初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答 第11講 雙曲線

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1、 第十一講 雙曲線 形如()的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，它的圖象是由兩條曲線組成的雙曲線，與雙曲線相關的知識有： 1． 雙曲線解析式中的系數(shù)決定圖象的大致位置及隨變化的狀況． 2．雙曲線圖象上的點是關于原點O成中心對稱，在>0時函數(shù)的圖象關于直線軸對稱；在<0時函數(shù)的圖象關于直線軸對稱． 3．自變量的取值是不等于零的全體實數(shù)，雙曲線向坐標軸無限延伸但不能接近坐標軸． 【例題求解】 【例1】 已知反比例函數(shù)的圖象與直線和過同一點，則當時，這個反比例函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而 (填增大或減小)．

2、 思路點撥 確定的值，只需求出雙曲線上一點的坐標即可． 注：(1)解與反比函數(shù)相關問題時，充分考慮它的對稱性(關于原點O中心稱，關于軸對稱)，這樣既能從整上思考問題，又能提高思維的周密性． (2)一個常用命題： 如圖，設點A是反比例函數(shù)()的圖象上一點，過A作AB⊥軸于B，過A作AC⊥軸于C，則 ①S△AOB=； ②S矩形OBAC=． 【例2】 如圖，正比例函數(shù) ()與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點，過A作AB⊥軸于B，連結(jié)BC，若S△ABC的面積為S，則(

3、 ) A．S=1 B．S =2 C．S= D．S= 1 / 9 思路點撥 運用雙曲線的對稱性，導出S△AOB與S△OBC的關系． 【例3】 如圖，已知一次函數(shù)和反比例函數(shù)()的圖象在第一象限內(nèi)有兩個不同的公共點A、B． (1)求實數(shù)的取值范圍； (2)若△AOB面積S＝24，求的值． (2003年荊門市中考題) 思路點撥 (1)兩圖象有兩個不同的公共點，即聯(lián)立方程組有兩組

4、不同實數(shù)解； (2)S△AOB= S△COB S- S△COA，建立的方程． 【例4】 如圖，直線分別交、軸于點A、C，P是該直線上在第一象限內(nèi)的一點，PB⊥軸于B，S△ABP=9． (1)求點P的坐標； (2)設點R與點P在同一個反比例函數(shù)的圖象上，且點R在直線PB的右側(cè)，作PT⊥軸于F，當△BRT與△AOC相似時，求點R的坐標． 思路點撥 (1)從已知的面積等式出發(fā)，列方程求P點坐標；(2)以三角形相似為條件，結(jié)合線段長與坐標的關系求R坐標，但要注意分類討論． 【例5】 如圖，正方形OABC的面積為9，點O為坐標原點，點A在軸上，點C在軸上

5、， 點B在函數(shù) (，)的圖象上，點P(，)是函數(shù) (，)的圖象上的任意一點，過點P分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F，并設矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S． (1)求B點坐標和的值； (2)當時，求點P的坐標； (3)寫出S關于m的函數(shù)關系式． 思路點撥 把矩形面積用坐標表示，A、B坐標可求，S矩形OAGF可用含的代數(shù)式表示，解題的關鍵是雙曲線關于對稱，符合題設條件的P點不惟一，故思考須周密． 注：求

6、兩個函數(shù)圖象的交點坐標，一般通過解這兩個函數(shù)解析式組成的方程組得到，求符合某種條件 的點的坐標，需根據(jù)問題中的數(shù)量關系和幾何元素間的關系建立關于縱橫坐標的方程(組)，解方程(組)便可求得有關點的坐標，對于幾何問題，還應注意圖形的分類討論． 學歷訓練 1． 若一次函數(shù)的圖象如圖所示，則拋物線的對稱軸位于y軸的 側(cè)；反比例函數(shù)的圖象在第 象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而 ． 2．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點

7、A(m，n)，其中m，n是一元二次方程的兩個根，則A點坐標為 ． 3．如圖：函數(shù)（≠0）與的圖象交于A、B兩點，過點A作AC⊥軸，垂足為點C，則△BOC的面積為 ． 4．已知，點P(n，2n)是第一象限的點，下面四個命題： (1)點P關于y軸對稱的點P1的坐標是(n，-2n)； (2)點P到原點O的距離是n；(3)直線 y=-nx+2n不經(jīng)過第三象限；(4)對于函數(shù)y=，當x＜0時,y隨x的增大而減?。黄渲姓婷}是 .(填上所有真命題的序號)

8、 5．已知反比例函數(shù)y=的圖像上兩點A(x1，y1)、B（x2，y2），當x1＜0＜x2時，有y1＜y2 ,則m的取值范圍是( ) A．m＜O B．m＞0 C. m＜ D.m＞ 6．已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象大致為( )

9、 7．已知反比例函數(shù)當時，y 隨x的增大面增大，那么一次函數(shù)的圖象經(jīng)過( ) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 8．如圖，A、B是函數(shù)的圖象上的點，且A、B關于原點O對稱，AC⊥軸于C，BD⊥軸于D，如果四邊形ACBD的面積為S，那么( ) A． S＝1 B．12 D．S＝2 9．如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b(k

10、≠O)的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y= (m≠0)的圖像在第一象限交于C點，CD垂直于x軸，垂足為D．若OA=OB=OD=l． （1）求點A、B、D的坐標； （2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式． 10．已知A(x1、y1)，B(x2，y2)是直線與雙曲線 ()的兩個不同交點． (1)求的取值范圍； (2)是否存在這樣的值，使得?若存在，求出這樣的值；若不存在，請說明理由．

11、 11．已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)y＝2x-1，其中一次函數(shù)圖像經(jīng)過(a，b)，(a+1，b+k)兩點． (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)如圖，已知點A在第一象限，且同時在上述兩個函數(shù)的圖像上，求A點坐標； (3)利用(2)的結(jié)果，請問：在x軸上是否存在點P，使ΔAOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標都求出來；若不存在，請說明理由. 12．反比例函數(shù)的圖象上有一點P(m，n)，其中m、

12、n是關于t的一元二次方程的兩根，且P到原點O的距離為，則該反比例函數(shù)的解析式為 ． 13．如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù) ()的圖象交于點A，若取1，2，3…20，對應的Rt△AOB的面積分別為S1，S2，…，S20，則S1+S2+…+S20= ． 14．老師給出一個函數(shù)y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同學各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì)： 甲：函數(shù)圖像不經(jīng)過第三象限； 乙：函數(shù)圖像經(jīng)過第一象限； 丙：當x＜2時，y隨x的增大

13、而減??； ?。寒攛＜2時，y＞0 已知這四位同學敘述都正確，請構(gòu)造出滿足上述所有性質(zhì)的一個函數(shù)： ． 15．已知反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點P(m，2)． (1)求這個一次函數(shù)的解析式； (2)如果等腰梯形ABCD的頂點A、B在這個一次函數(shù)的圖象上，頂點C、D在這個反比例函數(shù)的圖象上，兩底AD、BC與軸平行，且A、B的橫坐標分別為和，求的值． 16．如圖，直線經(jīng)過A(1，0)，B(0，1)兩點，點P是雙曲線()上任意一

14、點，PM⊥軸，PN⊥軸，垂足分別為M，N．PM與直線AB交于點E，PN的延長線與直線AB交于點F． (1) 求證：AFBE＝1； (2)若平行于AB的直線與雙曲線只有一個公共點，求公共點的坐標． (2003年江漢油田中考題) 17．已知矩形ABCD的面積為36，以此矩形的對稱軸為坐標軸建立平面直角坐標系，設點A的坐標為(x，y)，其中x>0，y>0． (1)求出y與x之間的函數(shù)關系式，求出自變量x的取值范圍； (2)用x、y表示矩形ABCD的外接圓的面積S，并用下列方法，解答后面的問題： 方法：∵ (k為常數(shù)且k>0，a≠

15、0)，且 ∴．． ∴當=0，即時，取得最小值2k． 問題：當點A在何位置時，矩形ABCD的外接圓面積S最小?并求出S的最小值； (3)如果直線y=mx+2(m<0)與x軸交于點P，與y軸交于點Q，那么是否存在這樣的實數(shù)m，使得點P、Q與(2)中求出的點A構(gòu)成△PAQ的面積是矩形ABCD面積的?若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由． 參考答案 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！