電大【數(shù)學思想方法】期末考試復習專題

電大【數(shù)學思想方法】復習專題一、考點，熱點分析：深刻理解函數(shù)的圖象和性質是應用函數(shù)思想解題的基礎，運用方程思想解題可歸納為三個步驟：將所面臨的問題轉化為方程問題；解這個方程或討論這個方程，得出相關的結論；將所得出的結論再返回到原問題中去。分類討論的解題步驟一般是：（1）確定討論的對象以及被討論對象的全體；（2）合理分類，統(tǒng)一標準，做到既無遺漏又無重復 ；（3）逐步討論，分級進行；（4）歸納總結作出整個題目的結論。常用的轉化策略有：已知與未知的轉化；正向與反向的轉化；數(shù)與形的轉化；一般于特殊的轉化；復雜與簡單的轉化。二、知識點歸納：常用的數(shù)學思想（數(shù)學中的四大思想）1.函數(shù)與方程的思想用變量和函數(shù)來思考問題的方法就是函數(shù)思想，函數(shù)思想是函數(shù)概念、圖象和性質等知識更高層次的提煉和概括，是在知識和方法反復學習中抽象出的帶有觀念的指導方法。2數(shù)形結合思想在中學數(shù)學里，我們不可能把“數(shù)”和“形”完全孤立地割裂開，也就是說，代數(shù)問題可以幾何化，幾何問題也可以代數(shù)化，“數(shù)”和“形 ”在一定條件下可以相互轉化、相互滲透。3分類討論思想在數(shù)學中，我們常常需要根據(jù)研究對象性質的差異。分各種不同情況予以考察，這是一種重要數(shù)學思想方法和重要的解題策略 ，引起分類討論的因素較多，歸納起來主要有以下幾個方面：（1）由數(shù)學概念、性質、定理、公式的限制條件引起的討論；（2）由數(shù)學變形所需要的限制條件所引起的分類討論；（3）由于圖形的不確定性引起的討論；（4）由于題目含有字母而引起的討論。4.等價轉化思想等價轉化是指同一命題的等價形式.可以通過變量問題的條件和結論，或通過適當?shù)拇鷵Q轉化問題的形式，或利用互為逆否命題的等價關系來實現(xiàn)。常用的數(shù)學方法 主要有換元法、配方法和待定系數(shù)法三種。三、例題解析【例1】（2004年北京市東城區(qū)）解方程：(x+1)- -=2解：設x1y，則原方程化為y-=2去分母，得y2-2y-3=0解這個方程，得y1=-1,y2=3當y1時，x11，所以x2；當y3時，x13，所以x2經(jīng)檢驗，x2和x2均為原方程的解點撥解分式方程通常是采用去分母或還元法化為整式方程，并特別要注意驗根?！纠?】已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2，且經(jīng)過點（1，4）和點（5，0），則該拋物線的解析式為 。806040200654321x(元)y(萬件)解析函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,b=-4a 將點（1，4）、（5，0）的坐標分別代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=4 25a+5b+c=0.解得a=-,b=2,c=.故拋物線的解析式為y=-x2+2x+.點撥利用待定系數(shù)法可求函數(shù)的解析式、代數(shù)式及多項式的因式分解等符合題設條件的數(shù)學式。【例3】（05年長沙市）某通訊器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產(chǎn)品已知每件產(chǎn)品的進價為40元，每年銷售該種產(chǎn)品的總開支（不含進價）總計120 萬元在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之問存在著如圖所示的一次函數(shù)關系求y關于x的函數(shù)關系式；試寫出該公司銷售該種產(chǎn)品的年獲利z（萬元）關于銷售單價x（元）的函數(shù)關系式（年獲利年銷售額一年銷售產(chǎn)品總進價一年總開支）當銷售單價x為何值時，年獲利最大？并求這個最大值；若公司希望該種產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于40萬元，借助中函數(shù)的圖象，請你幫助該公司確定銷售單價的范圍在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大，你認為銷售單價應定為多少元？解：設y=kx+b ，它過點(60，5)，(80，4) 解得 y=-x+8, z=yx-40y-120=（-x+8）（x-40）-120=-x210x-440;當x=100元時，最大年獲得為60萬元O406010012080x(元)y(萬元)令z=40，得40=-x210x-440，整理得：x2-200x9600=0解得：x1=80,x2=120， 由圖象可知，要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應在80元到120元之間(8分)又因為銷售單價越低，銷售量越大，所以要使銷售量最大，又要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應定為80元點撥解此類問題，要仔細閱讀題目，理清思路，從而建立數(shù)學模型（函數(shù)模型）【例4】（2007年福建漳州）如圖，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE、PF分別交AC于點G、H（1）求PEF的邊長；（2）在不添加輔助線的情況下，當F與C不重合時，從圖中找出一對相似三角形，并說明理由；（3）若PEF的邊EF在線段BC上移動試猜想：PH與BE有何數(shù)量關系？并證明你猜想的結論解 （1）過P作PQBC于Q矩形ABCDB=90，即ABBC，又ADBCPQ=AB=PEF是等邊三角形1234PFQ=60在RtPQF中Sin60=,PF=2PEF的邊長為2（2）正確找出一對相似三角形12345678正確說明理由ABCCDA理由：矩形ABCD,ABBC,1=2B=D ABCCDA（3）猜想：PH與BE的數(shù)量關系是：PH-BE=1證：在RtABC中，AB=,BC=3tan1=,1=30PEF是等邊三角形2=60,PF=PE=2,2=1+3 3=301=3 FC=FHPH+FH=2, BE+EF+FC=3PH-BE=1點評本題是一道很典型的幾何型探索題，在近幾年的中考壓軸題中穩(wěn)占一席之地，預計2008年仍會保持這一趨勢。在本題中，第1小題較簡單，第2小題則需學生仔細觀察圖形，做出準確猜想后再驗證，第3小題對學生的探究能力的要求更高一些，但由于解法較多，入題的通道較寬，因此難度并非十分大，體現(xiàn)數(shù)學聯(lián)系的轉化思想。四、【能力測試】(一)、選擇題若a的值使得x2+4x+a=（x+2）2-1成立，則a的值為（ ） A5 B4 C3 D2（2005.杭州市）在右圖的幾何體中,上下底面都是平行四邊形,各個側面都是梯形,那么圖中和下底面平行的直線有: （ ）(A)1條 (B)2條 (C)4條 (D)8條方程2x-x2=的正根的個數(shù)為（ ） A0 B1 C2 D3以下四個圖案中,既是軸對稱又是中心對稱圖形的有（ ）A個B個C個D個 （2005. 河南?。┫铝懈鲾?shù)中，適合方程的一個近似值（精確到0.1）是 （ ） A 1.5 B 1.6 C1 D1.8若點p（m,n）在第二象限，則點Q（-m,-n）在（ ）象限 A第一 B第二 C第三 D第四（2005. 山西?。?拋物線 的對稱軸是x=2，且經(jīng)過點P(3,0)。則 的值為（ ） A、-1 B、0 C、1 D、2在直角坐標系中，O為坐標原點，A(1，1)，在x軸上確定一點P，使AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有( )(A)4個 (B)3個 (C)2個 (D)1個某商店把一商品按標價的九折出售（即優(yōu)惠10%），仍可獲利20%，若該商品的標價為每件28元，則該商品的進價為（ ）.（A）21元 （B）19.8元（C）22.4元 （D）25.2元（2005.武漢市）已知O的半徑為8cm，如果一條直線和圓心O的距離為8cm ，那么這條直線和這個圓的位置關系為（ ） A相離 B相切 C相交 D相交或相離(二)、填空題已知關于x的方程x2-3x+m=0的一個根是另一個根的2倍，則m的值為 。y如圖，在ABC中，ACB=90，AC=2，斜邊在x軸上，點A的坐標為（2，0），則直角邊BC所在的直線解析式為 。Cx把拋物線向上平移2個單位，那么所得拋物線與x軸AOB的兩個交點之間的距離是 .如圖，用長度相等的火柴棒拼成由三角形組成的圖形，第n個圖形需要火柴棒的根數(shù)是 。把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的矩形，接著把面積為1/2的矩形等分成兩個面積為1/4的矩形，再把面積為1/4的矩形等分成兩個面積為1/8的矩形，如此進行下去，試利用如下圖揭示的規(guī)律計算 + + + + + + + =。 圖1圖2（2006年河南?。┮闯龊蛨D1 中的菱形相似的較長對角線為88cm的大菱形（如圖2）需要圖1中的菱形的個數(shù)為_(三)、計算題:如圖，線段AB4，點O是線段AB上的點，點C、D是線段OA、OB的中點，小明很輕松地求得CD=2他在反思過程中突發(fā)奇想：若點O運動到線段AB的延長線上或直線AB外，原有的結論“CD=2”是仍然成立呢？請幫小明畫出圖形分析，并說明理由（2005年梅州市）東海體育用品商場為了推銷某一運動服，先做了市場調查，得到p（件）50049048047050 51 52 53 x（元/件）數(shù)據(jù)如下表：賣出價格x（元/件）50515253銷售量p（件）500490480470 （1）以x作為點的橫坐標，p作為縱坐標，把表中的數(shù)據(jù)，在圖8中的直角坐標系中描出相應的點，觀察連結各點所得的圖形，判斷p與x的函數(shù)關系式； （2）如果這種運動服的買入件為每件40元，試求銷售利潤y（元）與賣出價格x（元/件）的函數(shù)關系式（銷售利潤=銷售收入買入支出）； （3）在（2）的條件下，當賣出價為多少時，能獲得最大利潤？如圖，為正方形邊上的任意一點（不與A、B兩點重合），是延長線上的一點，且交的平分線所在直線于（1）求證：；（2）若將上述條件中的“為邊上的任意一點（不與A、B兩點重合）”改為“為直線上任意一點（不與A、B兩點重合）”，其余條件不變，則結論“”成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由如圖1，在平面直角坐標系中，兩個全等的直角三角形的直角頂點及一條直角邊重合，點在第二象限內，點，點在軸的負半軸上，（1）求點的坐標；（2）如圖2，將繞點按順時針方向旋轉到的位置，其中交直線于點，分別交直線于點，則除外，還有哪幾對全等的三角形，請直接寫出答案；（不再另外添加輔助線）（3）在（2）的基礎上，將繞點按順時針方向繼續(xù)旋轉，當?shù)拿娣e為時，求直線的函數(shù)表達式ABCO11xy圖1ACO11xyGFE圖2如圖，正方形ABCD的各邊都平行于坐標軸，A、C分別在直線和上.若點A在直線上運動，求B點所在直線的解析式. 已知：半徑為1的O1與軸交于兩點，圓心的坐標為，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，其頂點為（1）求的值及二次函數(shù)頂點的坐標； （2）寫出將二次函數(shù)的圖象向下平移1個單位，再向左平移2個單位的圖象的函數(shù)表達式； （3）若經(jīng)過原點的直線與O1相切，求直線的函數(shù)表達式 如圖,以O為原點的直角坐標系中，A點的坐標為（0，1），直線x=1交x軸于點B. P為線段AB上一動點，作直線PCPO,交直線x=1于點C. 過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于點M，交直線x=1于點N.（1） 當點C在第一象限時，設AP長為m，四邊形POBC的面積為S，請求出S與m間的函數(shù)關系式；（2） S是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由.附加題：當點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=1上移動，PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使PBC成為等腰三角形的點P的坐標；如果不可能，請說明理由.參考答案：一、 選擇題1.C 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.B 8.A 9.A 10.B二、填空題112 12.y=x+4 13. ；14.2n+1 15. 16.121三、計算題：17（略）18解：（1）p與x成一次函數(shù)關系。 設函數(shù)關系式為p=kx+b ，則 解得：k=10，b=1000 ， p=10x+1000 經(jīng)檢驗可知：當x=52，p=480，當x=53，p=470時也適合這一關系式所求的函數(shù)關系為p=10x+1000 （2）依題意得：y=px40p=(10x+1000)x40(10x+1000) y=10x2+1400x40000 (3)由y=10x2+1400x40000 可知，當時，y有最大值 賣出價格為70元時，能花得最大利潤。19證明：（1）在上截取，連結，又，（2）分兩種情況點M在射線BE上. 延長AD到點P，使DP=BM，連接PM.點M在線段BA的延長線上. 延長DA到點P，使AP=AM，連接PM.綜上可知，“為直線上任意一點（不與A、B兩點重合）”，其余條件不變，結論“”仍成立.20解：（1）在中，點的坐標為（2），ACO11xyGF圖1M（3）如圖1，過點作于點，在中，ACO1xyF圖2點的坐標為設直線的函數(shù)表達式為，則 解得同理，如圖2所示，點的坐標為設直線的函數(shù)表達式為，則 解得21解：設點A的橫坐標為a. 點A在直線上， 設點C的橫坐標為b 22解：（1）由已知得： 由題意：解得： ，頂點（2）（3）設經(jīng)過原點的直線與O1相切于點.則，設點的坐標為則 ，得，由圓的對稱性，另一條直線的解析式是23解：（1）OMBN，MNOB，AOB=900，四邊形OBNM為矩形。MN=OB=1,PMO=CNP=900，AO=BO=1， AM=PM OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PMOM=PN OPC=900 OPM+CPN=900又OPM+POM=900 CPN=POM OPMPCNAM=PM=APsin450= NC=PM=BN=OM=PN=1- BC=BN-NC=1-= （2）存在最大值. 附加題：解：PBC可能為等腰三角形當P與A重合時，PC=BC=1，此時P（0，1）當點C在第四象限，且PB=CB時，有BN=PN=1BC=PB=PN=-m NC=BN+BC=1+-m由知：NC=PM= 1+-m= m=1PM=，BN=1=1 P（,1）使PBC為等腰三角形的的點P的坐標為（0，1）或（,1）