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初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第16講 銳角三角函數(shù)

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初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第16講 銳角三角函數(shù)

第十六講 銳角三角函數(shù) 古希臘數(shù)學(xué)家和古代中國(guó)數(shù)學(xué)家為了測(cè)量的需要,他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用下列幾何結(jié)論:在兩個(gè)大小不同的直角三角形中,只要有一個(gè)銳角相等,那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比值一定相等正是古人對(duì)天文觀察和測(cè)量的需要才引起人們對(duì)三角函數(shù)的研究,1748年經(jīng)過(guò)瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉的應(yīng)用,才逐漸形成現(xiàn)在的sin、cos、tg、ctg的通用形式 三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系,是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一,有以下豐富的性質(zhì): 1單調(diào)性; 2互余三角函數(shù)間的關(guān)系; 3同角三角函數(shù)間的關(guān)系 平方關(guān)系:sin2+cos2=1; 商數(shù)關(guān)系:tg=,ctg=; 倒數(shù)關(guān)系:tgctg=1 【例題求解】【例1】 已知在ABC中,A、B是銳角,且sinA,tanB=2,AB=29cm,則SABC = 思路點(diǎn)撥 過(guò)C作CDAB于D,這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比,sinA=,tanB=,設(shè)CD=5m,AC13m,CD2n,BDn,解題的關(guān)鍵是求出m、n的值注:設(shè)ABC中,a、b、c為A、B、C的對(duì)邊,R為ABC外接圓的半徑,不難證明:與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個(gè)重要結(jié)論: (1) SABC=; (2)【例2】 如圖,在ABC中ACB90,ABC15,BC=1,則AC=( ) A B C0.3 D 思路點(diǎn)撥 由15構(gòu)造特殊角,用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化1 / 6注:(1)求(已知)非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形 (2)求(已知)銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)線段比,有時(shí)需通過(guò)等的比來(lái)轉(zhuǎn)換【例3】 如圖,已知ABC是等腰直角三角形,ACB90,過(guò)BC的中點(diǎn)D作DEAB于E,連結(jié)CE,求sinACE的值思路點(diǎn)撥 作垂線把ACE變成直角三角形的一個(gè)銳角,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求線段的比【例4】 如圖,在ABC中,AD是BC邊上的高,tanB=cosDAC, (1)求證:ACBD; (2)若sinC=,BC=12,求AD的長(zhǎng) 思路點(diǎn)撥 (1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比,利用比例線段證明;(2) sinC=,引入?yún)?shù)可設(shè)AD=12,AC13【例5】 已知:在RtABC中,C=90,sinA、sinB是方程的兩個(gè)根 (1)求實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件; (2)若、滿足(1)的條件,方程的兩個(gè)根是否等于RtABC中兩銳角A、B的正弦? 思路點(diǎn)撥 由韋達(dá)定理、三角函數(shù)關(guān)系建立、等式,注意判別式、三角函數(shù)值的有界性,建立嚴(yán)密約束條件的不等式,才能準(zhǔn)確求出實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件學(xué)歷訓(xùn)練1已知為銳角,下列結(jié)論sin+cos=l;如果>45,那么sin>cos;如果cos> ,那么<60; 正確的有 2如圖,在菱形ABCD中,AEBC于E,BC=1,cosB,則這個(gè)菱形的面積為 3如圖,C=90,DBC=30,ABBD,利用此圖可求得tan75= 4化簡(jiǎn) (1)= (2)sin2l+sin22+sin288+sin289= 5身高相等的三名同學(xué)甲、乙、丙參加風(fēng)箏比賽三人放出風(fēng)箏線長(zhǎng)、線與地面夾角如下表(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的),則三人所放的風(fēng)箏中( ) A甲的最高 B丙的最高 C乙的最低 D丙的最低6已知 sincos=,且0<<45則co-sin的值為( ) A B C D7如圖,在ABC中,C90,ABC30,D是AC的中點(diǎn),則ctgDBC的值是( ) A B C D 8如圖,在等腰RtABC中C90,AC6,D是AC上一點(diǎn),若tanDBA=,則AD的長(zhǎng)為( ) A B2 C 1 D 9已知關(guān)于的方程的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦,求m的值10如圖,D是ABC的邊AC上的一點(diǎn),CD=2AD,AEBC于E,若BD8,sinCBD=,求AE的長(zhǎng) 11若0<<45,且sincon=,則sin= 12已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,為銳角,那么的取值范圍是 13已知是ABC的三邊,a、b、c滿足等式,且有,則sinA+sinB+sinC的值為 14設(shè)為銳角,且滿足sin=3cos,則sincos等于( ) A B C D 15如圖,若兩條寬度為1的帶子相交成30的角,則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是( )A2 B C1 D 16如圖,在ABC中,A30,tanB=,AC=,則AB的長(zhǎng)是( ) A B C5 D17己在ABC中,a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊,且c=,若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,又方程的兩實(shí)根的平方和為6,求ABC的面積18如圖,已知AB=CD=1,ABC90,CBD=30,求AC的長(zhǎng) 19設(shè) a、b、c是直角三角形的三邊,c為斜邊,n為正整數(shù),試判斷與的關(guān)系,并證明你的結(jié)論20如圖,已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC沿直線滾動(dòng)(1)當(dāng)ABC滾動(dòng)一周到A lB1C1的位置,此時(shí)A點(diǎn)所運(yùn)動(dòng)的路程為 ,約為 (精確到0.1,=3.14) (2)設(shè)ABC滾動(dòng)240,C點(diǎn)的位置為C,ABC滾動(dòng)480時(shí),A點(diǎn)的位置在A,請(qǐng)你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(+)=(tan+tan)(1-tantan),求出CAC+CAA的度數(shù) 參考答案 希望對(duì)大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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