（全國通用）高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 推理與證明、算法、復數(shù) 第4節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入課件 文 新人教A

第第4節(jié)節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 最新考綱 1.理解復數(shù)的基本概念；2.理解復數(shù)相等的充要條件；3.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4.會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算；5.了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義. 1.復數(shù)的有關(guān)概念 知知 識識 梳梳 理理 a 內(nèi)容 意義 備注 復數(shù)的概念 形如abi(aR，bR)的數(shù)叫復數(shù)，其中實部為 ，虛部為_ 若b0，則abi為實數(shù)；若a0且b0，則abi為純虛數(shù) 復數(shù) 相等 abicdi (a，b，c，dR) b a=c且b=d 共軛復數(shù) abi 與 cdi 共軛 (a，b，c，dR) 復平面 建立平面直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面， 叫實軸，y 軸叫虛軸 實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示虛數(shù) 復數(shù)的模 設(shè)OZ對應(yīng)的復數(shù)為 zabi， 則向量OZ的長度叫做復數(shù) zabi 的模 |z|abi| a=c且b=-d x軸 a2b2 2.復數(shù)的幾何意義 復數(shù)集 C 和復平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應(yīng)的，復數(shù)集 C 與復平面內(nèi)所有以原點 O 為起點的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的，即 (1)復數(shù) zabi 復平面內(nèi)的點 (a，bR). (2)復數(shù) zabi(a，bR) 平面向量OZ. Z(a，b) 3.復數(shù)的運算 設(shè) z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則 (1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (2)減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (3)乘法：z1 z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i； (4)除法：z1z2abicdi（abi）（cdi）（cdi）（cdi） acbd（bcad）ic2d2(cdi0). 常用結(jié)論與微點提醒 1.i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*. 2.(1i)22i；1i1ii；1i1ii. 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)復數(shù)zabi(a，bR)中，虛部為bi.( ) (2)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小.( ) (3)原點是實軸與虛軸的交點.( ) (4)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應(yīng)的向量的模.( ) 解析 (1)虛部為b；(2)虛數(shù)不可以比較大小. 答案 (1) (2) (3) (4) 診診 斷斷 自自 測測 2.(2016 全國卷)設(shè)(12i)(ai)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a( ) A.3 B.2 C.2 D.3 解析 因為(12i)(ai)a2(2a1)i，所以a22a1，解得a3. 答案 A 3.(2017 全國卷)復平面內(nèi)表示復數(shù)zi(2i)的點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由題意，得z12i，其在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第三象限. 答案 C 4.(2017 江蘇卷)已知復數(shù)z(1i)(12i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是_. 答案 10 解析 z(1i)(12i)13i，所以|z| （1）232 10. z2i. 答案 2i 解析 z43i12i（43i）（12i）（12i）（12i）105i52i， 5.(選修 12P63B1 改編)已知(12i)z43i，則 z_. 考點一考點一 復數(shù)的有關(guān)概念復數(shù)的有關(guān)概念 【例 1】 (1)(2017 全國卷)下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是( ) A.i(1i)2 B.i2(1i) C.(1i)2 D.i(1i) (2)(2017 全國卷)設(shè)復數(shù) z 滿足(1i)z2i，則|z|( ) A.12 B.22 C. 2 D.2 (3)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于( ) A.3，2 B.3，2 C.3，3 D.1，4 解析 (1)由(1i)22i為純虛數(shù)知選C. (3)(1i)(23i)32iabi，所以a3，b2. 答案 (1)C (2)C (3)A (2)z2i1i2i（1i）（1i）（1i）2i22i1，則|z| 1212 2. 規(guī)律方法 1.復數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可. 2.解題時一定要先看復數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實部和虛部. 【訓練 1】 (1)(2018 廣東名校聯(lián)考)已知 z13i3i(i 為虛數(shù)單位)，則 z 的共軛復數(shù)的虛部為( ) A.i B.i C.1 D.1 (2)(2017 全國卷)設(shè)有下面四個命題 p1：若復數(shù) z 滿足1zR，則 zR； p2：若復數(shù) z 滿足 z2R，則 zR； p3：若復數(shù) z1，z2滿足 z1z2R，則 z1z2； p4：若復數(shù) zR，則zR. 其中的真命題為( ) A.p1，p3 B.p1，p4 C.p2，p3 D.p2，p4 p2：若z21，滿足z2R，而zi，不滿足zR，故p2不正確； p3：若z11，z22，則z1z22，滿足z1z2R，而它們實部不相等，不是共軛復數(shù)，故p3不正確； p4：因復數(shù)zR，所以z的虛部為0，所以它的共軛復數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故p4正確. 答案 (1)D (2)B (2)p1：設(shè) zabi(a，bR)，則1z1abiabia2b2R，得到 b0，所以 zR，故p1正確； 解析 (1)z13i3i（13i）（3i）（3i）（3i）i，則zi，則z的虛部為 1. 考點二考點二 復數(shù)的幾何意義復數(shù)的幾何意義 【例2】 (1)復數(shù)zi(1i)在復平面內(nèi)所對應(yīng)點的坐標為( ) A.(1，1) B.(1，1) C.(1，1) D.(1，1) (2)(2017 北京卷)若復數(shù)(1i)(ai)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.(，1) B.(，1) C.(1，) D.(1，) 解析 (1)因為zi(1i)1i，故復數(shù)zi(1i)在復平面內(nèi)所對應(yīng)點的坐標為(1，1). 答案 (1)D (2)B (2)(1i)(ai)a1(1a)i 的對應(yīng)點在第二象限，則a10，a1. 規(guī)律方法 1.復數(shù) zabi(a，bR)一一對應(yīng)Z(a，b)一一對應(yīng)OZ(a，b). 2.由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀. A.E B.F C.G D.H (2)(2016 北京卷)設(shè)aR，若復數(shù)(1i)(ai)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a_. 【訓練 2】 (1)若 i 為虛數(shù)單位，圖中復平面內(nèi)點 Z 表示復數(shù) z，則表示復數(shù)z1i的點是( ) 解析 (1)由題圖知復數(shù)z3i， (2)(1i)(ai)(a1)(a1)i，由已知得a10，解得a1. 答案 (1)D (2)1 表示復數(shù)z1i的點為 H. z1i3i1i（3i）（1i）（1i）（1i）42i22i. 考點三考點三 復數(shù)的運算復數(shù)的運算 【例 3】 (1)(2017 全國卷)3i1i( ) A.12i B.12i C.2i D.2i (2)i 為虛數(shù)單位，i607的共軛復數(shù)為( ) A.i B.i C.1 D.1 (3)(2017 全國卷)(1i)(2i)( ) A.1i B.13i C.3i D.33i (2)因為i607(i2)303 ii，i的共軛復數(shù)為i. (3)由題意(1i)(2i)23ii213i. 答案 (1)D (2)A (3)B 解析 (1)3i1i（3i）（1i）（1i）（1i）2i. 規(guī)律方法 復數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式. 【訓練 3】 (1)(2017 山東卷)已知 aR，i 是虛數(shù)單位.若 za 3i，z z4，則 a( ) A.1 或1 B. 7或 7 C. 3 D. 3 (2)1i1i62 3i3 2i_. 答案 (1)A (2)1i (2)原式（1i）226（ 2 3i）（ 3 2i）（ 3）2（ 2）2i662i3i 651i. 解析 (1)由已知得(a 3i)(a 3i)4，a234，解得 a1.