（全國(guó)通用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程課件 理 新人教B

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1、第第8節(jié)節(jié) 曲線與方程曲線與方程 最新考綱 1.了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程. 1.曲線與方程的定義 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理 這個(gè)方程的解 曲線上的點(diǎn) 那么，這 個(gè)方程 叫做_，這條曲線叫 做_. 2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟 曲線的方程 方程的曲線 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.“曲線C是方程f(x，y)0的曲線”是“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要條件.

2、 2.曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系： (1)兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解； (2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無解，兩條曲線就沒有交點(diǎn). 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)f(x0，y0)0 是點(diǎn) P(x0，y0)在曲線 f(x，y)0 上的充要條件.( ) (2)方程 x2xyx 的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線.( ) (3)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的.( ) (4)方程 y x與 xy2表示同一曲線.( ) 診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè) 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 對(duì)于(2)，由方程得 x(xy1)0，即 x

3、0 或 xy10，所以方程表示兩條直線，錯(cuò)誤；對(duì)于(3)，前者表示方程，后者表示曲線，錯(cuò)誤；對(duì)于(4)，曲線 yx是曲線 xy2的一部分，錯(cuò)誤. 2.已知M(1，0)，N(1，0)，|PM|PN|2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( ) A.雙曲線 B.雙曲線左支 C.一條射線 D.雙曲線右支 解析 由于|PM|PN|MN|，所以D不正確，應(yīng)為以N為端點(diǎn)，沿x軸正向的一條射線. 答案 C 答案 D 3.(2018 廣州調(diào)研)方程(2x3y1)( x31)0 表示的曲線是( ) A.兩條直線 B.兩條射線 C.兩條線段 D.一條直線和一條射線 解析 原方程可化為2x3y10，x30或 x310，即 2x3y1

4、0(x3)或 x4，故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線. 4.已知A(2，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上，且滿足APOBPO，其中O為原點(diǎn)，則P點(diǎn)的軌跡方程是( ) A.(x2)2y24(y0) B.(x1)2y21(y0) C.(x2)2y24(y0) D.(x1)2y21(y0) 答案 C 解析 由角的平分線性質(zhì)定理得|PA|2|PB|，設(shè) P(x，y)，則 （x2）2y22 （x1）2y2，整理得(x2)2y24(y0)，故選 C. 解析 設(shè) MN 的中點(diǎn)為 P(x，y)，則點(diǎn) M(x，2y)在橢圓上，x2a2（2y）2b21， 5.過橢圓x2a2y2b21(ab0)上任意

5、一點(diǎn) M 作 x 軸的垂線，垂足為 N，則線段 MN 中點(diǎn)的軌跡方程是_. 即x2a24y2b21(ab0). 答案 x2a24y2b21(ab0) 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 直接法求軌跡方程直接法求軌跡方程 【例1】 (1)(2018 豫北名校聯(lián)考)已知ABC的頂點(diǎn)B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長(zhǎng)|CD|3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_. (2)(2018 大同模擬)與y軸相切并與圓C：x2y26x0也外切的圓的圓心的軌跡方程為_. 答案 (1)(x10)2y236(y0) (2)y212x(x0)或y0(x0)， 則半徑長(zhǎng)為|x|， 因?yàn)閳A x2y26x0 的圓心為(3， 0)， 所以 （x3）

6、2y2|x|3，則 y212x(x0)，若動(dòng)圓在 y 軸左側(cè)，則 y0，即圓心的軌跡方程為 y212x(x0)或 y0(x0). 規(guī)律方法 直接法求曲線方程的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn) (1)關(guān)鍵點(diǎn)：直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯成代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)性，通常將步驟簡(jiǎn)記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這幾個(gè)步驟，但最后的證明可以省略. (2)注意點(diǎn)：求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性. 答案 2xy20 【訓(xùn)練 1】 (2018 聊城模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1，0)，B(2，2)， 若點(diǎn) C 滿足OCOAt(OBOA)， 其中 tR，

7、則點(diǎn) C 的軌跡方程是_. 解析 設(shè)C(x， y)， 則由OCOAt(OBOA)得OCOAt(OBOA)， 所以ACtAB，即(x1，y)t(1，2)，故x1t，y2t，消去 t 得 y2(x1)，即 2xy20. 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 相關(guān)點(diǎn)相關(guān)點(diǎn)(代入代入)法求軌跡方程法求軌跡方程 【例 2】 (1)(2017 銀川模擬)動(dòng)點(diǎn) A 在圓 x2y21 上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn) B(3，0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是_. (2)(2018 武威模擬)設(shè) F(1，0)，M 點(diǎn)在 x 軸上，P 點(diǎn)在 y 軸上，且MN2MP，PMPF，當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) N 的軌跡方程為_. 解析 (1)設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為

8、(x，y)，則圓上的動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2x3，2y)，所以(2x3)2(2y)21，即x2y23x20. (2)設(shè)M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)， PMPF，PM(x0，y0)，PF(1，y0)， (x0，y0) (1，y0)0，x0y200， 答案 (1)x2y23x20 (2)y24x 由MN2MP，得(xx0，y)2(x0，y0)， xx02x0，y2y0，即x0 x，y012y，xy240，即 y24x， 故點(diǎn) N 的軌跡方程為 y24x. 規(guī)律方法 “相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟 (1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0). (2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

9、之間的關(guān)系式x0f（x，y），y0g（x，y）. (3)代換：將上述關(guān)系式代入主動(dòng)點(diǎn)滿足的曲線方程，便可得到所求被動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. 【訓(xùn)練 2】 已知 F1，F(xiàn)2分別為橢圓 C：x24y231 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 為橢圓 C上的動(dòng)點(diǎn)，則PF1F2的重心 G 的軌跡方程為( ) A.x236y2271(y0) B.4x29y21(y0) C.9x243y21(y0) D.x24y231(y0) 答案 C 解析 依題意知 F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè) P(x0，y0)，G(x，y)，則由三角形重心坐標(biāo)關(guān)系可得xx0113，yy03，即 x03x，y03y，代入x204y2031， 得重心

10、G 的軌跡方程為9x243y21(y0). 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 定義法求軌跡方程定義法求軌跡方程(典例遷移典例遷移) 【例3】 (經(jīng)典母題)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程. 解 由已知得圓M的圓心為M(1，0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R. 因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切， 所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24|MN|2. 由橢圓的定義可知， 曲線 C 是以 M， N 為左、 右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 2， 短半軸長(zhǎng)為 3的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方

11、程為 x24y231(x2). 【遷移探究1】 將本例的條件“動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動(dòng)圓P與圓M、圓N都外切”，則圓心P的軌跡方程為_. 解析 由已知得圓M的圓心為M(1，0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R，因?yàn)閳AP與圓M，N都外切，所以|PM|PN|(Rr1)(Rr2)r1r22，即|PN|PM|2，又|MN|2，所以點(diǎn)P的軌跡方程為y0(x2). 答案 y0(x2) 【遷移探究2】 把本例中圓M的方程換為：(x3)2y21，圓N的方程換為：(x3)2y21，則圓心P的軌跡方程為_. 解析 由已知條件可知圓 M 和 N

12、 外離， 所以|PM|1R， |PN|R1， 故|PM|PN|(1R)(R1)21). 答案 x2y281(x1) 【遷移探究3】 在本例中，若動(dòng)圓P過圓N的圓心，并且與直線x1相切，則圓心P的軌跡方程為_. 解析 由于點(diǎn)P到定點(diǎn)N(1，0)和定直線x1的距離相等，所以根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以N(1，0)為焦點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸、開口向右的拋物線，故其方程為y24x. 答案 y24x 規(guī)律方法 定義法求曲線方程的兩種策略 (1)運(yùn)用圓錐曲線的定義求軌跡方程，可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出方程. (2)定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線的軌跡類型，利用條件把待定系數(shù)求出來，使問題得解. 【訓(xùn)練3】 ABC的頂點(diǎn)A(5，0)，B(5，0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是_. 解析 如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|， 所以|CA|CB|826，|AB|10. 根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支， 方程為x29y2161(x3). 答案 x29y2161(x3)