)是____________(填上所有正確命題的序號(hào)). 易失分提示: 解本題可能出現(xiàn)的問(wèn)題就是對(duì)空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理掌握不清導(dǎo)致誤判. 如:命題①中,可能對(duì)線面平行關(guān)系認(rèn)識(shí)不清,誤以為直線在平面內(nèi)也算平行,認(rèn)為命題①正確; 命題③中,對(duì)點(diǎn)到平面的距離相等,考慮不到點(diǎn)可能在平面兩側(cè),認(rèn)為命題③正確. [答案] ②④ 解析: ①中有的可能;②,使得,故②正確; ③中包含兩個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè)的情況;④容易得,故④正確. 易失分點(diǎn)4 線面位置關(guān)系定理使用不當(dāng) 典例 如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形, 分別為、的中點(diǎn). (1)求證:平面∥平面; (2)求證:平面平面. 易失分提示:若不注意選取AC與BD的交點(diǎn),難以找到本題的解題入口,對(duì)于(1),易出現(xiàn)表達(dá)上的漏洞, 如得到與即下結(jié)論平面FGH∥平面BDE; 對(duì)于(2),易缺少轉(zhuǎn)換考慮,直接證,從而不能順利得到結(jié)論. 解析:(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn),連接OE、OH, 由得 ,為平行四邊形, 平面,平面,平面 分別為的中點(diǎn),,平面BDE,平面BDE,平面 又,所以 平面∥平面 (2)四邊形ABCD為正方形,, 又平面,又 又 是的中點(diǎn),平面, 又平面,而 因此 平面平面.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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