《2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第四章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 理(含解析).doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第四章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 理(含解析).doc(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第四章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 理(含解析)
1. (xx重慶,5分)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,則實數(shù)k=( )
A.- B.0
C.3 D.
解析: 因為2a-3b=(2k-3,-6),(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)c=2(2k-3)-6=0,解得k=3,選C.
答案:C
2. (xx山東,5分)在△ABC中,已知=tan A,當A=時,△ABC的面積為________.
解析:根據(jù)平面向量數(shù)量積的概念得
=||||cos A,
當A=時,根據(jù)已知可得||||=,
故△ABC的面積為||||sin =.
答案:
3. (xx安徽,5分)已知兩個不相等的非零向量a,b,兩組向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2個a和3個b排列而成.記S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號).
①S有5個不同的值;
②若a⊥b,則Smin與|a|無關(guān);
③若a∥b,則Smin與|b|無關(guān);
④若|b|>4|a|,則Smin>0;
⑤若|b|=2a,Smin=8|a|2,則a與b的夾角為.
解析:對于①,若a,b有0組對應(yīng)乘積,則S1=2a2+3b2,若a,b有2組對應(yīng)乘積,則S2=a2+2b2+2ab,若a,b有4組對應(yīng)乘積,則S3=b2+4ab,所以S最多有3個不同的值,①錯誤;
因為a,b是不等向量,所以S1-S3=2a2+2b2-4ab=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2ab=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3
16|a|2+16|a|2cos θ=16|a|2(1+cos θ)≥0,故Smin>0,④正確;
對于⑤,|b|=2|a|,Smin=4|a|2+8|a|2cos θ=8|a|2,所以cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=,⑤錯誤.
答案:②④
4. (xx湖北,5分)設(shè)向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),則實數(shù)λ=________.
解析:(a+λb)⊥(a-λb)?(a+λb)(a-λb)=a2-λ2b2=0?18-2λ2=0?λ=3.
答案:3
5. (xx天津,5分)已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120,點E,F(xiàn)分別在邊BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若=1,=-,則λ+μ=( )
A. B.
C. D.
解析:如圖所示,以菱形ABCD的兩條對角線所在直線為坐標軸,建立平面直角坐標系xOy,不妨設(shè)A(0,-1),B(-,0),C(0,1),D(,0),由題意得=(1-λ)=(λ-,λ-1),=(1-μ) =(-μ,μ-1).
因為=-,所以3(λ-1)(1-μ)+(λ-1)(μ-1)=-,即(λ-1)(μ-1)=.
因為=+=(λ-,λ+1),
=+=(-μ,μ+1),
又=1,所以(λ+1)(μ+1)=2.
由
整理得λ+μ=.選C.
答案:C
6. (xx江蘇,5分)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,=2,則的值是________.
解析:因為=+=+,
=+=-,
所以==
||2-||2-=2,將AB=8,AD=5代入解得=22.
答案:22
6. (xx安徽,5分)在平面直角坐標系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,ab=0,點Q滿足OQ―→=(a+b).曲線C={P|=acos θ+bsin θ,0≤θ<2π},區(qū)域Ω={P|0c.已知=2,cos B=,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
解:(1)由=2得cacos B=2,
又cos B=,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.
又b=3,所以a2+c2=9+22=13.
解得a=2,c=3或a=3,c=2.
因a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,
sin B===,
由正弦定理,得sin C=sin B==.
因a=b>c,所以C為銳角,
因此cos C===.
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=+=.
8.(xx湖南,5分)已知a,b是單位向量,ab=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是( )
A.[-1,+1] B.[-1,+2]
C.[1,+1] D.[1,+2]
解析:本小題主要考查單位向量和向量的模的概念、向量垂直的條件,考查轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想.由a,b為單位向量且ab=0,可設(shè)a=(1,0),b=(0,1),又設(shè)c=(x,y),代入|c-a-b|=1得(x-1)2+(y-1)2=1,又|c|=,故由幾何性質(zhì)得 -1≤|c|≤ +1,即-1≤|c|≤+1.
答案:A
9.(xx湖北,5分)已知點A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),則向量在方向上的投影為( )
A. B.
C.- D.-
解析:本題考查向量的坐標運算及向量投影的概念,意在考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握情況.=(2,1),=(5,5),向量=(2,1)在=(5,5)上的投影為||cos〈,〉=||===,故選A.
答案:A
10.(xx新課標全國Ⅰ,5分)已知兩個單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,則t=________.
解析:本題考查平面向量的數(shù)量積運算,意在考查考生的運算求解能力.根據(jù)數(shù)量積bc=0,把已知兩向量的夾角轉(zhuǎn)化到兩向量數(shù)量積的運算中.因為向量a,b為單位向量,所以b2=1,又向量a,b的夾角為60,所以ab=,由bc=0得b[ta+(1-t)b]=0,即tab+(1-t)b2=0,所以t+(1-t)=0,所以t=2.
答案:2
11.(xx浙江,4分)設(shè)e1,e2為單位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夾角為,則的最大值等于________.
解析:本題考查向量的概念、運算、函數(shù)的最值等知識,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、函數(shù)與方程思想以及靈活利用知識分析問題、解決問題的能力.當x=0時,=0,當x≠0時,2===≤4,所以的最大值是2,當且僅當=-時取到最大值.
答案:2
12.(xx天津,5分)在平行四邊形ABCD中, AD=1,∠BAD=60,E為CD的中點.若=1, 則AB的長為________.
解析:本題考查平面向量的運算,意在考查考生的運算求解能力.設(shè)||=x,x>0,則=x.又=(+)(-)=1-x2+x=1,解得x=,即AB的長為.
答案:
13.(xx湖南,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點P是邊AB上異于A,B的一點,光線從點P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點P(如圖).若光線QR經(jīng)過△ABC的重心,則AP等于( )
A.2 B.1
C. D.
解析:本小題主要考查對稱性和解析法,考查轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.以AB、AC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(4,0),C(0,4),得△ABC的重心D,設(shè)AP=x,從而P(x,0),x∈(0,4),由光的幾何性質(zhì)可知點P關(guān)于直線BC、AC的對稱點P1(4,4-x)、P2(-x,0)與△ABC的重心D共線,所以=,求得x=.
答案:D
14.(xx遼寧,12分)設(shè)向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.
(1)若|a|=|b|,求x的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ab,求f(x)的最大值.
解:本題考查向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用,側(cè)重考查三角函數(shù)的性質(zhì).
(1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,
|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,
及|a|=|b|,得4sin2x=1.
又x∈,從而sin x=,
所以x=.
(2)f(x)=ab=sin xcos x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,
當x=∈時,sin取最大值1.
所以f(x)的最大值為.
15.(xx遼寧,5分)已知兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是( )
A.a(chǎn)∥b B.a(chǎn)⊥b
C.|a|=|b| D.a(chǎn)+b=a-b
解析:由|a+b|=|a-b|,兩邊平方并化簡得ab=0,又a,b都是非零向量,所以a⊥b.
答案:B
16.(xx湖南,5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,=1,則BC=( )
A. B.
C.2 D.
解析:設(shè)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.=1,即accos B=-1.在△ABC中,再根據(jù)余弦定理b2=a2+c2-2accos B,及AB=c=2,AC=b=3,可得a2=3,即BC=.
答案:A
17.(2011廣東,5分)若向量a,b,c滿足a∥b且a⊥c,則c(a+2b)=( )
A.4 B.3
C.2 D.0
解析:由a∥b及a⊥c,得b⊥c,
則c(a+2b)=ca+2cb=0.
答案:D
18.(2011遼寧,5分)若a,b,c均為單位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為( )
A.-1 B.1
C. D.2
解析:由已知條件,向量a,b,c都是單位向量可以求出,a2=1,b2=1,c2=1,由ab=0,及(a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)c≥c2=1,因為|a+b-c|2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc,
所以有|a+b-c|2=3-2(ac+bc)≤1,
故|a+b-c|≤1.
答案:B
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