（全國通用）高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 推理與證明、算法、復數(shù) 第3節(jié) 數(shù)學歸納法及其應用課件 理 新人教B

第第3節(jié)節(jié) 數(shù)學歸納法及其應用數(shù)學歸納法及其應用 最新考綱 1.了解數(shù)學歸納法的原理；2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題. 1.數(shù)學歸納法 證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行： (1)(歸納奠基)證明當n取_時命題成立； (2)(歸納遞推)假設nk(kn0，kN+)時命題成立，證明當_時命題也成立. 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. 知知 識識 梳梳 理理 第一個值n0(n0N+) nk1 2.數(shù)學歸納法的框圖表示 常用結(jié)論與微點提醒 1.數(shù)學歸納法證題時初始值n0不一定是1. 2.推證nk1時一定要用上nk時的假設，否則不是數(shù)學歸納法. 3.解“歸納猜想證明”題的關鍵是準確計算出前若干具體項，這是歸納、猜想的基礎. 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)用數(shù)學歸納法證明問題時，第一步是驗證n1時結(jié)論成立.( ) (2)所有與正整數(shù)有關的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明.( ) (3)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設可以不用.( ) (4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由nk到nk1時，項數(shù)都增加了一項.( ) 診診 斷斷 自自 測測 解析 對于(1)，有的證明問題第一步并不是驗證n1時結(jié)論成立，如證明凸n邊形的內(nèi)角和為(n2) 180，第一步要驗證n3時結(jié)論成立，所以(1)不正確；對于(2)，有些命題也可以直接證明；對于(3)，數(shù)學歸納法必須用歸納假設；對于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一項. 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應檢驗n3. 答案 C 2.(教材習題改編)在應用數(shù)學歸納法證明凸 n 邊形的對角線為12n(n3)條時， 第一步檢驗 n 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.用數(shù)學歸納法證明“12222n12n1(nN*)”的過程中，第二步假設nk時等式成立，則當nk1時，應得到( ) A.12222k22k12k11 B.12222k2k12k12k1 C.12222k12k12k11 D.12222k12k2k11 解析 觀察可知等式的左邊共n項，故nk1時，應得到12222k12k2k11. 答案 D 解析 由nk到nk1時，左邊增加(k1)2k2. 答案 B 4.用數(shù)學歸納法證明 1222(n1)2n2(n1)22212n（2n21）3時，由 nk 的假設到證明 nk1 時，等式左邊應添加的式子是( ) A.(k1)22k2 B.(k1)2k2 C.(k1)2 D.13(k1)2(k1)21 5.用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，當?shù)诙郊僭On2k1(kN+)命題為真時，進而需證n_時，命題亦真. 解析 由于步長為2，所以2k1后一個奇數(shù)應為2k1. 答案 2k1 考點一考點一 利用數(shù)學歸納法證明利用數(shù)學歸納法證明等式等式 【例 1】 用數(shù)學歸納法證明： 12414616812n（2n2）n4（n1）(nN+). 證明 (1)當 n1 時， 等式左邊121（212）18， 等式右邊14（11）18， 等式左邊等式右邊，所以等式成立. (2)假設 nk(kN+且 k1)時等式成立，即有 12414616812k（2k2）k4（k1）， 則當nk1時，12414616812k（2k2）12（k1）2（k1）2 k4（k1）14（k1）（k2） k（k2）14（k1）（k2）（k1）24（k1）（k2）k14（k2）k14（k1）1. 所以當 nk1 時，等式也成立，由(1)(2)可知，對于一切 nN+，等式都成立. 規(guī)律方法 用數(shù)學歸納法證明等式應注意的兩個問題 (1)要弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，以及初始值n0的值. (2)由nk到nk1時，除考慮等式兩邊變化的項外還要充分利用nk時的式子，即充分利用假設，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明. 【訓練 1】 設 f(n)112131n(nN+).求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN+). 證明 (1)當 n2 時，左邊f(xié)(1)1， 右邊21121 1，左邊右邊，等式成立. (2)假設 nk(k2，kN+)時，結(jié)論成立， 即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當 nk1 時， f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k) (k1)f(k)k(k1)f（k1）1k1k (k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1， 當 nk1 時結(jié)論仍然成立. 由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN+). 考點二考點二 利用數(shù)學歸納法證明不等式利用數(shù)學歸納法證明不等式(典例遷移典例遷移) 【例 2】 (經(jīng)典母題)已知數(shù)列an， an0， a10， a2n1an11a2n， 求證： 當 nN+時，anan1. 證明 (1)當 n1 時， 因為 a2是方程 a22a210 的正根， 所以 a2512， 即 a1a2成立. (2)假設當 nk(kN+，k1)時，0ak0，又ak1ak0，所以 ak2ak110，所以 ak1ak2，即當 nk1 時，anan1也成立.綜上，可知 anan1對任何 nN+都成立. 【遷移探究1】 在例2中把題設條件中的“an0”改為“當n2時，an1”，其余條件不變，求證：當nN+時，an1an. 證明 (1)當 n1 時，因為 a2是方程 a22a210 的根，又a21，所以 a21 52，即 a2a1成立. (2)假設當 nk(kN+，k1)時，ak1ak0，又ak21，ak11， 所以 ak2ak110，所以 ak2ak10，即 ak2ak1，即當 nk1 時，anan1也成立. 綜上可知 an2，對一切 nN+，an0，an1a2n2（an1），試證明 an2. 證明 (1)當 n1 時，a1a2，即 an2 成立. (2)假設 nk 時， ak2 成立， 那么 ak1a2k2（ak1）12a2kak112（ak1）1ak11，因為 ak2，所以 ak11，又因為函數(shù) yx1x在(1，)上單調(diào)遞增， 所以12（ak1）1ak1112(11)12， 即 ak12，所以當 nk1 時，an2 成立，綜上可知，an2 對任何 nN+都成立. 規(guī)律方法 應用數(shù)學歸納法證明不等式應注意的問題 (1)當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時，應用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法. (2)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由nk成立，推證nk1時也成立，證明時用上歸納假設后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法. 【訓練 2】 用數(shù)學歸納法證明：11221321n221n(nN+，n2). 證明 (1)當 n2 時，11225421232，命題成立. (2)假設 nk(k2，且 kN+)時命題成立，即 11221321k221k. 當 nk1 時，11221321k21（k1）221k1（k1）20，nN+. (1)求 a1，a2，a3，并猜想an的通項公式； (2)證明(1)中的猜想. (1)解 當 n1 時，由已知得 a1a121a11， 即 a212a120.a1 31(a10). 當 n2 時，由已知得 a1a2a221a21， 將 a1 31 代入并整理得 a222 3a220. a2 5 3(a20). 同理可得 a3 7 5.猜想 an 2n1 2n1(nN+). (2)證明 由(1)知，當 n1，2，3 時，通項公式成立. 假設當 nk(k3，kN+)時，通項公式成立， 即 ak 2k1 2k1.由于 ak1Sk1Skak121ak1ak21ak， 將 ak 2k1 2k1代入上式，整理得 a2k12 2k1ak120，ak1 2k3 2k1， 即 nk1 時通項公式成立. 根據(jù)可知，對所有 nN+，an 2n1 2n1成立. 規(guī)律方法 (1)利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù)n有關的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性. (2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題. 【訓練3】 設函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導函數(shù). (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN+，求gn(x)的表達式； (2)若f(x)ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍. 解 由題設得，g(x)x1x(x0). (1)由已知，g1(x)x1x，g2(x)g(g1(x)x1x1x1xx12x，g3(x)x13x，可猜想 gn(x)x1nx. 下面用數(shù)學歸納法證明. 當 n1 時，g1(x)x1x，結(jié)論成立. 假設 nk 時結(jié)論成立，即 gk(x)x1kx. 那么，當 nk1 時，gk1(x)g(gk(x) gk（x）1gk（x）x1kx1x1kxx1（k1）x，即結(jié)論成立. 根據(jù)可知，結(jié)論對 nN+成立. (2)已知 f(x)ag(x)恒成立，即 ln(1x)ax1x恒成立. 設 (x)ln(1x)ax1x(x0)，則 (x)11xa（1x）2x1a（1x）2， 當 a1 時，(x)0(僅當 x0，a1 時等號成立)， (x)在0，)上單調(diào)遞增.又 (0)0， (x)0 在0，)上恒成立， a1 時，ln(1x)ax1x恒成立(僅當 x0 時等號成立). 當 a1 時，對 x(0，a1有 (x)0， (x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)1 時，存在 x0，使 (x)0，ln(1x)ax1x不恒成立， 綜上可知，實數(shù) a 的取值范圍是(，1.