2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第22講 簡單的三角恒等變換練習(xí) 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第22講 簡單的三角恒等變換練習(xí) 新人教A版 [考情展望] 1.利用和、差、倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)恒等變形,進(jìn)而研究三角函數(shù)的性質(zhì)問題.2.與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)相結(jié)合綜合考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 一、二倍角公式的變形 1.用cos α表示sin2,cos2,tan2 sin2=,cos2=,tan2=. 2.用sin α,cos α表示tan tan ==. 應(yīng)用二倍角公式的變形求值的注意問題 (1)已知sin α,cos α的值求tan時,應(yīng)優(yōu)先采用tan=或tan=,這樣可以避免由“tan=”帶來增解. (2)應(yīng)用“sin=”或“cos=”求值時,可由所在象限確定該三角函數(shù)值的符號. 二、輔助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ). 1.輔助角公式的特殊情況 (1)sin αcos α=sin; (2)sin αcos α=2sin; (3)cos αsin α=2sin. 2.輔助角公式的作用 (1)利用該公式可將形如y=asin x+bcos x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù),進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì). (2)若函數(shù)y=asin x+bcos x的定義域為R,則值域為[-,]. 1.已知cos θ=-,<θ<3π,那么sin =( ) A. B.- C. D.- 【解析】 ∵<θ<3π,∴<<. ∴sin=-=-=-. 【答案】 D 2.已知cos α=,α∈(π,2π),則cos 等于( ) A. B.- C. D.- 【解析】 ∵π<α<2π,∴<<π. ∴cos=-=-=-. 【答案】 B 3.化簡的結(jié)果是( ) A.-cos 1 B.cos 1 C.cos 1 D.-cos 1 【解析】 ==cos 1. 【答案】 C 4.對于函數(shù)f(x)=2sin x cos x,下列選項中正確的是( ) A.f(x)在(,)上是遞增的 B.f(x)的圖象關(guān)于原點對稱 C.f(x)的最小正周期為2π D.f(x)的最大值為2 【解析】 ∵f(x)=2sin xcos x=sin 2x, ∴f(x)為奇函數(shù),∴f(x)的圖象關(guān)于原點對稱. 【答案】 B 5.(xx課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知sin 2α=,則cos2=( ) A. B. C. D. 【解析】 ∵sin 2α=,∴cos2====. 【答案】 A 6.(xx江西高考)函數(shù)y=sin 2x+2sin2x的最小正周期T為________. 【解析】 由于y=sin 2x+2sin2x=sin 2x+(1-cos 2x)=sin 2x-cos 2x+=2sin+,∴T==π. 【答案】 π 考向一 [063] 輔助角公式及其應(yīng)用 (1)函數(shù)f(x)=sin x+cos的最大值為( ) A.2 B. C.1 D. (2)(xx浙江高考)函數(shù)f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分別是( ) A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2 (3)(xx湖北高考)將函數(shù)y=cos x+sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對稱,則m的最小值是( ) A. B. C. D. 【思路點撥】 (1)先將cos展開,再與“sin x”合成一個角. (2)先把f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式,再求周期和振幅. (3)先將函數(shù)解析式化簡,再寫出平移后的解析式,然后,根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得到m的表達(dá)式,求得m的最小值. 【嘗試解答】 (1)f(x)=sin x+coscos x-sinsin x =cos x+sin x=sin ∴當(dāng)x+=+2kπ(k∈Z)時,f(x)取得最大值1. (2)f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,所以最小正周期為T==π,振幅A=1. (3)由于y=cos x+sin x=2cos,向左平移m(m>0)個單位長度后得到函數(shù)y=2cos的圖象.由于該圖象關(guān)于y軸對稱,所以m-=kπ(k∈Z,m>0),于是m=kπ+(k∈Z,m>0),故當(dāng)k=0時,m取得最小值. 【答案】 (1)C (2)A (3)B 規(guī)律方法1 利用asin x+bcos x=sin(x+φ)把形如y=asin x+bcos x+k的函數(shù)化為一個角的某種函數(shù)的一次式,可以求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、值域和最值、對稱軸等. 對點訓(xùn)練 (xx溫州模擬)已知函數(shù)f(x)=sin x-cos x,x∈R,若f(x)≥1,則x的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【解析】 f(x)=sin x-cos x =2sin≥1, ∴sin≥, ∴2kπ+≤x-≤2kπ+π(k∈Z), ∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z. 【答案】 A 考向二 [064] 三角恒等變換的綜合應(yīng)用 (xx大連模擬)已知函數(shù)f(x)=sin+2sin2(x∈R). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)求使函數(shù)f(x)取得最大值時x的集合. 【思路點撥】 借助“降冪公式”及“輔助角公式”化f(x)成“Asin(ωx+φ)+k”的形式,進(jìn)而解答本題. 【嘗試解答】 (1)因為f(x)=sin+1-cos 2=2+1 =2sin+1 =2sin+1, 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)當(dāng)f(x)取得最大值時,sin=1,此時2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z),所以所求x的集合為. 規(guī)律方法2 1.三角恒等變換要堅持結(jié)構(gòu)同化原則,即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等,其中切化弦也是同化思想的體現(xiàn); 2.降次是一種三角變換的常用技巧,要靈活運用降次公式. 對點訓(xùn)練 (xx四川高考)已知函數(shù)f(x)=cos2-sin cos -. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域; (2)若f(α)=,求sin 2α的值. 【解】 (1)由已知,f(x)=cos2-sin cos - =(1+cos x)-sin x- =cos, 所以f(x)的最小正周期為2π,值域為. (2)由(1)知,f(α)=cos=, 所以cos=. 所以sin 2α=-cos=-cos 2 =1-2cos2=1-=. 思想方法之十 轉(zhuǎn)化思想在求三角函數(shù)最值中的妙用 解決三角函數(shù)最值的基本途徑,同求解其他函數(shù)最值一樣,一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性(如有界性等),另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)(二次函數(shù)等)最值問題.常見的三角函數(shù)最值的求解策略如下所示: 1.配方轉(zhuǎn)化策略 對能夠化為形如y=asin2x+bsin x+c或y=acos2x+bcos x+c的三角函數(shù)最值問題,可看作是sin x或cos x的二次函數(shù)最值問題,常常利用配方轉(zhuǎn)化策略來解決. 2.有界轉(zhuǎn)化策略 對于所給的三角函數(shù)能夠通過變形化為形如y=Asin(ωx+φ)等形式的,常常可以利用三角函數(shù)的有界性來求解其最值.這是解決三角函數(shù)最值問題常用的策略之一. 3.單調(diào)性轉(zhuǎn)化策略 借助函數(shù)單調(diào)性是求解函數(shù)最值問題常用的一種轉(zhuǎn)化策略.對于三角函數(shù)來說,常常是先化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解. ——— [1個示范例] ——— [1個對點練] ——— (xx山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)=-sin2ωx-sin ωcos ωx(ω>0),且y=f(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω的值; (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 【解】 (1)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx =--sin 2ωx =cos 2ωx-sin 2ωx =-sin. 因為圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為, 又ω>0,所以=4.因此ω=1. (2)由(1)知f(x)=-sin. 當(dāng)π≤x≤時,≤2x-≤. 所以-≤sin≤1. 因此-1≤f(x)≤. 故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值為,-1. 已知向量a=(1+sin 2x,sin x-cos x),b=(1,sin x+cos x),函數(shù)f(x)=ab. (1)求f(x)的最大值及相應(yīng)的x的值; (2)若f(θ)=,求cos 2的值. 【解】 (1)因為a=(1+sin 2x,sin x-cos x),b=(1,sin x+cos x),所以f(x)=1+sin 2x+sin2x-cos2x=1+sin 2x-cos 2x=sin+1. 因此,當(dāng)2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+π(k∈Z)時,f(x)取得最大值+1. (2)由f(θ)=1+sin 2θ-cos 2θ及f(θ)=,得sin 2θ-cos 2θ=,兩邊平方,得1-sin 4θ=,即sin 4θ=. 因此cos 2=cos=sin 4θ=.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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