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1、高二數(shù)學高二數(shù)學 選修選修 2-2 第二章第二章 推理與證明推理與證明 2021/8/28 孝高 蔣志方 1 2.2 2.2 直接證明與間接證明直接證明與間接證明 2.2.1 2.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析法 演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程重要思維過程. . 數(shù)學結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn), ,主要靠合情推主要靠合情推理理. . 復習 推推 理理 合情推理合情推理 演繹推理演繹推理 歸納歸納 (特殊到一般)特殊到一般) 類比類比 (特殊到特殊)(特殊到特殊) 三段論三段論 (一般到特殊)(一般到特殊) 合情推理
2、得到的結(jié)論是不可靠的,需要證明。數(shù)學中證明的方法有哪些呢? 間接證明(反證法)分析法綜合法直接證明證明的方法例例: :已知已知a0,b0,a0,b0,求證求證a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc 因為因為b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0 所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc. 又因為又因為c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0 所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc. 因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2
3、) )4abc.4abc. 證明證明: : 在數(shù)學證明中,我們經(jīng)常從已知條件和某些在數(shù)學證明中,我們經(jīng)常從已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理、性質(zhì)等出發(fā)通過推數(shù)學定義、定理、公理、性質(zhì)等出發(fā)通過推理導出所要的結(jié)論。理導出所要的結(jié)論。 .綜合法綜合法 由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч?從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運 算法則,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證算法則,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證 明的結(jié)論成立明的結(jié)論成立. (又稱順推證法又稱順推證法) 探索求知探索求知 注:用注:用P P表示已知條件表示已知條件, ,已有的定義已有的定義, ,定
4、理定理, ,公理等公理等.Q.Q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明的結(jié)論, ,則綜合法可用框圖表示為則綜合法可用框圖表示為: : P Q1 Qn Q Q2 Q3 Q1 Q2 特點特點: :由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч? (浮想聯(lián)翩浮想聯(lián)翩, ,嘗試前進嘗試前進!)!) 探索求知探索求知 例:求證不等式:例:求證不等式: .10578. 注:從求證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使結(jié)論成立的條件。 證明:證明: 要證要證 ,10578.)105()78(22即證即證 .50210556278.5056,502562即故不等式成立故不等式成立. 只需證只需證 只需證只需證 2.分析法分析法 探索求知探索求知 從證明的結(jié)論出發(fā)
5、從證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件逐步尋求使它成立的充分條件,直直至最后至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件件(已知已知,定理定理,定義定義,公理等公理等).這種證明的方法叫做分析法這種證明的方法叫做分析法. (又稱倒推證法)(又稱倒推證法) 執(zhí)果索因執(zhí)果索因 注:用注:用Q Q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明的結(jié)論, ,則分析法可用框圖表示為則分析法可用框圖表示為: : 得到一個明顯 成立的條件 Q P1 P1 P2 P2 P3 特點特點: :執(zhí)果索因執(zhí)果索因( (執(zhí)果索因執(zhí)果索因, ,妙在轉(zhuǎn)化妙在轉(zhuǎn)化!)!) 問題問題: :在數(shù)
6、學在數(shù)學 5(5(必修必修) )中,我們?nèi)绾巫C明基本不等式中,我們?nèi)绾巫C明基本不等式(0,0)?2ababab 指出指出其中的其中的證明方法證明方法的的特點特點. . 證法證法1 1: :對于正數(shù)對于正數(shù)a, ,b, , 有有 202022ababababababab ()證法證法2 2: :要證要證 只要證只要證 只要證只要證 只要證只要證 2abab 2abab 02aabb20()ab 因為最后一個不等式成因為最后一個不等式成立,故結(jié)論成立。立,故結(jié)論成立。 綜合法綜合法 分析法分析法 表達簡潔表達簡潔! 目的性強目的性強,易于探索易于探索! 【分析法分析法】 從結(jié)論出發(fā),尋找結(jié)論成立的
7、充分條件從結(jié)論出發(fā),尋找結(jié)論成立的充分條件 直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一 個明顯成立的條件。個明顯成立的條件。 要證:要證: 只要證:只要證: 只需證:只需證: 顯然成立顯然成立 上述各步均可逆上述各步均可逆 所以所以 結(jié)論成立結(jié)論成立 要證:要證: 所以所以 結(jié)論成立結(jié)論成立 格格 式式 372 5練習: 求證372 5解解: :要證要證 ()()22372 5只需證只需證 展開展開, ,只需證只需證 215只需證只需證 21252125 因為因為 21252125成立成立, ,所以所以 成成立立. . 372 5例例3 3:在:在中,三個內(nèi)角、對
8、中,三個內(nèi)角、對應的邊分別為應的邊分別為a a、b b、c c,且、成等,且、成等差數(shù)列,差數(shù)列,a a、b b、c c成等比數(shù)列,求證成等比數(shù)列,求證為等邊三角形為等邊三角形 分析:把題中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語分析:把題中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言:言:A+C=2BA+C=2B,b b2 2 =ac=ac 由(由(1 1)聯(lián)想到內(nèi)角各能得到什么?)聯(lián)想到內(nèi)角各能得到什么? 由(由(2 2)聯(lián)想到三角形什么知識?余弦定理,)聯(lián)想到三角形什么知識?余弦定理,二者聯(lián)系起來能得到什么結(jié)論二者聯(lián)系起來能得到什么結(jié)論 證明:證明: 由由A A,B B,C C成等差數(shù)列,有成等差數(shù)列,有 2B=A+C 2B
9、=A+C CBAABCCBA的內(nèi)角,所以為,因為由,得由,得 3B 由啊,由啊,a a,b b,c c成等比數(shù)列,有成等比數(shù)列,有 acb 2 由余弦定理及,可得由余弦定理及,可得 accaBaccab22222cos2再由,得再由,得 0222)即(caacacca因此,因此,a=ca=c 從而有從而有 A=CA=C 由,得由,得 3CBA.為等邊三角形所以 ABC2 222222222例例. 已. 已知知, , kk+(kZ),且+(kZ),且2 2 sin sin+cos+cos= 2sin= 2sin sin sincoscos= sin= sin1-tan1-tan1-tan1-ta
10、n求求 =. =.1+tan1+tan2(1+tan2(1+tan) )證證: 例:例: 1PP 21PP PPnmQQ 12QQ QQ 1上述過程可用框圖表示上述過程可用框圖表示: : 直接證明(回顧小結(jié)) 分析法分析法 解題方向比較明確,解題方向比較明確, 利于尋找解題思路;利于尋找解題思路; 綜合法綜合法 條理清晰,易于表述。條理清晰,易于表述。 通常以通常以分析法分析法尋求尋求 思路,再用思路,再用綜合法綜合法有條理地有條理地 表述解題過程表述解題過程 分析法分析法 綜合法綜合法 概念概念 直接證明(綜合法和分析法) 上述兩種證法有什么異同? 都是直接證明都是直接證明 證法證法1 1綜合法:由因?qū)Ч问胶啙?,易于表述綜合法:由因?qū)Ч?,形式簡潔,易于表?; 相同 不同不同 證法證法2 2分析法:執(zhí)果索因,利于思考,易于探路分析法:執(zhí)果索因,利于思考,易于探路 【鞏固練習鞏固練習】 abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244 (:求證求證已知已知、求證:、求證: