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1、開展核心素養(yǎng) 導(dǎo)航數(shù)列教學(xué)
摘要】一個(gè)好的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師需要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)【1】，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，能開展數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，進(jìn)而巧妙地切入，得心應(yīng)手地解決問題.
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)列
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中難度比較大的一局部內(nèi)容，學(xué)生在考試中失分較多，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解根底知識，積累數(shù)學(xué)根本活動經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的不斷提升，點(diǎn)亮解答數(shù)列問題的引航燈.
一、通過根本量的運(yùn)算解決問題
任何時(shí)候，數(shù)學(xué)運(yùn)算都是數(shù)學(xué)活動的根本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
2、與前n項(xiàng)和公式都可以看成變量間的等量關(guān)系，在解決有關(guān)數(shù)列問題時(shí)，把信息按方程的思想進(jìn)行運(yùn)算處理是解數(shù)列問題的重要策略.
例1等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a4=-13，S8=-4，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.
分析欲求等差數(shù)列的通項(xiàng)an，前n項(xiàng)和Sn，關(guān)鍵是求出首項(xiàng)a1與公差d這兩個(gè)根本量，將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式視為關(guān)于a1與d的方程，問題便迎刃而解.
解設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，有
a4=a1+3d=-13，S8=8a1+872d=-4.解得d=-13，a1=23.
∴an=a1+〔n-1〕d=23+〔n-1〕-1
3、3，
即an=1-n3，
∴Sn=na1+n〔n-1〕2d=23n+n〔n-1〕2-13，
∴Sn=-16n2+56n.
評析與等差〔比〕數(shù)列有關(guān)的量有a1，d〔q〕，n，an，Sn五個(gè).因等差〔比〕數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式實(shí)際上給出了關(guān)于這五個(gè)量的兩組獨(dú)立條件，所以如果這五個(gè)量中的三個(gè)，或關(guān)于這五個(gè)量的另外三組獨(dú)立條件，都可以利用解方程〔組〕的思想確定其他的量.
例2有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，首末兩數(shù)的和為37，中間兩數(shù)的和為36，求這四個(gè)數(shù).
分析條件給出了所要求的四個(gè)數(shù)的等量關(guān)系，可利用方程組求解.
解法1由前兩個(gè)條件，設(shè)所要求的四個(gè)數(shù)分別為a-d，
4、a，a+d，〔a+d〕2a.根據(jù)后兩個(gè)條件可得方程組：
〔a-d〕+〔a+d〕2a=37，a+〔a+d〕=36.解得a=16，d=4，或a=814，d=-92.
所以所求的四個(gè)數(shù)分別為12，16，20，25或994，814，634，494.
解法2由前兩個(gè)條件，設(shè)所要求的四個(gè)數(shù)分別為2aq-a，aq，a，aq.根據(jù)后兩個(gè)條件可得方程組：
2aq-a+aq=37，aq+a=36.解得a=20，q=54，或a=634，q=79.
所以所求的四個(gè)數(shù)分別為12，16，20，25或994，814，634，494.
評析此題可設(shè)所求四個(gè)數(shù)分別為x，y，z，t，根據(jù)四個(gè)條件列方程，但求解方程較難
5、.上述兩種解法是利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律巧設(shè)未知數(shù)，可見仔細(xì)分析題設(shè)條件中量與量的關(guān)系，以確定“運(yùn)用哪些條件來設(shè)未知數(shù)，運(yùn)用哪些條件來列方程〞是解決這類問題的關(guān)鍵所在.
二、通過建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題
現(xiàn)實(shí)生活中，很多問題都有數(shù)列的背景，如銀行儲蓄本息的計(jì)算，養(yǎng)老金的繳納與享用問題，而從某種意義上講，數(shù)列問題是遞推關(guān)系的表現(xiàn)形式，故探求、構(gòu)造和運(yùn)用所給問題中的邏輯遞推關(guān)系會成為解決一些問題的關(guān)鍵.
例3容器中有濃度為m%的溶液a升，現(xiàn)從中倒出b升后用水加滿，再倒出b升后用水加滿，這樣進(jìn)行10次后溶液的濃度是多少？
分析由題意，每一次操作后溶液的濃度組成一個(gè)數(shù)列{an}，且容易
6、找出前后兩次操作的遞推關(guān)系an+1=an1-ba，利用數(shù)列知識不難解決上述問題.
解設(shè)每一次操作后溶液的濃度組成一個(gè)數(shù)列{an}，容易計(jì)算每次操作后濃度減少了ba，那么第一次操作后濃度為a1=1-bam%，且an+1=an1-banm%，
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=1-bam%，公比為q=1-ba的等比數(shù)列，
即a10=1-ba10m%，
故進(jìn)行10次后溶液的濃度是a10=1-ba10m%.
評析等差、等比數(shù)列的定義就是根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系給出的，選擇和應(yīng)用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型建立數(shù)列的遞推關(guān)系，并設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列問題是解決數(shù)列應(yīng)用問題的重要方法.
只有不斷感悟數(shù)學(xué)思想，積累思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和開展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才能提高數(shù)列教學(xué)的有效性.數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)謹(jǐn)記：促使學(xué)生能從數(shù)學(xué)的視角提出問題，用數(shù)學(xué)的思想分析問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，這才是好的數(shù)學(xué)教育.【2】
【參考文獻(xiàn)】
2021.
發(fā)展核心素養(yǎng) 導(dǎo)航數(shù)列教學(xué)
