2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 攻略一 函數(shù)與方程思想數(shù)形結(jié)合思想.doc

2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 攻略一 函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想一、函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要依據(jù)題意，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，或建立相應(yīng)的方程來(lái)解決問(wèn)題，它涉及三大題型高、中、低檔試題都有出現(xiàn)近幾年來(lái)代數(shù)壓軸題多為考查應(yīng)用函數(shù)思想解題的能力函數(shù)與方程思想的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾方面：(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)yf(x)，當(dāng)y>0時(shí)，就化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開(kāi)不等式(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要(3)解析幾何中的許多問(wèn)題需要通過(guò)解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論(4)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決，建立空間直角坐標(biāo)系后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切1運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題此類問(wèn)題是多元問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，通常有兩種處理思路：一是分離變量構(gòu)造函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)加以解決【例1】(xx福建高考)已知函數(shù)f(x)exax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線yf(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x0時(shí)，x2ex；(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有xcex.【解】(1)由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)有極小值，且極小值為f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)無(wú)極大值(2)令g(x)exx2，則g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即g(x)0.所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)10，所以當(dāng)x0時(shí)，g(x)g(0)0，即x2ex.(3)對(duì)任意給定的正數(shù)c，取x0，由(2)知，當(dāng)x0時(shí)，x2ex.所以當(dāng)xx0時(shí)，exx2x，即xcex.因此，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有xcex.2運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列問(wèn)題數(shù)列問(wèn)題函數(shù)(方程)化法與形式結(jié)構(gòu)函數(shù)(方程)化法類似，但要注意數(shù)列問(wèn)題中n的取值范圍為正整數(shù)，涉及的函數(shù)具有離散性特點(diǎn)，其一般解題步驟是：第一步：分析數(shù)列式子的結(jié)構(gòu)特征第二步：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造“特征”函數(shù)(方程)，轉(zhuǎn)化問(wèn)題形式第三步：研究函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合解決問(wèn)題的需要研究函數(shù)(方程)的相關(guān)性質(zhì)，主要涉及函數(shù)單調(diào)性與最值、值域問(wèn)題的研究第四步：回歸問(wèn)題結(jié)合對(duì)函數(shù)(方程)相關(guān)性質(zhì)的研究，回歸問(wèn)題【例2】已知Sn1(nN*)，設(shè)f(n)S2n1Sn1，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的正整數(shù)n，不等式f(n)>logm(m1)2log(m1)m2恒成立【解】由f(n)S2n1Sn1，得f(n)，f(n1).f(n1)f(n)>0.f(n)>f(n1)>>f(3)>f(2)(nN*，n2)f(n)minf(2).要使對(duì)于一切大于1的正整數(shù)n，原不等式恒成立，只需不等式>logm(m1)2log(m1)m2成立設(shè)ylogm(m1)2，則y>0.于是解得0<y<1.從而解得m>且m2.實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2，)3運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決幾何問(wèn)題在立體幾何和解析幾何中有許多問(wèn)題需要運(yùn)用到方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決特別是在解析幾何中涉及到范圍或最值問(wèn)題時(shí)可用如下思路去完成：第一步：聯(lián)立方程第二步：求解判別式.第三步：代換利用題設(shè)條件和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，得到所求目標(biāo)參數(shù)和判別式不等式中的參數(shù)的一個(gè)等量關(guān)系，將其代換第四步：下結(jié)論將上述等量代換式代入>0或0中，即可求出目標(biāo)參數(shù)的取值范圍第五步：回顧反思在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，無(wú)論題目中有沒(méi)有涉及求參數(shù)的取值范圍，都不能忽視了判別式對(duì)某些量的制約，這是求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)【例3】(xx四川高考)已知橢圓C：1(a>b>0)的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形()求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；()設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.()證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；()當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)()【解】由已知可得解得a26，b22，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.()()【證明】由()可得，F(xiàn)的坐標(biāo)是(2,0)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，m)，則直線TF的斜率kTFm.當(dāng)m0時(shí)，直線PQ的斜率kPQ，直線PQ的方程是xmy2.當(dāng)m0時(shí)，直線PQ的方程是x2，也符合x(chóng)my2的形式設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去x，得(m23)y24my20，其判別式16m28(m23)>0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以直線OM的斜率kOM.又直線OT的斜率kOT，所以點(diǎn)M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.()【解】由()可得，|TF|，|PQ|所以.當(dāng)且僅當(dāng)m21，即m1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值所以當(dāng)最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,1)或(3，1)二、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合的思想在每年的高考中都有所體現(xiàn)，它常用來(lái)：研究方程根的情況，討論函數(shù)的值域(最值)及求變量的取值范圍等對(duì)這類內(nèi)容的選擇題、填空題，數(shù)形結(jié)合特別有效從今年的高考題來(lái)看，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)定形”在今后的高考中將會(huì)有所加強(qiáng)，應(yīng)引起重視，復(fù)習(xí)中應(yīng)提高用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識(shí)，畫(huà)圖不能太草，要善于用特殊數(shù)或特殊點(diǎn)來(lái)精確確定圖形間的位置關(guān)系1應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化(1)集合的運(yùn)算及韋恩圖；(2)函數(shù)及其圖象；(3)數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲線；(5)對(duì)于研究距離、角或面積的問(wèn)題，直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；(6)對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式(最值)的問(wèn)題，可通過(guò)函數(shù)的圖象求解(函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn))，做好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決討論方程內(nèi)解或圖象的交點(diǎn)問(wèn)題用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角函數(shù)等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)【例4】(xx天津高考)已知函數(shù)f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)【解】原問(wèn)題等價(jià)于方程f(x)a|x1|恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根解法一：分別畫(huà)出函數(shù)yf(x)與ya|x1|的圖象(1)由x23xa(x1)得，x2(3a)xa0，(3a)24a，由0得a9或a1(舍)，此時(shí)a>9，(2)由x23xa(1x)，得x2(3a)xa0，由0得a1或a9(舍)，結(jié)合圖象知0<a<1，由(1)(2)知0<a<1或a>9，a(0,1)(9，)解法二：分離參數(shù)法a，由平移和對(duì)稱知畫(huà)出函數(shù)y的圖象，由圖知a(0,1)(9，)【答案】(0,1)(9，)3運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)最后問(wèn)題“形”可以使某些抽象問(wèn)題具體化，而數(shù)”可以使思維精確化，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合在某些求最值問(wèn)題中，可以收到意想不到的效果(1)把代數(shù)式進(jìn)行幾何轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為具有直觀幾何意義構(gòu)圖形，例如看作直線的斜率，轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)(x1，y1)和(x2，y2)的連線的斜率，特別適用于一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)區(qū)域內(nèi))的形式：或(am)2(bn)2：看作是兩點(diǎn)(a，b)和(m，n)間的距離或距離的平方(2)其他具有幾何意義的概念都可以利用相關(guān)的幾何圖形直觀進(jìn)行分析判斷，例如：向量的問(wèn)題，可以考慮用向量的圖形大小與方向及向量運(yùn)算的幾何意義構(gòu)造圖形直觀解題；復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以把復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為圖形【例5】(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組求函數(shù)z的值域；求w的最值(2)用mina，b，c表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小值設(shè)f(x)min2x，x2,10x(x0)，則f(x)的最大值為()A4B5C6D7【解析】(1)由解析幾何知識(shí)可知，所給的不等式組表示圓x2y24的右半圓域(含邊界)，z可改寫(xiě)為y3z(x1)，把z看作參數(shù)，則此方程表示過(guò)定點(diǎn)P(1，3)，斜率為z的直線系所求問(wèn)題的幾何意義是：求過(guò)半圓域x2y24(x0)內(nèi)或邊界上任一點(diǎn)與點(diǎn)P(1，3)的直線斜率的最大、最小值由圖顯見(jiàn)，過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)A(0,2)的直線斜率最大，zmax5.過(guò)點(diǎn)P向半圓作切線，切線的斜率最小設(shè)切點(diǎn)為B(a，b)，則過(guò)B點(diǎn)的切線方程為axby4.又B在半圓周上，P在切線上，則有又a>0，解得，因此zmin.綜上可知函數(shù)的值域?yàn)?所求問(wèn)題的幾何意義是：求半圓域x2y24(x0)內(nèi)或邊界上任一點(diǎn)到P(1，3)的距離的最大值與最小值，由數(shù)形結(jié)合可知wmax|PO|r2，wmin|PC|，即最大值為2，最小值為.(2)f(x)min2x，x2,10x(x0)的圖象如圖令x210x，解得x4.當(dāng)x4時(shí)，f(x)取最大值，f(4)426.故選C.【答案】C4運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決解析幾何中的問(wèn)題在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析(或僅對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)分析)在許多時(shí)候是很難行得通的例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，但是在許多時(shí)候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會(huì)使得復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化【例6】已知P是直線3x4y80上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值【解】根據(jù)題意，畫(huà)出圖形如下圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x4y80向左上方或向右下方無(wú)窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，RtPAC的面積SRtPAC|PA|AC|PA|越來(lái)越大，從而S四邊形PACB也越來(lái)越大；當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小，顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直于直線3x4y80時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，此時(shí)|PC|3，從而|PA|2.(S四邊形PACB)min2|PA|AC|2.