2019-2020年高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）蘇教版含解析.doc

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2019-2020年高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）蘇教版含解析 　 一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上） 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，則CUA=　{1，3，6，7}?。? 考點(diǎn)： 補(bǔ)集及其運(yùn)算． 專題： 計(jì)算題． 分析： 直接利用補(bǔ)集的定義，求出A的補(bǔ)集即可． 解答： 解：因?yàn)槿疷={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}， 則CUA={1，3，5，7}． 故答案為：{1，3，5，7}． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查集合的基本運(yùn)算，補(bǔ)集的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力． 　 2．（5分）已知向量，則向量與的夾角為　30?。? 考點(diǎn)： 數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角． 專題： 計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用． 分析： 由平面向量模的公式和數(shù)量積計(jì)算公式，算出||=||=1且?=，再用向量的夾角公式即可算出向量與的夾角． 解答： 解：∵， ∴||=||=1，且?=cos35cos65+sin35sin65=cos（﹣30）=cos30= 設(shè)與的夾角為θ，可得cosθ== ∵0≤θ≤180，∴θ=30 故答案為：30 點(diǎn)評(píng)： 本題給出向量含有三角函數(shù)的坐標(biāo)形式，求它們的夾角大小，著重考查了數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題． 　 3．（5分）公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a4a10=16，則a10=　32?。? 考點(diǎn)： 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 設(shè)出等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和a4a10=16列式求出首項(xiàng)， 然后代回等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a10． 解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1（a1≠0）， 又公比為2， 由a4a10=16，得：， 所以，，解得：． 所以，． 故答案為32． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，注意的是等比數(shù)列中所有項(xiàng)不會(huì)為0，此題是基礎(chǔ)題． 　 4．（5分）不等式的解集是 　{x|x≥3或x=﹣1}?。? 考點(diǎn)： 一元二次不等式的解法． 專題： 計(jì)算題． 分析： 先要看根號(hào)有意義的條件，求得x的范圍，同時(shí)看x﹣2≥0求得x的范圍或x﹣2＜0且=0，最后分別取交集． 解答： 解：不等式等價(jià)于或解得x≥3或x=﹣1 故答案為：{x|x≥3或x=﹣1} 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了一元二次不等式的解法．解題的時(shí)候要特別留意如根號(hào)，對(duì)數(shù)，分母等隱含的不等式關(guān)系． 　 5．（5分）函數(shù)y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π）單調(diào)增區(qū)間是?。é校?π）?。? 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： 先求導(dǎo)，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得出． 解答： 解：∵函數(shù)y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π），∴y′=﹣xsinx， 由﹣xsinx＞0，x∈（0，2π），化為sinx＞0，x∈（0，2π），解得π＜x＜2π． 故函數(shù)y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π）單調(diào)增區(qū)間是（π，2π）． 故答案為（π，2π）． 點(diǎn)評(píng)： 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的方法是解題的關(guān)鍵． 　 6．（5分）若實(shí)數(shù)x滿足log2x+cosθ=2，則|x﹣8|+|x+2|=　10?。? 考點(diǎn)： 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；函數(shù)的值域． 專題： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)給出的等式，求出x的值，由余弦函數(shù)的值域得到x的范圍，取絕對(duì)值后可得結(jié)果． 解答： 解：由log2x+cosθ=2，得：log2x=2﹣cosθ， 所以，x=22﹣cosθ， 因?yàn)椹?≤cosθ≤1，所以1≤2﹣cosθ≤3， 則2≤22﹣cosθ≤8，所以2≤x≤8． 則|x﹣8|+|x+2|=﹣（x﹣8）+（x+2）=8﹣x+x+2=10． 故答案為10． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了余弦函數(shù)的值域，訓(xùn)練了取絕對(duì)值的方法，是基礎(chǔ)題． 　 7．（5分）已知向量滿足，．若與垂直，則k=　19?。? 考點(diǎn)： 數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 由垂直可得向量的數(shù)量積為0，代入已知數(shù)值可得關(guān)于k的方程，解之即可． 解答： 解：∵與垂直， ∴=0 化簡(jiǎn)可得， 代入可得5k+（1﹣3k）??﹣313=0 化簡(jiǎn)可得解得k=19 故答案為：19 點(diǎn)評(píng)： 本題考查向量的垂直，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題． 　 8．（5分）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)y=kx+2的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　[﹣，0]?。? 考點(diǎn)： 函數(shù)的零點(diǎn)；函數(shù)的圖象與圖象變化． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 利用零點(diǎn)分段法化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)直線y=kx+2過(guò)定點(diǎn)A（0，2），數(shù)形結(jié)合可得滿足條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍 解答： 解：函數(shù)==， 直線y=kx+2過(guò)定點(diǎn)A（0，2）， 取B（1，2），kAB=0， 取C（1，﹣2），kAB=﹣， 根據(jù)圖象可知要使函數(shù)的圖象與函數(shù)y=kx+2的圖象沒(méi)有交點(diǎn)， 則直線斜率滿足：[﹣，0]． 故答案為：[﹣，0]． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，其中畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象分析出滿足條件時(shí)參數(shù)的范圍是解答的關(guān)鍵． 　 9．（5分）等差數(shù)列{an}中，已知a2≤7，a6≥9，則a10的取值范圍是　[11，+∞）　． 考點(diǎn)： 等差數(shù)列的性質(zhì)． 專題： 計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=am+（n﹣m）d，結(jié)合題意可求得其公差d≥，從而可求得a10的取值范圍． 解答： 解：∵等差數(shù)列{an}中，a2≤7，a6≥9， ∴﹣a2≥﹣7，設(shè)該等差數(shù)列的公差為d， 則a6=a2+4d≥9， ∴4d≥9﹣a2≥2， ∴d≥， ∴4d≥2，又a6≥9， ∴a10=a6+4d≥11． 故a10的取值范圍是[11，+∞）． 故答案為：[11，+∞）． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，求得其公差d≥是關(guān)鍵，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與不等式的性質(zhì)，屬于中檔題． 　 10．（5分）已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，向量，，滿足，則函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式為　?。? 考點(diǎn)： 函數(shù)解析式的求解及常用方法；向量的加法及其幾何意義． 專題： 計(jì)算題． 分析： 由三點(diǎn)共線可得f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，求導(dǎo)數(shù)并把x=1代入可得f′（1）的值，進(jìn)而可得解析式． 解答： 解：∵A、B、C三點(diǎn)共線，且， ∴f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，兩邊求導(dǎo)數(shù)可得：f′（x）+2f′（1）﹣=0， 把x=1代入可得f′（1）+2f′（1）﹣1=0，解得f′（1）=， 故f（x）+x﹣lnx=1，即 故答案為： 點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及向量的知識(shí)和導(dǎo)數(shù)內(nèi)容，屬基礎(chǔ)題． 　 11．（5分）已知f（x）=log3（x﹣3），若實(shí)數(shù)m，n滿足f（m）+f（3n）=2，則m+n的最小值為　?。? 考點(diǎn)： 基本不等式；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 由已知得出m、n關(guān)系式和取值范圍，再利用基本不等式的性質(zhì)即可求出． 解答： 解：∵f（x）=log3（x﹣3），f（m）+f（3n）=2，∴，解得． ∴m+n==4++4=，當(dāng)且僅當(dāng)，m＞3，n＞1，，解得，， 即當(dāng)，時(shí)，取等號(hào)． ∴m+n的最小值為． 故答案為． 點(diǎn)評(píng)： 正確已知得出m、n關(guān)系式和取值范圍和熟練掌握利用基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 12．（5分）已知函數(shù)若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是?。ī仭蓿?）∪（2，+∞）?。? 考點(diǎn)： 特稱命題；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 由題意可得，若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，則說(shuō)明f（x）在R上不單調(diào)，分a=0及a≠0兩種情況分布求解即可求得結(jié)論． 解答： 解：若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，則說(shuō)明f（x）在R上不單調(diào)． ①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=滿足題意 其其圖象如圖所示，滿足題意 ②當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=﹣x2+2ax的對(duì)稱軸x=a＜0，其圖象如圖所示，滿足題意 ③當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=﹣x2+ax的對(duì)稱軸x=a＞0，其圖象如圖所示，要使得f（x）在R上不單調(diào) 則只要二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=a＜1，或 ∴0＜a＜1或a＞2， 綜合得：a的取值范圍是（﹣∞，1）∪（2，+∞）． 故答案為：（﹣∞，1）∪（2，+∞）． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題． 　 13．（5分）給出以下命題： （1）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的必要不充分條件； （2）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，則△ABC一定為銳角三角形； （3）函數(shù)與函數(shù)y=sinπx，x∈{1}是同一個(gè)函數(shù)； （4）函數(shù)y=f（2x﹣1）的圖象可以由函數(shù)y=f（2x）的圖象按向量平移得到． 則其中正確命題的序號(hào)是?。?）（3）?。ò阉姓_的命題序號(hào)都填上）． 考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用． 分析： 從條件A，結(jié)論B，看A能否得到B，再看B能否得到A，來(lái)判斷充要條件； 從否定結(jié)論入手能否得出與條件矛盾來(lái)判斷命題的真假； 看兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，要先看定義域是否相同，再看對(duì)應(yīng)法則是否相同； 函數(shù)圖象變化，y=f（x）→y=f（x+φ）平移的向量=（﹣φ，0）． 解答： 解：①在△ABC中，A＞B，若A≤，∵y═sinx是增函數(shù)，∴sinA＞sinB；若A≥，＞π﹣A＞B＞0，∴sinA＞sinB．反過(guò)來(lái)若sinA＞sinB，在△ABC中，得A＞B，∴sinA＞sinB是A＞B的充要條件，∴①． 對(duì)②可用反證法證明：假設(shè)△ABC為鈍角△，不妨設(shè)A＞，tanA＜0，∵A+B+C=π，∴tanA+tanB+tanC=tanA+tan（B+C）（1﹣tanBtanC）=tanA+（﹣tanA）（1﹣tanBtanC）=tanAtanBtanC＜0與題設(shè)tanAtanBtanC＞0矛盾．△ABC不是直角△，∴△ABC為銳角△，∴②√． ③中y=+定義域是x∈{1}，兩函數(shù)定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域相同．∴為同一函數(shù)，③√． 對(duì)④中函數(shù)y=f（2x﹣1）的圖象可由y=f（2x）的圖象向左平移個(gè)單位得到，∴④． 故答案是②③ 點(diǎn)評(píng)： 要正確理解充要條件的含義，掌握判斷方法．判斷命題的真假可用反證法， 　 14．（5分）數(shù)列{an}滿足，則{an}的前40項(xiàng)和為　420?。? 考點(diǎn)： 數(shù)列的求和． 專題： 計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 利用數(shù)列遞推式，可得數(shù)列{an}是從第一項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于1，從第二項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以5為首項(xiàng)，以8為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)論． 解答： 解：∵， ∴a2﹣a1=1，a3+a2=2，a4﹣a3=3，a5+a4=4，…，a50﹣a49=49． ∴a3+a1=1，a4+a2=5，a7+a5=1，a8+a6=13，a9+a11=1，a12+a10=21，… 從第一項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于1，從第二項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以5為首項(xiàng)，以8為公差的等差數(shù)列． 所以{an}的前40項(xiàng)和為101+105+=420 故答案為：420． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列求和，屬于中檔題． 　 二、解答題：（本大題共6道題，計(jì)90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 15．（14分）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）．y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸是直線． （1）求函數(shù)f（x）的解析式； （2）若，試求的值． 考點(diǎn)： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的值． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： （1）根據(jù)是函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱軸，求得，再根據(jù)?的范圍求出?的值，即可求得函數(shù)的解析式． （2）由，求得sin（α﹣） 和cos（α﹣）的值，利用兩角和的正弦公式求得sinα的值，再利用二倍角公式求得 的值． 解答： 解：（1）∵是函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱軸， ∴，∴，…（2分） ∵﹣π＜?＜0，∴，…（4分） 故…（6分） （2）因?yàn)椋? 所以，．…（8分） 故 =．…（11分） 故有 =．…（14分） 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查利用y=Asin（ωx+?）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+?）的部分圖象求解析式，兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題． 　 16．（14分）如圖，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，記∠B=α． （1）試用α表示AP的長(zhǎng)； （2）求四邊形ABCP的面積的最大值，并寫出此時(shí)α的值． 考點(diǎn)： 余弦定理． 專題： 計(jì)算題． 分析： （1）在三角形ABC中，由AB，BC及cosB，利用余弦定理列出關(guān)系式，記作①；在三角形APC中，由AP，PC及cosP，利用余弦定理列出關(guān)系式，記作②，由①②消去AC，得到關(guān)于AP的方程，整理后可用α表示AP的長(zhǎng)； （2）由三角形的面積公式表示出三角形ABC及三角形APC的面積，兩三角形面積之差即為四邊形ABCP的面積，整理后將表示出的AP代入，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出四邊形ABCP的面積的最大值，以及此時(shí)α的值． 解答： 解：（1）△ABC與△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π﹣α， 由余弦定理得，AC2=22+32﹣223cosα，① AC2=AP2+22﹣2AP2cos（π﹣α），② 由①②得：AP2+4APcosα+12cosα﹣9=0，α∈（0，π）， 解得：AP=3﹣4cosα； （2）∵AP=3﹣4cosα，α∈（0，π）， ∴S四邊形ABCP=S△ABC﹣S△APC=23sinα﹣2APsin（π﹣α） =3sinα﹣（3﹣4cosα）sinα =4sinα?cosα=2sin2α，α∈（0，π）， 則當(dāng)α=時(shí)，Smax=2． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，誘導(dǎo)公式，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵． 　 17．（14分）（xx?寧波模擬）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常數(shù)，a∈R． （1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范圍． 考點(diǎn)： 函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；函數(shù)恒成立問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣lnx，求出f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可得到單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性即可得到極值； （2）f（x）≥3恒成立即a≥+恒成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，x∈（0，e]的最大值，利用導(dǎo)數(shù)即可求得； 解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=， 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減； 當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）為單調(diào)遞增． ∴當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得極小值，f（x）的極小值為f（1）=1，f（x）無(wú)極大值； （2）∵f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]， ∴ax﹣lnx≥3在x∈（0，e]上恒成立，即a≥+在x∈（0，e]上恒成立， 令，x∈（0，e]， 則， 令g′（x）=0，則， 當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減， ∴， ∴a≥e2，即a的取值范圍為a≥e2． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)極值及函數(shù)恒成立問(wèn)題，具有一定綜合性，恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決． 　 18．（16分）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）若恒成立，求k的取值范圍； （3）對(duì)任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間（2m，22m）內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm． 考點(diǎn)： 數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合． 專題： 綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）由，知，由此得到，由此能能求出an． （2）由，，結(jié)合題設(shè)條件能求出k的取值范圍． （3）對(duì)任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m，由，能求出數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm． 解答： 解：（1）∵， ∴， 兩式相減得，…（2分） 整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0， ∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)， ∴an﹣an﹣1=2，n≥2，∴{an}是公差為2的等差數(shù)列，…（4分） 又得a1=1，∴an=2n﹣1．…（5分） （2）由題意得， ∵， ∴ =…（8分）∴…（10分） （3）對(duì)任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m，則， 而n∈N*，由題意可知，…（12分） 于是 =， 即．…（16分） 點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，考查數(shù)列的前m項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用． 　 19．（16分）定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足下列條件： ①f（x）是偶函數(shù)；②對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；③當(dāng)x＞0時(shí)，恒有． （1）求f（0）的值； （2）證明：f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)； （3）若f（3）=2，解關(guān)于a的不等式f（a2﹣2a﹣9）≤8． 考點(diǎn)： 抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： （1）令x=0，y=1，易由f（x+y）=2f（x）f（y）求出f（0）的值； （2）設(shè)0≤x1＜x2，根據(jù)當(dāng)x＞0時(shí)，恒有及f（x）是偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷出f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)； （3）令x=y=3，則f（6）=8，由（2）中函數(shù)的單調(diào)性，可將抽象不等式具體為|a2﹣2a﹣9|≤6，解絕對(duì)值不等式可得答案． 解答： 解：（1）解：令x=0，y=1， 則f（1）=2f（0）?f（1）， ∵， ∴．…（4分） （2）∵當(dāng)x＞0時(shí)，恒有，又f（x）是偶函數(shù)， ∴當(dāng)x＜0時(shí)，， 又，f（x）＞0恒成立．…（6分） 設(shè)0≤x1＜x2，則x2﹣x1＞0，， ∴f（x2）=2f（x1）f（x2﹣x1）＞f（x1），…（9分） ∴f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．…（10分） （3）令x=y=3，則f（6）=2f2（3）=8，…（12分） ∴f（a2﹣2a﹣9）=f（|a2﹣2a﹣9|）≤f（6）， 由f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)， 得|a2﹣2a﹣9|≤6，…（14分） 即， 解得， ∴﹣3≤a≤﹣1或3≤a≤5．…16 分 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，熟練掌握抽象函數(shù)“湊”的思想是解答的關(guān)鍵，本題難度中檔． 　 20．（16分）設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，f（x）取得極小值． （1）求函數(shù)f（x）的解析式； （2）求使得方程僅有整數(shù)根的所有正實(shí)數(shù)n的值； （3）設(shè)g（x）=|f（x）+（3t﹣1）x|，（x∈[﹣1，1]），求g（x）的最大值F（t）． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的零點(diǎn)． 專題： 綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）由f（x）為奇函數(shù)，知b=d=0，由及，知a=﹣1，c=1，由此能求出f（x）． （2）由方程，知x2﹣nx+4n=0，由方程僅有整數(shù)解，知n為整數(shù)，由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0，由此能求出n． （3）由g（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函數(shù)，知只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．構(gòu)造函數(shù)h（x）=x3﹣3tx，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g（x）的最大值F（t）． 解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴b=d=0，…（2分） 又由及，得a=﹣1，c=1， ∴f（x）=﹣x3+x．…（4分） 當(dāng)時(shí)，f（x）＜0， 當(dāng)時(shí)f（x）＞0， ∴f（x）在時(shí)取得極小值， ∴f（x）=﹣x3+x為所求．…（5分） （2）方程， 化簡(jiǎn)得：x2﹣nx+4n=0， 因?yàn)榉匠虄H有整數(shù)解，故n為整數(shù)， 又由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0．…（7分） 又， 故x﹣4為16的正約數(shù)，…（9分） 所以x﹣4=1，2，4，8，16，進(jìn)而得到n=16，18，25．…（10分） （3）因?yàn)間（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函數(shù)， 所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可． 記h（x）=x3﹣3tx，∵h(yuǎn)（x）=3x2﹣3t=3（x2﹣t）， ①t≤0時(shí)，h（x）≥0，h（x）在[0，1]上單調(diào)增且h（x）≥h（0）=0． ∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1﹣3t．…（12分） ②t＞0時(shí)，由h（x）=0得，，和， i．當(dāng)即t≥1時(shí)，h（x）在[0，1]上單調(diào)減， ∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=﹣h（x），F(xiàn)（t）=﹣h（1）=3t﹣1．…（14分） ii．當(dāng)即0＜t＜1時(shí)，h（x）在單調(diào)減，單調(diào)增， （Ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，，∴， （Ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，，∴F（t）=h（1）=1﹣3t， 綜上可知，．…（16分） 點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查所有正實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．