2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第45講 幾何概型練習(xí) 新人教A版.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第45講 幾何概型練習(xí) 新人教A版考情展望1.考查與長度、面積、體積等有關(guān)的幾何概型計(jì)算.2.主要以選擇題和填空題形式考查，一般為中低檔題一、幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型二、幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)幾何概型的特點(diǎn)幾何概型與古典概型的區(qū)別是幾何概型試驗(yàn)中的可能結(jié)果不是有限個(gè)，它的特點(diǎn)是試驗(yàn)結(jié)果在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，故隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān)三、幾何概型的概率公式P(A).1某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過2分鐘的概率是()A. B. C. D.【解析】試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為5，所求事件的區(qū)域長度為2，故所求概率為P.【答案】C2有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會，應(yīng)選擇的游戲盤是()【解析】P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)P(C)P(D)P(B)【答案】A圖10613如圖1061，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自ABE內(nèi)部的概率等于()A. B.C. D.【解析】“點(diǎn)Q取自ABE內(nèi)部”記為事件M，由幾何概型得P(M).【答案】C4在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_【解析】記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A，則事件A發(fā)生時(shí)，點(diǎn)P位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球外又V正方體ABCDA1B1C1D1238，V半球13.所求事件概率P(A)1.【答案】15(xx陜西高考)圖1062如圖1062，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基戰(zhàn)，假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號的概率是()A1 B.1C2 D.【解析】取面積為測度，則所求概率為P1.【答案】A6(xx福建高考)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為_【解析】選擇區(qū)間長度為測度求解幾何概型由題意知0a1.事件“3a10”發(fā)生時(shí)，a且a1，取區(qū)間長度為測度，由幾何概型的概率公式得其概率P.【答案】考向一 186與長度有關(guān)的幾何概型在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則sin xcos x1，的概率是()A.B.C.D.【思路點(diǎn)撥】先化簡不等式，確定滿足sin1，且在區(qū)間內(nèi)x的范圍，根據(jù)幾何概型利用長度之比可得結(jié)論【嘗試解答】sin xcos x1，即sin，x，在區(qū)間內(nèi)，滿足sin的x，事件sin xcos x1，的概率為P.【答案】B規(guī)律方法11.解答本題的關(guān)鍵是確定x的取值范圍，這需要用到三角函數(shù)的單調(diào)性2幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無限性，二是等可能性基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率對點(diǎn)訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)log2x，若在1,4上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x0，則使得f(x0)1成立的概率為()A.B.C.D.【解析】解不等式log2x1，可得x2，在區(qū)間1,4上隨機(jī)取一實(shí)數(shù)x，該實(shí)數(shù)x滿足不等式1log2x的概率為.【答案】C考向二 187與面積有關(guān)的幾何概型如圖1063所示，在一個(gè)邊長為1的正方形AOBC內(nèi)，曲線y和曲線yx2圍成一個(gè)葉形圖(陰影部分)，向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是_圖1063【思路點(diǎn)撥】利用積分求出陰影部分的面積，根據(jù)幾何概型公式求解【嘗試解答】由得或故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1)，陰影部分的面積為S(x2)dx，而正方形的面積為1，故所求的概率P.【答案】規(guī)律方法2(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解.(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.對點(diǎn)訓(xùn)練如圖1064，圖1064矩形OABC內(nèi)的陰影部分是由曲線f(x)sin x(x(0，)及直線xa(a(0，)與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為，則a的值是_【解析】sin xdxcos x1cos aa，cos a，a.【答案】考向三 188與體積有關(guān)的幾何概型在球O內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)在球O的內(nèi)接正方體中的概率是()A.B.C.D.【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)球的內(nèi)接正方體的體對角線長即為球的直徑求出邊長，然后分別求出球和正方體的體積，最后利用幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可【嘗試解答】設(shè)球的半徑為R，則球O的內(nèi)接正方體的體對角線為2R根據(jù)邊長為a的正方體的體對角線長為a，可知正方體的體對角線為2R，則正方體的邊長為球的體積為，球O的內(nèi)接正方體的體積為3在球O內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)在球O的內(nèi)接正方體中的概率是【答案】C規(guī)律方法3求解幾何概型的概率問題，一定要正確確定試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，從而正確選擇合理的測度，進(jìn)而利用概率公式求解.對點(diǎn)訓(xùn)練一只小蜜蜂在一個(gè)棱長為4的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體中心的距離不超過1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率是()A.B.C.D.【解析】正方體的體積為64，與正方體中心的距離不超過1構(gòu)成半徑為1的球，體積為，即P，故選B.【答案】B規(guī)范解答之二十二概率與函數(shù)相結(jié)合的綜合問題1個(gè)示范例1個(gè)規(guī)范練(12分)(xx濰坊模擬)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)ax24bx1.(1)設(shè)集合P1,2,3和Q1,1,2,3,4，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率；(2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率【規(guī)范解答】(1)函數(shù)f(x)ax24bx1的圖象的對稱軸為直線x，要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a0且1，即2ba.2分若a1，則b1；若a2，則b1或1；若a3，則b1或1.事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1225.5分而滿足條件的數(shù)對(a，b)共有3515個(gè)所求事件的概率為.6分(2)由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)2ba且a0時(shí)，函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，8分依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)闃?gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切?9分由得交點(diǎn)坐標(biāo)為，10分所求事件的概率為P.12分【名師寄語】本例中先將f(x)在1，)上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為滿足條件2ba且a0，然后再聯(lián)系已知條件，將問題轉(zhuǎn)化為幾何概型，實(shí)現(xiàn)了知識的逐步遷移，這種轉(zhuǎn)化遷移的思想值得注意，另外，對于二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，在某一區(qū)間m，)上單調(diào)遞增的充要條件是切勿漏掉a0.已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)ax28bx1設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)的概率【解】(1)函數(shù)f(x)ax28bx1的圖象的對稱軸為x.要使f(x)ax28bx1在區(qū)間2，)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a0且2，即2ba，且a0時(shí)，函數(shù)f(x)ax28bx1在區(qū)間2，)上為增函數(shù)，依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋?，對?yīng)圖中的AOC及其內(nèi)部，其中A(6,0)，C(0,6)而構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)锳OB部分及其內(nèi)部，如圖所示由解得交點(diǎn)為B(4,2)函數(shù)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)的概率為P.