高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 第2課時 一元二次不等式的解法課件 理

第2課時 一元二次不等式的解法 2018 考綱下載 1通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系 2會解一元二次不等式，以及簡單的分式、高次不等式 請注意 1若二次項系數(shù)中含有參數(shù)時，則應(yīng)先考慮二次項系數(shù)是否為零，然后再討論二次項系數(shù)不為零時的情形，以便確定解集的形式 2當(dāng) 0(a0)的解集為 R 還是. 課課前前自助自助餐餐 二次函數(shù)的圖像、一元二次方程的根與一元二次不等式的解集之間的關(guān)系 判別式 0 0 0)的圖像 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根 有 兩 相 異 實 根x1，x2(x10(a0)的解集 (，x1)(x2，) x|xb2a R ax2bxc0)的解集 x|x1xx2 1判斷下面結(jié)論是否正確(打“”或“”) (1)若不等式 ax2bxc0. (2)若不等式 ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，)，則方程 ax2bxc0 的兩個根是 x1和 x2. (3)若方程 ax2bxc0(a0)沒有實數(shù)根，則不等式 ax2bxc0 的解集為 R. (4)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的條件是 a0 的解集是( ) A(，12) B(0，12) C(，0)(12，) D(12，) 答案 B 3(2016 課標(biāo)全國)設(shè)集合 Sx|(x2)(x3)0，Tx|x0，則 ST( ) A2，3 B(，23，) C3，) D(0，23，) 答案 D 解析 集合 Sx|x2 或 x3 則 STx|01x的解集為_ 答案 (1，0)(1，) 解析 當(dāng) x0 時，原不等式等價于 x21，解得 x1；當(dāng) x0 時，原不等式等價于 x21，解得1x1x的解集為(1，0)(1，) 5(2017 遼陽統(tǒng)考)不等式x2x10 的解集是( ) A(，1)(1，2) B1，2 C(，1)2，) D(1，2 答案 D 解析 x2x10(x1)(x2)0，且 x1，即 x(1，2，故選 D. 6 (2018 河南信陽調(diào)研)若集合 Ax|ax2ax10，a24a0，得 00； (2)12x2axa2(aR) 【解析】 (1)原不等式可化為 2x24x30. 又判別式 424230(4xa)(3xa)0(xa4)(xa3)0， 當(dāng) a0 時，a4a3，解集為x|xa3； 當(dāng) a0 時，x20，解集為x|xR 且 x0； 當(dāng) aa3，解集為x|xa4 【答案】 (1) (2)略 狀元筆記 一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式的一般步驟： 對不等式變形，使一端為 0 且二次項系數(shù)大于 0，即 ax2bxc0(a0)，ax2bxc0)； 計算相應(yīng)的判別式； 當(dāng) 0 時，求出相應(yīng)的一元二次方程的根； 根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖像，寫出不等式的解集 (2)解含參數(shù)的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論：首先根據(jù)二次項系數(shù)的符號進(jìn)行分類，其次根據(jù)根是否存在，即 的符號進(jìn)行分類，最后在根存在時，根據(jù)根的大小進(jìn)行分類 思考題 1 解關(guān)于 x 的不等式： (1)(x3)(2x)4； (2)(x2x1)(x2x1)0； (3)ax2(a1)x10，(x2x1)(x2x1)0. 即解不等式 x2x10. 由求根公式知 x11 52，x21 52. x2x10 的解集為x|x1 52 原不等式的解集為x|x1 52 (3)若 a0，原不等式等價于x11. 若 a0，解得 x1. 若 a0，原不等式等價于(x1a)(x1)0. 當(dāng) a1 時，1a1，(x1a)(x1)1 時，1a1，解(x1a)(x1)0 得1ax1； 當(dāng) 0a1，解(x1a)(x1)0 得 1x1a. 綜上所述：當(dāng) a0 時，解集為x|x1； 當(dāng) a0 時，解集為x|x1； 當(dāng) 0a1 時，解集為x|1x1 時，解集為x|1ax1 【答案】 (1)x|x2 或 x1 (2)x|x1 52 (3)略 題型二題型二 分式、高次不等式分式、高次不等式 (1)不等式x12x10 的解集為_ (2)(2017 廣東深圳二調(diào))不等式 x12x的解集為_ 【解析】 (1)x12x10（x1）（2x1）0，2x10， 解得12x1. 故不等式x12x10 的解集為(12，1 (2) 原 不 等 式 可 化 為 x 1 2x 0 x2x2x 0 （x2）（x1）x0 x（x2）（x1）0，x0. 如圖所示， 原不等式的解集為x|2x0 或 x1 【答案】 (1)(12，1 (2)x|2x0 的形式，其中各因式中未知數(shù)的系數(shù)為正； 求根：求(xx1)(xx2)(xxn)0 的根，并在數(shù)軸上表示出來(按從小到大的順序標(biāo)出)； 穿線：從右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點，但是要注意經(jīng)過偶次根時應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)返回這一側(cè)，經(jīng)過奇次根時應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)穿過，到達(dá)數(shù)軸的另一側(cè)； 得解集：若不等式(未知數(shù)的系數(shù)均為正)是“0”，則找“線”在數(shù)軸上方的區(qū)間；若不等式(未知數(shù)的系數(shù)均為正)是“0”，則找“線”在數(shù)軸下方的區(qū)間 思考題 2 (1)不等式 32xx 的解集是_ 【解析】 由不等式 32x0，等價于 x(x23x2)0， 即 x(x1)(x2)0， 由數(shù)軸標(biāo)根法得x|0 x2 【答案】 x|0 x2 (2)(2018 安徽淮北一模)不等式x22x5x11 的解集為( ) Ax|2x3 Bx|3x2 Cx|x3 或1x2 Dx|x2 【解析】 不等式x2x6x10(x2x6)(x1)0， (x2)(x1)(x3)0.易知相應(yīng)方程的根為3，1，2，由穿針引線法可得原不等式的解集為x|3x2故選 B. 【答案】 B 題型三題型三 函數(shù)與解不等式函數(shù)與解不等式 (1)(2017 課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)x1，x0，2x，x0，則滿足f(x)f(x12)1的x的取值范圍是_ 【解析】 當(dāng)x0時，f(x)2x1恒成立， 當(dāng)x120，即x12時，f(x12)2x121，當(dāng)x120， 即012， 則不等式 f(x)f(x12)1 恒成立 當(dāng) x0 時，f(x)f(x12)x1x122x321， 所以14x0. 綜上所述，x 的取值范圍是(14，) 【答案】 (14，) (2)(2017山 西 大 同 一 中 模 擬 ) 已 知 函 數(shù)f(x) x22x，x0，x22x，x0，若 f(3a2)f(2a)，則實數(shù) a 的取值范圍是_ 【解析】 作出函數(shù) f(x)的圖像，如圖由圖可知，函數(shù) f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)， f(3a2)2a，解得3a2，x2x4，x2，則不等式 f(x)2 的解集是_ 【解析】 依題意，得 1x22，x2，或x2x42，x2， 解得 x(，21，252，) 【答案】 (，21，252，) (2)(2018 江西八校聯(lián)考)已知 f(x)1，x2，1，x2，則不等式x2f(x)x20 的解集是_ 【解析】 當(dāng) x2 時，原不等式可化為 x2x20，解得2x1，此時 x 不存在； 當(dāng) x2 時，原不等式可化為x2x20， 解得 xR， 此時 x2，綜上可得原不等式的解集為x|x2 【答案】 x|x2 題型四題型四 三個二次的關(guān)系三個二次的關(guān)系 (1)已知關(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集是x|x12，求不等式 ax2bxc0 的解集 【思路】 由題意可知，2，12是方程 ax2bxc0 的兩根， 由韋達(dá)定理得ba52，ca1，注意觀察要求不等式與已知條件之間的聯(lián)系 【解析】 由條件，知2，12是方程 ax2bxc0 的兩根，且 a0 變?yōu)?a(x252x1)0.a0，原不等式等價于 2x25x20，即(x2)(2x1)0，解得12x2. 不等式的解集為x|12x2 【答案】 x|12x0(a0(a0)的解集為(，x1)(x2，)， 所以 x1x2a ，x1x26a2 ， 的平方減去 4 倍的可得(x2x1)225a2， 又 x2x15 2，所以 25a250，解得 a 2， 因為 a0(a0，因為 a3a， 所以解不等式得 x2a 或 x0 的解集為x|3x0 的解集為( ) Ax|12x13或 x12 Cx|3x2 Dx|x2 【解析】 由題意得5a32，ba3（2），解得 a1，b6，所以不等式 bx25xa0 為6x25x10，即(3x1)(2x1)0，所以解集為x|12x0 的解集為(，2)(4，)，則對于函數(shù) f(x)ax2bxc，有( ) Af(5)f(2)f(1) Bf(2)f(5)f(1) Cf(1)f(2)f(5) Df(2)f(1)0 的解集為(，2)(4，)，所以 a0，且2，4 的方程 ax2bxc0 的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得24ba，（2）4ca，所以b2a，c8a，所以函數(shù) f(x)ax2bxcax22ax8aa(x22x8)，其圖像的對稱軸為 x1，開口向上，所以 f(2)f(1)f(5) 【答案】 D 題型五題型五 不等式恒成立問題不等式恒成立問題 函數(shù) f(x)x2ax3. (1)當(dāng) xR 時，f(x)a 恒成立，求實數(shù) a 的范圍； (2)當(dāng) x2，2時，f(x)a 恒成立，求實數(shù) a 的范圍； (3)當(dāng) a4，6時，f(x)0 恒成立，求實數(shù) x 的范圍 【解析】 (1)xR 時，有 x2ax3a0 恒成立，須 a24(3a)0，即 a24a120，所以6a2. (2)方法一：當(dāng) x2，2時，設(shè) g(x)x2ax3a0，分如下三種情況討論(如圖所示)： 如圖(1)，當(dāng) g(x)的圖像恒在 x 軸上方時，滿足條件，有 a24(3a)0，即6a2. 如圖(2)，g(x)的圖像與 x 軸有交點， 但在 x2，)時，g(x)0，即0，xa22，g（2）0， 即a24（3a）0，a24，a73， 解之得 a 無解， 如圖(3)，g(x)的圖像與 x 軸有交點， 但在 x(，2時，g(x)0， 即0，xa22，g（2）0，即a24（3a）0，a22，7a0a2或a6，a4，a7. 7a6.綜合，得7a2. 方法二(分離參數(shù))： x23a(1x)對 1x 進(jìn)行分類討論；當(dāng) x2，1)時，ax231x，去求x231x的最小值；設(shè) 1xt，x23t22t4，即為 at4t2(0m(x21) (1)是否存在實數(shù) m，使不等式對任意 xR 恒成立？并說明理由； (2)若對于 m2， 2不等式恒成立， 求實數(shù) x 的取值范圍； (3)若對于 x(1，)不等式恒成立，求 m 的范圍 【解析】 (1)原不等式等價于 mx22x(1m)0， 若 m0 時，2x10 不恒成立， 若 m0 時，若對于任意實數(shù) x 恒成立， 當(dāng)且僅當(dāng) m0 且 44m(1m)0， 不等式解集為， 所以不存在實數(shù) m，使不等式恒成立 (2)設(shè) f(m)(x21)m(2x1)， 當(dāng) m2，2時，f(m)0 恒成立 而 f(m)在 m2，2時表示線段，當(dāng)且僅當(dāng)f（2）0，f（2）02x22x10， 2x22x30. 由，得1 32x1 32. 由，得 x1 72. 取交集，得1 72x1 32. 所以 x 的取值范圍是x|1 72x1，m1)，x21t22t34， m0，m0. 【答案】 (1)不存在 (2)(1 72，1 32) (3)(，0 1一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)三者密切相關(guān)，因而在一元二次不等式求解時要注意利用相應(yīng)二次函數(shù)的圖像及相應(yīng)二次方程的根迅速求出解集，掌握“數(shù)形結(jié)合”思想 2在解形如 ax2bxc0 的不等式時，若沒有說明二次項系數(shù)取值時，別忘了對系數(shù)為零的討論 3分式不等式要注意分母不為零 4掌握分類討論思想在解不等式中的運用，尤其注意分類的標(biāo)準(zhǔn)是不重不漏