2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第13講 導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算練習(xí) 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第13講 導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算練習(xí) 新人教A版 [考情展望] 1.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)處的切線方程.2.考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計(jì)算. 一、導(dǎo)數(shù)的概念 1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù): (1)定義:稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率 = 為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)= = . (2)幾何意義:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率.(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))相應(yīng)地,切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù): 稱函數(shù)f′(x)= 為f(x)的導(dǎo)函數(shù). 二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)=xn(n∈Q*) f′(x)=nxn-1 f(x)=sin x f′(x)=cos_x f(x)=cos x f′(x)=-sin_x f(x)=ax f′(x)=axln_a(a>0) f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=logax f′(x)= f(x)=ln x f′(x)= 三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 1.[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x); 2.[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); 3.′=(g(x)≠0). 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則特例及推廣 (1)[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x),其中a,b為常數(shù). (2)′=-(f(x)≠0). (3)導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則,可由兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形,即[u(x)v(x)…ω(x)]=u′(x)v′(x)…ω′(x). 四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)u=v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),y=f(u)在點(diǎn)u處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)f[v(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo),且f′(x)=f′(u)v′(x),即y′x=y(tǒng)′uu′x. “分解—求導(dǎo)—回代”法求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)分解 適當(dāng)選定中間變量,正確分解復(fù)合關(guān)系,即說明函數(shù)關(guān)系y=f(u),u=g(x); (2)求導(dǎo) 分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)),要特別注意中間變量對(duì)自變量求導(dǎo),即先求y′u,再求u′x; (3)回代 計(jì)算y′uu′x,并把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù). 1.某汽車的路程函數(shù)是s(t)=2t3-gt2(g=10 m/s2),則當(dāng)t=2 s時(shí),汽車的加速度是( ) A.14 m/s2 B.4 m/s2 C.10 m/s2 D.-4 m/s2 【解析】 由題意知,汽車的速度函數(shù)為v(t)=s′(t)=6t2-gt,則v′(t)=12t-g, 故當(dāng)t=2 s時(shí),汽車的加速度是v′(2)=122-10=14 m/s2. 【答案】 A 2.函數(shù)y=xcos x-sin x的導(dǎo)數(shù)為( ) A.xsin x B.-xsin x C.xcos x D.-xcos x 【解析】 f′(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 【答案】 B 3.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,則x0等于( ) A.e2 B.e C. D.ln 2 【解析】 f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=ln x+1, 由f′(x0)=2,即ln x0+1=2,解得x0=e. 【答案】 B 4.曲線y=x3+11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15 【解析】 ∵y=x3+11,∴y′=3x2,∴y′|x=1=3, ∴曲線y=x3+11在點(diǎn)P(1,12)處的切線方程為y-12=3(x-1).令x=0,得y=9. 【答案】 C 5.(xx江西高考)若曲線y=xα+1(α∈R)在點(diǎn)(1,2)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),則α=________. 【解析】 因?yàn)閥′=αxα-1,所以在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率k=α,則切線方程為y-2=α(x-1).又切線過原點(diǎn),故0-2=α(0-1),解得α=2. 【答案】 2 6.(xx廣東高考)若曲線y=kx+ln x在點(diǎn)(1,k)處的切線平行于x軸,則k=________. 【解析】 函數(shù)y=kx+ln x的導(dǎo)函數(shù)為y′=k+,由導(dǎo)數(shù)y′|x=1=0,得k+1=0,則k=-1. 【答案】?。? 考向一 [036] 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=exsin x; (2)y=x; (3)y=x-sin cos ; (4)y=. 【思路點(diǎn)撥】 (1)利用積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求解,(2)(3)先化簡(jiǎn)再求導(dǎo),(4)利用商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求解. 【嘗試解答】 (1)y′=(ex)′sin x+ex(sin x)′=exsin x+excos x. (2)∵y=x3+1+,∴y′=3x2-. (3)∵y=x-sin x,∴y′=1-cos x. (4)y′= = =. 規(guī)律方法1 1.本例在解答過程易出現(xiàn)商的求導(dǎo)中,符號(hào)判定錯(cuò)誤. 2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法 (1)連乘積的形式:先展開化為多項(xiàng)式的形式,再求導(dǎo). (2)根式形式:先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再求導(dǎo). (3)復(fù)雜公式:通過分子上湊分母,化為簡(jiǎn)單分式的和、差,再求導(dǎo). (4)復(fù)合函數(shù):確定復(fù)合關(guān)系,由外向內(nèi)逐層求導(dǎo). (5)不能直接求導(dǎo)的:適當(dāng)恒等變形,轉(zhuǎn)化為能求導(dǎo)的形式再求導(dǎo). 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=(1+); (2)y=3xex-ln x+e; (3)y=+e2x. 【解】 (1)∵y=(1+)=2+x-+x, ∴y′=-x-+x-. (2)y′=(3x)′ex+3x(ex)′-=3xexln 3+3xex- =3xexln(3e)-. (3)y′=(3-x)-(3-x)′+e2x(2x)′ =-(3-x)-+2e2x. 考向二 [037] 導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形的面積為定值,并求此定值. 【思路點(diǎn)撥】 (1)→→→ (2)→→→ 【嘗試解答】 (1)方程7x-4y-12=0可化為y=x-3. 當(dāng)x=2時(shí),y=. 又f′(x)=a+,于是,解得, 故f(x)=x-. (2)設(shè)P(x0,y0)為曲線y=f(x)上任一點(diǎn),由y′=1+知曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0). 令x=0得y=-,從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為.令y=x得y=x=2x0,從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0). 所以點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為|2x0|=6. 故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值,此定值為6. 規(guī)律方法2 1.切點(diǎn)(2,f(2))既在切線上,又在曲線f(x)上,從而得到關(guān)于a,b的方程組. 2.在求切線方程時(shí),應(yīng)先判斷已知點(diǎn)Q(a,b)是否為切點(diǎn),若已知點(diǎn)Q(a,b)不是切點(diǎn),則應(yīng)求出切點(diǎn)的坐標(biāo),其求法如下: (1)設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)P(x0,y0); (2)解方程組 (3)利用點(diǎn)斜式寫出切線方程. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 已知f(x)=ln x,g(x)=x3+x2+mx+n,直線l與函數(shù)f(x),g(x)的圖象都相切于點(diǎn)(1,0). (1)求直線l的方程; (2)求函數(shù)g(x)的解析式. 【解】 (1)∵l是f(x)=ln x在點(diǎn)(1,0)處的切線, ∴其斜率k=f′(1)=1, 因此直線l的方程為y=x-1. (2)又l與g(x)相切于點(diǎn)(1,0), ∴g′(1)=1,且g(1)=0. 因此∴ 所以函數(shù)g(x)=x3+x2-x+. 易錯(cuò)易誤之四 求切線方程——“在”、“過”兩重天 ——— [1個(gè)示范例] ———— [1個(gè)防錯(cuò)練] ——— 已知曲線y=x3上一點(diǎn)P,求過點(diǎn)P的切線方程. 【解】 (1)當(dāng)P為切點(diǎn)時(shí),由y′=′=x2, 得y′|x=2=4,即過點(diǎn)P的切線方程的斜率為4. 則所求的切線方程是y-=4(x-2), 即12x-3y-16=0. (2)當(dāng)P點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí),設(shè)切點(diǎn)為Q(x0,y0), 此處誤認(rèn)為點(diǎn)P即為切點(diǎn),而直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程,出現(xiàn)此種錯(cuò)誤的原因是審題不清,不明確導(dǎo)致的幾何意義. 則切線方程為y-x=x(x-x0), 因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P,把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入以上切線方程, 求得x0=-1或x0=2(即點(diǎn)P,舍去), 所以切點(diǎn)為Q, 即所求切線方程為3x-3y+2=0; 綜上所述,過點(diǎn)P的切線方程為12x-3y-16=0或3x-3y+2=0. 【防范措施】 (1)“在”曲線上一點(diǎn)處的切線問題,先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),代入點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到斜率. (2)“過”曲線上一點(diǎn)的切線問題,此時(shí)該點(diǎn)未必是切點(diǎn),故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn),求切點(diǎn)坐標(biāo). (xx蘭州模擬)若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,則a等于( ) A.-1或- B.-1或 C.-或- D.-或7 【解析】 設(shè)過(1,0)的直線與y=x3相切于點(diǎn)(x0,x),所以切線方程為y-x=3x(x-x0),即y=3xx-2x,又(1,0)在切線上,則x0=0或x0=,當(dāng)x0=0時(shí),由y=0與y=ax2+x-9相切可得a=-,當(dāng)x0=時(shí),由y=x-與y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以選A. 【答案】 A- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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